Proceso estocástico

Un proceso estocástico puede clasificarse de diferentes maneras, por ejemplo, según su espacio de estados, su conjunto de índices o la dependencia entre las variables aleatorias. Una forma común de clasificación es mediante la cardinalidad del conjunto de índices y el espacio de estados. ^{[ 51 ] [ 52 ] [ 53 ]}

Cuando se interpreta como tiempo, si el conjunto de índices de un proceso estocástico tiene un número finito o contable de elementos, como un conjunto finito de números, el conjunto de los enteros o los números naturales, entonces se dice que el proceso estocástico es de tiempo discreto . ^{[ 54 ] [ 55 ]} Si el conjunto de índices es algún intervalo de la recta real, entonces se dice que el tiempo es continuo . Los dos tipos de procesos estocásticos se denominan respectivamente procesos estocásticos de tiempo discreto y de tiempo continuo . ^{[ 48 ] [ 56 ] [ 57 ]} Los procesos estocásticos de tiempo discreto se consideran más fáciles de estudiar porque los procesos de tiempo continuo requieren técnicas y conocimientos matemáticos más avanzados, particularmente debido a que el conjunto de índices es incontable. ^{[ 58 ] [ 59 ]} Si el conjunto de índices son los enteros, o algún subconjunto de ellos, entonces el proceso estocástico también puede llamarse una secuencia aleatoria . ^{[ 55 ]}

Si el espacio de estados son los números enteros o naturales, entonces el proceso estocástico se denomina proceso estocástico discreto o de valores enteros . Si el espacio de estados es la recta real, entonces el proceso estocástico se denomina proceso estocástico de valores reales o proceso con espacio de estados continuo . Si el espacio de estados es${\displaystyle n}$Espacio euclidiano de dimensión , entonces el proceso estocástico se llama${\displaystyle n}$- proceso vectorial dimensional o${\displaystyle n}$- proceso vectorial . ^{[ 51 ] [ 52 ]}

La palabra estocástico en inglés se usó originalmente como adjetivo con la definición de "relativo a la conjetura", y proviene de una palabra griega que significa "apuntar a una marca, adivinar", y el Oxford English Dictionary da el año 1662 como su aparición más temprana. ^{[ 60 ]} En su obra sobre probabilidad Ars Conjectandi , publicada originalmente en latín en 1713, Jakob Bernoulli usó la frase "Ars Conjectandi sive Stochastice", que se ha traducido como "el arte de conjeturar o estocástica". ^{[ 61 ]} Esta frase fue utilizada, con referencia a Bernoulli, por Ladislaus Bortkiewicz ^{[ 62 ]} quien en 1917 escribió en alemán la palabra stochastik con un sentido que significa aleatorio. El término proceso estocástico apareció por primera vez en inglés en un artículo de 1934 de Joseph Doob . ^{[ 60 ]} Para el término y una definición matemática específica, Doob citó otro artículo de 1934, donde el término stochastischer Prozeß fue utilizado en alemán por Aleksandr Khinchin , ^{[ 63 ] [ 64 ]} aunque el término alemán había sido utilizado anteriormente, por ejemplo, por Andrei Kolmogorov en 1931. ^{[ 65 ]}

Según el Oxford English Dictionary, las primeras apariciones de la palabra «random» en inglés con su significado actual, que se relaciona con el azar o la suerte, se remontan al siglo XVI, mientras que los usos registrados más antiguos comenzaron en el siglo XIV como sustantivo que significaba «impetuosidad, gran velocidad, fuerza o violencia (al montar a caballo, correr, golpear, etc.)». La palabra en sí proviene de una palabra del francés medio que significa «velocidad, prisa», y probablemente deriva de un verbo francés que significa «correr» o «galopar». La primera aparición escrita del término « proceso aleatorio » es anterior a « proceso estocástico» , que el Oxford English Dictionary también incluye como sinónimo, y fue utilizada en un artículo de Francis Edgeworth publicado en 1888. ^{[ 66 ]}

La definición de un proceso estocástico varía, ^{[ 67 ]} pero tradicionalmente se define como una colección de variables aleatorias indexadas por algún conjunto. ^{[ 68 ] [ 69 ]} Los términos proceso aleatorio y proceso estocástico se consideran sinónimos y se usan indistintamente, sin que el conjunto de índices se especifique con precisión. ^{[ 27 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 70 ] [ 71 ] [ 72 ]} Tanto "colección", ^{[ 28 ] [ 70 ]} como "familia" se usan ^{[ 4 ] [ 73 ]} mientras que en lugar de "conjunto de índices", a veces se usan los términos "conjunto de parámetros" ^{[ 28 ]} o "espacio de parámetros" ^{[ 30 ] .}

