Teorema del subgrupo de Kurosh

En el campo matemático de la teoría de grupos , el teorema de subgrupos de Kurosh describe la estructura algebraica de los subgrupos de productos libres de grupos . El teorema fue obtenido por Alexander Kurosh , un matemático ruso, en 1934. ^{[ 1 ]} De manera informal, el teorema afirma que todo subgrupo de un producto libre es a su vez un producto libre de un grupo libre y de sus intersecciones con los conjugados de los factores del producto libre original.

Tras la demostración original de Kurosh en 1934, se realizaron numerosas demostraciones posteriores del teorema del subgrupo de Kurosh, incluyendo las de Harold W. Kuhn (1952), ^{[ 2 ]} Saunders Mac Lane (1958) ^{[ 3 ]} y otras. El teorema también se generalizó para describir subgrupos de productos libres amalgamados y extensiones HNN . ^{[ 4 ] [ 5 ]} Otras generalizaciones incluyen la consideración de subgrupos de productos profinitos libres ^{[ 6 ]} y una versión del teorema del subgrupo de Kurosh para grupos topológicos . ^{[ 7 ]}

En términos modernos, el teorema del subgrupo de Kurosh es un corolario directo de los resultados estructurales básicos de la teoría de Bass-Serre sobre grupos que actúan sobre árboles . ^{[ 8 ]}

Dejar${\displaystyle G=A*B}$sea ​​el producto libre de los grupos A y B y sea${\displaystyle H\leq G}$sea ​​un subgrupo de G. Entonces existe una familia${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$de subgrupos${\displaystyle A_{i}\leq A}$, una familia${\displaystyle (B_{j})_{j\in J}}$de subgrupos${\displaystyle B_{j}\leq B}$familias${\displaystyle g_{i},i\in I}$y${\displaystyle f_{j},j\in J}$de elementos de G y un subconjunto${\displaystyle X\subseteg G}$ de tal manera que

${\displaystyle H=F(X)*(*_{i\in I}g_{i}A_{i}g_{i}^{-1})*(*_{j\in J}f_{j}B_{j}f_{j}^{-1}).}$

Esto significa que X genera libremente un subgrupo de G isomorfo al grupo libre F ( X ) con base libre X y que, además, g _i A _i g _i ⁻¹ , f _j B _j f _j ⁻¹ y X generan H en G como un producto libre de la forma anterior.

Existe una generalización de esto al caso de productos libres con un número arbitrario de factores. ^{[ 9 ]} Su formulación es:

Si H es un subgrupo de ∗ _i∈I G _i = G , entonces

${\displaystyle H=F(X)*(*_{j\in J}g_{j}H_{j}g_{j}^{-1}),}$

donde X ⊆ G y J es algún conjunto de índices y g _j ∈ G y cada H _j es un subgrupo de algún G _i .

El teorema del subgrupo de Kurosh se deduce fácilmente de los resultados estructurales básicos de la teoría de Bass-Serre , como se explica, por ejemplo, en el libro de Cohen (1987): ^{[ 8 ]}

Sea G = A ∗ B y consideremos G como el grupo fundamental de un grafo de grupos Y que consta de una sola arista no bucle con los grupos de vértices A y B y con el grupo de aristas trivial. Sea X el árbol de recubrimiento universal de Bass-Serre para el grafo de grupos Y. Como H ≤ G también actúa sobre X , consideremos el grafo cociente de grupos Z para la acción de H sobre X. Los grupos de vértices de Z son subgrupos de G -estabilizadores de vértices de X , es decir, son conjugados en G a subgrupos de A y B. Los grupos de aristas de Z son triviales ya que los G -estabilizadores de aristas de X eran triviales. Por el teorema fundamental de la teoría de Bass-Serre, H es canónicamente isomorfo al grupo fundamental del grafo de grupos Z. Dado que los grupos de aristas de Z son triviales, se deduce que H es igual al producto libre de los grupos de vértices de Z y el grupo libre F ( X ), que es el grupo fundamental (en el sentido topológico estándar) del grafo subyacente Z de Z. Esto implica la conclusión del teorema del subgrupo de Kurosh.

El resultado se extiende al caso en que G es el producto amalgamado a lo largo de un subgrupo común C , bajo la condición de que H se encuentra con cada conjugado de C solo en el elemento identidad. ^{[ 10 ]}

• Extensión HNN
• teoría geométrica de grupos
• Teorema de Nielsen-Schreier