Teorema del módulo de continuidad de Lévy

El teorema del módulo de continuidad de Lévy es un teorema que proporciona un resultado sobre un comportamiento casi seguro de una estimación del módulo de continuidad para el proceso de Wiener , que se utiliza para modelar lo que se conoce como movimiento browniano .

El teorema del módulo de continuidad de Lévy recibe su nombre del matemático francés Paul Lévy .

Dejar${\displaystyle B:[0,1]\times \Omega \to \mathbb {R} }$ser un proceso Wiener estándar. Entonces, casi con seguridad ,

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\sup _{t,t'\leq 1;|tt'|\leq h}{\frac {|B_{t'}-B_{t}|}{\sqrt {2h\log(1/h)}}}=1.}$

En otras palabras, las trayectorias de muestra del movimiento browniano tienen módulo de continuidad.

${\displaystyle \omega _{B}(\delta )=c{\sqrt {2\delta \log(1/\delta )}}}$

con probabilidad uno, para${\displaystyle c>1}$y suficientemente pequeño${\displaystyle \delta >0}$. ^{[ 1 ]}

• Algunas propiedades de las trayectorias de muestra del proceso de Wiener

• Paul Pierre Lévy, Teoría de la adición de variables aleatorias. Gauthier-Villars, París (1937).