El término función aleatoria también se utiliza para referirse a un proceso estocástico o aleatorio, ^{[ 5 ] [ 74 ] [ 75 ]} aunque a veces solo se utiliza cuando el proceso estocástico toma valores reales. ^{[ 28 ] [ 73 ]} Este término también se utiliza cuando los conjuntos de índices son espacios matemáticos distintos de la recta real, ^{[ 5 ] [ 76 ]} mientras que los términos proceso estocástico y proceso aleatorio se utilizan generalmente cuando el conjunto de índices se interpreta como tiempo, ^{[ 5 ] [ 76 ] [ 77 ]} y se utilizan otros términos como campo aleatorio cuando el conjunto de índices es${\displaystyle n}$espacio euclidiano de -dimensiones${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$o un colector . ^{[ 5 ] [ 28 ] [ 30 ]}

Un proceso estocástico puede denotarse, entre otras formas, por${\displaystyle \{X(t)\}_{t\in T}}$, ^{[ 56 ]}${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}}$, ^{[ 69 ]}${\displaystyle \{X_{t}\}}$^{[ 78 ]}${\displaystyle \{X(t)\}}$o simplemente como${\displaystyle X}$Algunos autores escriben erróneamente${\displaystyle X(t)}$aunque sea un abuso de la notación de funciones . ^{[ 79 ]} Por ejemplo,${\displaystyle X(t)}$o${\displaystyle X_{t}}$se utilizan para referirse a la variable aleatoria con el índice${\displaystyle t}$y no todo el proceso estocástico. ^{[ 78 ]} Si el conjunto de índices es${\displaystyle T=[0,\infty )}$, entonces se puede escribir, por ejemplo,${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$para denotar el proceso estocástico. ^{[ 29 ]}

Uno de los procesos estocásticos más simples es el proceso de Bernoulli , ^{[ 80 ]} que es una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (iid), donde cada variable aleatoria toma el valor uno o cero, digamos uno con probabilidad${\displaystyle p}$y cero con probabilidad${\displaystyle 1-p}$Este proceso puede vincularse a una idealización de lanzar repetidamente una moneda, donde se considera que la probabilidad de obtener cara es${\displaystyle p}$y su valor es uno, mientras que el valor de una cruz es cero. ^{[ 81 ]} En otras palabras, un proceso de Bernoulli es una secuencia de variables aleatorias de Bernoulli i.i.d., ^{[ 82 ]} donde cada lanzamiento de moneda idealizado es un ejemplo de un ensayo de Bernoulli . ^{[ 83 ]}

Los paseos aleatorios son procesos estocásticos que generalmente se definen como sumas de variables aleatorias i.i.d. o vectores aleatorios en el espacio euclidiano, por lo que son procesos que cambian en tiempo discreto. ^{[ 84 ] [ 85 ] [ 86 ] [ 87 ] [ 88 ]} Pero algunos también usan el término para referirse a procesos que cambian en tiempo continuo, ^{[ 89 ]} particularmente el proceso de Wiener utilizado en modelos financieros, lo que ha generado cierta confusión y ha dado lugar a críticas. ^{[ 90 ]} Existen varios otros tipos de paseos aleatorios, definidos de manera que sus espacios de estados pueden ser otros objetos matemáticos, como retículos y grupos, y en general son muy estudiados y tienen muchas aplicaciones en diferentes disciplinas. ^{[ 89 ] [ 91 ]}

Un ejemplo clásico de paseo aleatorio se conoce como paseo aleatorio simple , que es un proceso estocástico en tiempo discreto con los enteros como espacio de estados, y se basa en un proceso de Bernoulli, donde cada variable de Bernoulli toma el valor positivo uno o negativo uno. En otras palabras, el paseo aleatorio simple tiene lugar sobre los enteros, y su valor aumenta en uno con probabilidad, digamos,${\displaystyle p}$o disminuye en uno con probabilidad${\displaystyle 1-p}$, por lo que el conjunto de índices de este paseo aleatorio son los números naturales, mientras que su espacio de estados son los enteros. Si${\displaystyle p=0.5}$, este paseo aleatorio se denomina paseo aleatorio simétrico. ^{[ 92 ] [ 93 ]}

