Desigualdad de Ky Fan

En matemáticas , hay dos resultados diferentes que comparten el nombre común de desigualdad de Ky Fan . Uno es una desigualdad que involucra la media geométrica y la media aritmética de dos conjuntos de números reales del intervalo unitario . El resultado fue publicado en la página 5 del libro Inequalities de Edwin F. Beckenbach y Richard E. Bellman (1961), quienes hacen referencia a un resultado inédito de Ky Fan . Mencionan el resultado en relación con la desigualdad de las medias aritmética y geométrica y la prueba de Augustin Louis Cauchy de esta desigualdad por inducción hacia adelante-hacia atrás; un método que también se puede utilizar para demostrar la desigualdad de Ky Fan.

Esta desigualdad de Ky Fan es un caso especial de la desigualdad de Levinson y también el punto de partida para varias generalizaciones y refinamientos; algunos de ellos se dan en las referencias a continuación.

La segunda desigualdad de Ky Fan se utiliza en la teoría de juegos para investigar la existencia de un equilibrio.

Si con para i = 1, ..., n , entonces ${\textstyle 0\leq x_{i}\leq {\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle {\frac {{\bigl (}\prod _{i=1}^{n}x_{i}{\bigr )}^{1/n}}{{\bigl (}\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i}){\bigr )}^{1/n}}}\leq {\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(1-x_{i})}}}$

con igualdad si y sólo si x ₁  =  x ₂  = ⋅ ⋅ ⋅ =  x _n .

Dejar

${\displaystyle A_{n}:={\frac {1}{n}}\suma _{i=1}^{n}x_{i},\qquad G_{n}={\biggl (}\prod _{i=1}^{n}x_{i}{\biggr )}^{1/n}}$

denotamos la media aritmética y geométrica, respectivamente, de x ₁ , . . ., x _n , y sea

${\displaystyle A_{n}':={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(1-x_{i}),\qquad G_{n}'={\biggl (}\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i}){\biggr )}^{1/n}}$

denotamos la media aritmética y geométrica, respectivamente, de 1 −  x ₁ , . . ., 1 −  x _n . Entonces la desigualdad de Ky Fan se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {G_{n}}{G_{n}'}}\leq {\frac {A_{n}}{A_{n}'}},}$

lo que muestra la similitud con la desigualdad de medias aritméticas y geométricas dada por G _n  ≤  A _n .

Si x _i  ∈ [0, ⁠1/2⁠ ] y γ _i  ∈ [0,1] para i  = 1, . . ., n son números reales que satisfacen γ ₁ + . . . + γ _n = 1, entonces

${\displaystyle {\frac {\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\gamma _{i}}}{\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i})^{\gamma _{i}}}}\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}(1-x_{i})}}}$

con la convención 0 ⁰  := 0. La igualdad se cumple si y sólo si

• γ _i x _i = 0 para todo i  = 1, . . ., n o
• todo x _i  > 0 y existe x  ∈ (0, ⁠1/2⁠ ] tal que x  =  x _i para todo i  = 1, . . ., n con γ _i  > 0.

La versión clásica corresponde a γ _i = 1/ n para todo i  = 1, . . ., n .

Idea: Aplicar la desigualdad de Jensen a la función estrictamente cóncava

${\displaystyle f(x):=\ln x-\ln(1-x)=\ln {\frac {x}{1-x}},\qquad x\in (0,{\tfrac {1}{2}}].}$

Demostración detallada: (a) Si al menos un x _i es cero, entonces el lado izquierdo de la desigualdad de Ky Fan es cero y la desigualdad queda demostrada. La igualdad se cumple si y solo si el lado derecho también es cero, lo que sucede cuando γ _i x _i = 0 para todo i  = 1, . . ., n .

(b) Supongamos ahora que todos los x _i > 0. Si hay un i con γ _i  = 0, entonces el x _i  > 0 correspondiente no tiene efecto en ninguno de los lados de la desigualdad, por lo que el ^término i puede omitirse. Por lo tanto, podemos suponer que γ _i  > 0 para todos los i en lo siguiente. Si x ₁ = x ₂ = . . . = x _n , entonces se cumple la igualdad. Queda por demostrar la desigualdad estricta si no todos los x _i son iguales.

La función f es estrictamente cóncava en (0, ⁠1/2] , porque tenemos como segunda derivada

${\displaystyle f''(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {1}{(1-x)^{2}}}<0,\qquad x\in (0,{\tfrac {1}{2}}).}$

Utilizando la ecuación funcional para el logaritmo natural y la desigualdad de Jensen para la f estrictamente cóncava , obtenemos que

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln {\frac {\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\gamma _{i}}}{\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i})^{\gamma _{i}}}}&=\ln \prod _{i=1}^{n}{\Bigl (}{\frac {x_{i}}{1-x_{i}}}{\Bigr )}^{\gamma _{i}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}f(x_{i})\\&<f{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}x_{i}{\biggr )}\\&=\ln {\frac {\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}(1-x_{i})}},\end{alineado}}}$

donde usamos en el último paso que la suma de γ _i es igual a uno. Tomando la exponencial de ambos lados obtenemos la desigualdad de Ky Fan.

Una segunda desigualdad también se denomina desigualdad de Ky Fan, debido a un artículo de 1972, "Una desigualdad minimax y sus aplicaciones". Esta segunda desigualdad es equivalente al teorema del punto fijo de Brouwer , pero a menudo es más conveniente. Sea S un subconjunto convexo compacto de un espacio vectorial de dimensión finita V , y sea una función de a los números reales que es semicontinua inferior en x , cóncava en y y tiene para todo z en S. Entonces existe tal que para todo . Esta desigualdad de Ky Fan se utiliza para establecer la existencia de equilibrios en varios juegos estudiados en economía. ${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle S\times S}$${\displaystyle f(z,z)\leq 0}$${\displaystyle x^{*}\en S}$${\displaystyle f(x^{*},y)\leq 0}$${\displaystyle y\in S}$

• Alzer, Horst (1988). "Verschärfung einer Ungleichung von Ky Fan". Aecuaciones Mathematicae . 36 (2–3): 246–250. doi :10.1007/BF01836094. SEÑOR  0972289. S2CID  122304838.

• Beckenbach, Edwin Ford; Bellman, Richard Ernest (1961). Desigualdades . Berlín-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-7643-0972-5.Sr. 0158038  .

• Moslehian, MS (2011). "Desigualdades de Ky Fan". Álgebra lineal y multilineal . próximamente. arXiv : 1108.1467 . Código Bibliográfico :2011arXiv1108.1467S.

• Neuman, Edward; Sándor, József (2002). "Sobre la desigualdad de Ky Fan y desigualdades relacionadas I" (PDF) . Desigualdades matemáticas y aplicaciones . 5 (1): 49–56. doi : 10.7153/mia-05-06 . MR  1880271.

• Neuman, Edward; Sándor, József (agosto de 2005). "Sobre la desigualdad de Ky Fan y desigualdades relacionadas II" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Australiana . 72 (1): 87–107. doi : 10.1017/S0004972700034894 . MR  2162296.

• Sándor, József; Trif, Tiberiu (1999). "Un nuevo refinamiento de la desigualdad de Ky Fan" (PDF) . Desigualdades matemáticas y aplicaciones . 2 (4): 529–533. doi : 10.7153/mia-02-43 . MR  1717045.

• Ky Fan en el Proyecto de Genealogía Matemática