El proceso de Wiener es un proceso estocástico con incrementos estacionarios e independientes que se distribuyen normalmente según el tamaño de los incrementos. ^{[ 2 ] [ 94 ]} El proceso de Wiener recibe su nombre de Norbert Wiener , quien demostró su existencia matemática, pero también se le conoce como proceso de movimiento browniano o simplemente movimiento browniano debido a su conexión histórica como modelo para el movimiento browniano en líquidos. ^{[ 95 ] [ 96 ] [ 97 ]}

El proceso de Wiener, que desempeña un papel central en la teoría de la probabilidad, suele considerarse el proceso estocástico más importante y estudiado, con conexiones a otros procesos estocásticos. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 98 ] [ 99 ] [ 100 ] [ 101 ]} Su conjunto de índices y su espacio de estados son los números no negativos y los números reales, respectivamente, por lo que tiene tanto un conjunto de índices como un espacio de estados continuos. ^{[ 102 ]} Pero el proceso puede definirse de forma más general, por lo que su espacio de estados puede ser${\displaystyle n}$Espacio euclidiano de -dimensiones. ^{[ 91 ] [ 99 ] [ 103 ]} Si la media de cualquier incremento es cero, entonces se dice que el proceso de movimiento de Wiener o browniano resultante tiene deriva cero. Si la media del incremento para dos puntos cualesquiera en el tiempo es igual a la diferencia de tiempo multiplicada por alguna constante${\displaystyle \mu }$Si , que es un número real, entonces se dice que el proceso estocástico resultante tiene deriva.${\displaystyle \mu }$. ^{[ 104 ] [ 105 ] [ 106 ]}

Casi con seguridad , una trayectoria de muestra de un proceso de Wiener es continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna . Puede considerarse como una versión continua del paseo aleatorio simple. ^{[ 49 ] [ 105 ]} El proceso surge como el límite matemático de otros procesos estocásticos, como ciertos paseos aleatorios reescalados, ^{[ 107 ] [ 108 ]} que es el tema del teorema de Donsker o principio de invariancia, también conocido como teorema del límite central funcional. ^{[ 109 ] [ 110 ] [ 111 ]}

El proceso de Wiener pertenece a importantes familias de procesos estocásticos, como los procesos de Markov, los procesos de Lévy y los procesos gaussianos. ^{[ 2 ] [ 49 ]} Este proceso también tiene numerosas aplicaciones y es el principal proceso estocástico utilizado en el cálculo estocástico. ^{[ 112 ] [ 113 ]} Desempeña un papel fundamental en las finanzas cuantitativas, ^{[ 114 ] [ 115 ]} donde se utiliza, por ejemplo, en el modelo de Black-Scholes-Merton. ^{[ 116 ]} El proceso también se emplea en diversos campos, incluyendo la mayoría de las ciencias naturales y algunas ramas de las ciencias sociales, como modelo matemático para diversos fenómenos aleatorios. ^{[ 3 ] [ 117 ] [ 118 ]}

El proceso de Poisson es un proceso estocástico que presenta diferentes formas y definiciones. ^{[ 119 ] [ 120 ]} Puede definirse como un proceso de conteo, que es un proceso estocástico que representa el número aleatorio de puntos o eventos hasta un tiempo determinado. El número de puntos del proceso ubicados en el intervalo desde cero hasta un tiempo dado es una variable aleatoria de Poisson que depende de ese tiempo y de algún parámetro. Este proceso tiene los números naturales como su espacio de estados y los números no negativos como su conjunto de índices. Este proceso también se denomina proceso de conteo de Poisson, ya que puede interpretarse como un ejemplo de un proceso de conteo. ^{[ 119 ]}

Si un proceso de Poisson se define con una única constante positiva, entonces el proceso se denomina proceso de Poisson homogéneo. ^{[ 119 ] [ 121 ]} El proceso de Poisson homogéneo pertenece a clases importantes de procesos estocásticos, como los procesos de Markov y los procesos de Lévy. ^{[ 49 ]}

El proceso de Poisson homogéneo puede definirse y generalizarse de diferentes maneras. Puede definirse de tal forma que su conjunto de índices sea la recta real, y este proceso estocástico también se denomina proceso de Poisson estacionario. ^{[ 122 ] [ 123 ]} Si la constante del parámetro del proceso de Poisson se reemplaza por alguna función integrable no negativa de${\displaystyle t}$El proceso resultante se denomina proceso de Poisson no homogéneo o inhomogéneo, donde la densidad promedio de puntos del proceso ya no es constante. ^{[ 124 ]} El proceso de Poisson, que constituye un proceso fundamental en la teoría de colas, es un proceso importante para los modelos matemáticos, donde encuentra aplicaciones en modelos de eventos que ocurren aleatoriamente en ciertas ventanas de tiempo. ^{[ 125 ] [ 126 ]}

Definido en la recta real, el proceso de Poisson puede interpretarse como un proceso estocástico, ^{[ 49 ] [ 127 ]} entre otros objetos aleatorios. ^{[ 128 ] [ 129 ]} Pero entonces puede definirse en la${\displaystyle n}$espacio euclidiano de dimensión u otros espacios matemáticos, ^{[ 130 ]} donde a menudo se interpreta como un conjunto aleatorio o una medida de conteo aleatoria, en lugar de un proceso estocástico. ^{[ 128 ] [ 129 ]} En este contexto, el proceso de Poisson, también llamado proceso puntual de Poisson, es uno de los objetos más importantes en la teoría de la probabilidad, tanto por aplicaciones como por razones teóricas. ^{[ 22 ] [ 131 ]} Pero se ha observado que el proceso de Poisson no recibe tanta atención como debería, en parte debido a que a menudo se considera solo en la recta real, y no en otros espacios matemáticos. ^{[ 131 ] [ 132 ]}

Un proceso estocástico se define como una colección de variables aleatorias definidas en un espacio de probabilidad común.${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {F}},P)}$, dónde${\displaystyle \Omega }$es un espacio muestral ,${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es un${\displaystyle \sigma }$- álgebra y${\displaystyle P}$es una medida de probabilidad ; y las variables aleatorias, indexadas por algún conjunto${\displaystyle T}$, todos toman valores en el mismo espacio matemático${\displaystyle S}$, que debe ser medible con respecto a alguna${\displaystyle \sigma }$-álgebra${\displaystyle \Sigma }$. ^{[ 28 ]}

En otras palabras, para un espacio de probabilidad dado${\displaystyle (\Omega,{\mathcal {F}},P)}$y un espacio mensurable${\displaystyle (S,\Sigma )}$, un proceso estocástico es una colección de${\displaystyle S}$variables aleatorias con valores , que se pueden escribir como: ^{[ 80 ]}

${\displaystyle \{X(t):t\in T\}.}$

Históricamente, en muchos problemas de las ciencias naturales un punto${\displaystyle t\in T}$tenía el significado del tiempo, así que${\displaystyle X(t)}$es una variable aleatoria que representa un valor observado en el tiempo${\displaystyle t}$. ^{[ 133 ]} Un proceso estocástico también puede escribirse como${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$para reflejar que en realidad es una función de dos variables,${\displaystyle t\in T}$y${\displaystyle \omega \in \Omega }$. ^{[ 28 ] [ 134 ]}

Hay otras formas de considerar un proceso estocástico, siendo la definición anterior considerada la tradicional. ^{[ 68 ] [ 69 ]} Por ejemplo, un proceso estocástico puede interpretarse o definirse como un${\displaystyle S^{T}}$variable aleatoria con valor , donde${\displaystyle S^{T}}$es el espacio de todas las funciones posibles del conjunto${\displaystyle T}$en el espacio${\displaystyle S}$. ^{[ 27 ] [ 68 ]} Sin embargo, esta definición alternativa como una "variable aleatoria con valores de función" en general requiere supuestos de regularidad adicionales para estar bien definidos. ^{[ 135 ]}

El conjunto${\displaystyle T}$se denomina conjunto de índices ^{[ 4 ] [ 51 ]} o conjunto de parámetros ^{[ 28 ] [ 136 ]} del proceso estocástico. A menudo, este conjunto es algún subconjunto de la recta real , como los números naturales o un intervalo, dando lugar al conjunto${\displaystyle T}$la interpretación del tiempo. ^{[ 1 ]} Además de estos conjuntos, el conjunto de índices${\displaystyle T}$puede ser otro conjunto con un orden total o un conjunto más general, ^{[ 1 ] [ 54 ]} como el plano cartesiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$o${\displaystyle n}$espacio euclidiano de -dimensiones, donde un elemento${\displaystyle t\in T}$puede representar un punto en el espacio. ^{[ 48 ] [ 137 ]} Dicho esto, muchos resultados y teoremas solo son posibles para procesos estocásticos con un conjunto de índices totalmente ordenado. ^{[ 138 ]}

El espacio matemático${\displaystyle S}$de un proceso estocástico se llama su espacio de estados . Este espacio matemático se puede definir usando enteros , líneas reales ,${\displaystyle n}$Espacios euclidianos de dimensión , planos complejos o espacios matemáticos más abstractos. El espacio de estados se define mediante elementos que reflejan los diferentes valores que puede tomar el proceso estocástico. ^{[ 1 ] [ 5 ] [ 28 ] [ 51 ] [ 56 ]}

Una función de muestra es un único resultado de un proceso estocástico, por lo que se forma tomando un único valor posible de cada variable aleatoria del proceso estocástico. ^{[ 28 ] [ 139 ]} Más precisamente, si${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$es un proceso estocástico, entonces para cualquier punto${\displaystyle \omega \in \Omega }$, el mapeo

${\displaystyle X(\cdot ,\omega ):T\rightarrow S,}$

se denomina función de muestra, realización o, particularmente cuando${\displaystyle T}$se interpreta como tiempo, una trayectoria de muestra del proceso estocástico${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$. ^{[ 50 ]} Esto significa que para un fijo${\displaystyle \omega \in \Omega }$Existe una función de ejemplo que mapea el conjunto de índices.${\displaystyle T}$al espacio estatal${\displaystyle S}$. ^{[ 28 ]} Otros nombres para una función de muestra de un proceso estocástico incluyen trayectoria , función de ruta ^{[ 140 ]} o ruta . ^{[ 141 ]}

Un incremento de un proceso estocástico es la diferencia entre dos variables aleatorias del mismo proceso estocástico. Para un proceso estocástico con un conjunto de índices que puede interpretarse como tiempo, un incremento es cuánto cambia el proceso estocástico durante un período de tiempo determinado. Por ejemplo, si${\displaystyle \{X(t):t\in T\}}$es un proceso estocástico con espacio de estados${\displaystyle S}$y conjunto de índices${\displaystyle T=[0,\infty )}$, entonces para cualesquiera dos números no negativos${\displaystyle t_{1}\in [0,\infty )}$y${\displaystyle t_{2}\in [0,\infty )}$de tal manera que${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$, la diferencia${\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}}}$es un${\displaystyle S}$variable aleatoria con valor conocida como incremento. ^{[ 48 ] [ 49 ]} Cuando se está interesado en los incrementos, a menudo el espacio de estados${\displaystyle S}$es la línea real o los números naturales, pero puede ser${\displaystyle n}$espacio euclidiano de -dimensiones o espacios más abstractos como los espacios de Banach . ^{[ 49 ]}

Los procesos de Markov son procesos estocásticos, tradicionalmente en tiempo discreto o continuo , que poseen la propiedad de Markov, lo que significa que el siguiente valor del proceso depende del valor actual, pero es condicionalmente independiente de los valores anteriores del proceso estocástico. En otras palabras, el comportamiento del proceso en el futuro es estocásticamente independiente de su comportamiento en el pasado, dado el estado actual del proceso. ^{[ 191 ] [ 192 ]}

El proceso de movimiento browniano y el proceso de Poisson (en una dimensión) son ejemplos de procesos de Markov ^{[ 193 ]} en tiempo continuo, mientras que las caminatas aleatorias sobre los enteros y el problema de la ruina del jugador son ejemplos de procesos de Markov en tiempo discreto. ^{[ 194 ] [ 195 ]}

Una cadena de Markov es un tipo de proceso de Markov que tiene un espacio de estados discreto o un conjunto de índices discreto (que a menudo representa el tiempo), pero la definición precisa de una cadena de Markov varía. ^{[ 196 ]} Por ejemplo, es común definir una cadena de Markov como un proceso de Markov en tiempo discreto o continuo con un espacio de estados contable (por lo tanto, independientemente de la naturaleza del tiempo), ^{[ 197 ] [ 198 ] [ 199 ] [ 200 ]} pero también ha sido común definir una cadena de Markov como que tiene tiempo discreto en un espacio de estados contable o continuo (por lo tanto, independientemente del espacio de estados). ^{[ 196 ]} Se ha argumentado que la primera definición de una cadena de Markov, donde tiene tiempo discreto, ahora tiende a usarse, a pesar de que la segunda definición ha sido utilizada por investigadores como Joseph Doob y Kai Lai Chung . ^{[ 201 ]}

Los procesos de Markov forman una clase importante de procesos estocásticos y tienen aplicaciones en muchas áreas. ^{[ 39 ] [ 202 ]} Por ejemplo, son la base de un método general de simulación estocástica conocido como Monte Carlo de cadena de Markov , que se utiliza para simular objetos aleatorios con distribuciones de probabilidad específicas y ha encontrado aplicación en la estadística bayesiana . ^{[ 203 ] [ 204 ]}

El concepto de la propiedad de Markov fue originalmente para procesos estocásticos en tiempo continuo y discreto, pero la propiedad se ha adaptado para otros conjuntos de índices como${\displaystyle n}$Espacio euclidiano de dimensión , que da como resultado colecciones de variables aleatorias conocidas como campos aleatorios de Markov. ^{[ 205 ] [ 206 ] [ 207 ]}

Una martingala es un proceso estocástico de tiempo discreto o continuo con la propiedad de que, en cada instante, dado el valor actual y todos los valores pasados ​​del proceso, la esperanza condicional de cada valor futuro es igual al valor actual. En tiempo discreto, si esta propiedad se cumple para el siguiente valor, entonces se cumple para todos los valores futuros. La definición matemática exacta de una martingala requiere otras dos condiciones junto con el concepto matemático de filtración, que está relacionado con la intuición de que la información disponible aumenta a medida que pasa el tiempo. Las martingalas se definen generalmente como de valor real, ^{[ 208 ] [ 209 ] [ 155 ]} pero también pueden ser de valor complejo ^{[ 210 ]} o incluso más generales. ^{[ 211 ]}

Un paseo aleatorio simétrico y un proceso de Wiener (con deriva cero) son ejemplos de martingalas, respectivamente, en tiempo discreto y continuo. ^{[ 208 ] [ 209 ]} Para una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$con media cero, el proceso estocástico formado a partir de las sumas parciales sucesivas${\displaystyle X_{1},X_{1}+X_{2},X_{1}+X_{2}+X_{3},\dots }$es una martingala de tiempo discreto. ^{[ 212 ]} En este aspecto, las martingalas de tiempo discreto generalizan la idea de sumas parciales de variables aleatorias independientes. ^{[ 213 ]}

Las martingalas también pueden crearse a partir de procesos estocásticos aplicando transformaciones adecuadas, como es el caso del proceso de Poisson homogéneo (en la recta real), que da como resultado una martingala denominada proceso de Poisson compensado . ^{[ 209 ]} Las martingalas también pueden construirse a partir de otras martingalas. ^{[ 212 ]} Por ejemplo, existen martingalas basadas en la martingala del proceso de Wiener, que forman martingalas de tiempo continuo. ^{[ 208 ] [ 214 ]}

Las martingalas formalizan matemáticamente la idea de un "juego justo" donde es posible formar expectativas razonables para las ganancias, ^{[ 215 ]} y fueron desarrolladas originalmente para demostrar que no es posible obtener una ventaja "injusta" en dicho juego. ^{[ 216 ]} Pero ahora se utilizan en muchas áreas de la probabilidad, que es una de las principales razones para estudiarlas. ^{[ 155 ] [ 216 ] [ 217 ]} Muchos problemas de probabilidad se han resuelto encontrando una martingala en el problema y estudiándola. ^{[ 218 ]} Las martingalas convergen, dadas ciertas condiciones sobre sus momentos, por lo que se utilizan a menudo para derivar resultados de convergencia, debido en gran parte a los teoremas de convergencia de martingalas . ^{[ 213 ] [ 219 ] [ 220 ]}

Las martingalas tienen muchas aplicaciones en estadística, pero se ha señalado que su uso y aplicación no están tan extendidos como podrían estar en el campo de la estadística, particularmente en la inferencia estadística. ^{[ 221 ]} Han encontrado aplicaciones en áreas de la teoría de la probabilidad, como la teoría de colas y el cálculo de Palm ^{[ 222 ]} y otros campos como la economía ^{[ 223 ]} y las finanzas. ^{[ 17 ]}

Los procesos de Lévy son tipos de procesos estocásticos que pueden considerarse generalizaciones de caminatas aleatorias en tiempo continuo. ^{[ 49 ] [ 224 ]} Estos procesos tienen muchas aplicaciones en campos como las finanzas, la mecánica de fluidos, la física y la biología. ^{[ 225 ] [ 226 ]} Las principales características definitorias de estos procesos son sus propiedades de estacionariedad e independencia, por lo que se les conoce como procesos con incrementos estacionarios e independientes . En otras palabras, un proceso estocástico.${\displaystyle X}$es un proceso de Lévy si para${\displaystyle n}$números no negativos,${\displaystyle 0\leq t_{1}\leq \dots \leq t_{n}}$, el correspondiente${\displaystyle n-1}$incrementos

${\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}},\dots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}},}$

son todos independientes entre sí, y la distribución de cada incremento solo depende de la diferencia de tiempo. ^{[ 49 ]}

Un proceso de Lévy puede definirse de tal manera que su espacio de estados sea algún espacio matemático abstracto, como un espacio de Banach , pero los procesos a menudo se definen de manera que tomen valores en el espacio euclidiano. El conjunto de índices son los números no negativos, por lo que${\displaystyle I=[0,\infty )}$, que da la interpretación del tiempo. Procesos estocásticos importantes como el proceso de Wiener, el proceso de Poisson homogéneo (en una dimensión) y los subordinadores son todos procesos de Lévy. ^{[ 49 ] [ 224 ]}

Un campo aleatorio es una colección de variables aleatorias indexadas por un${\displaystyle n}$Espacio euclidiano de dimensión o alguna variedad. En general, un campo aleatorio puede considerarse un ejemplo de un proceso estocástico o aleatorio, donde el conjunto de índices no es necesariamente un subconjunto de la recta real. ^{[ 30 ]} Pero existe la convención de que una colección indexada de variables aleatorias se llama campo aleatorio cuando el índice tiene dos o más dimensiones. ^{[ 5 ] [ 28 ] [ 227 ]} Si la definición específica de un proceso estocástico requiere que el conjunto de índices sea un subconjunto de la recta real, entonces el campo aleatorio puede considerarse como una generalización del proceso estocástico. ^{[ 228 ]}

Un proceso de puntos es una colección de puntos ubicados aleatoriamente en algún espacio matemático como la recta real,${\displaystyle n}$Espacio euclidiano de dimensión , o espacios más abstractos. A veces no se prefiere el término proceso de puntos , ya que históricamente la palabra proceso denotaba una evolución de algún sistema en el tiempo, por lo que un proceso de puntos también se llama campo de puntos aleatorios . ^{[ 229 ]} Hay diferentes interpretaciones de un proceso de puntos, como una medida de conteo aleatoria o un conjunto aleatorio. ^{[ 230 ] [ 231 ]} Algunos autores consideran un proceso de puntos y un proceso estocástico como dos objetos diferentes, de modo que un proceso de puntos es un objeto aleatorio que surge de o está asociado con un proceso estocástico, ^{[ 232 ] [ 233 ]} aunque se ha señalado que la diferencia entre procesos de puntos y procesos estocásticos no es clara. ^{[ 233 ]}

Otros autores consideran un proceso puntual como un proceso estocástico, donde el proceso está indexado por conjuntos del espacio subyacente ^{[ d ]} en el que está definido, como la recta real o${\displaystyle n}$Espacio euclidiano de dimensión . ^{[ 236 ] [ 237 ]} Otros procesos estocásticos, como los procesos de renovación y conteo, se estudian en la teoría de procesos puntuales. ^{[ 238 ] [ 233 ]}

La teoría de la probabilidad tiene sus orígenes en los juegos de azar, que cuentan con una larga historia, algunos de los cuales se practicaban hace miles de años, ^{[ 239 ]} pero se realizó muy poco análisis sobre ellos en términos de probabilidad. ^{[ 240 ]} El año 1654 se considera a menudo el nacimiento de la teoría de la probabilidad, cuando los matemáticos franceses Pierre Fermat y Blaise Pascal mantuvieron una correspondencia escrita sobre probabilidad, motivada por un problema de juego . ^{[ 241 ] [ 242 ]} Pero existían trabajos matemáticos anteriores sobre la probabilidad de los juegos de azar, como el Liber de Ludo Aleae de Gerolamo Cardano , escrito en el siglo XVI pero publicado póstumamente en 1663. ^{[ 243 ]}

Después de Cardano, Jakob Bernoulli ^{[ e ]} escribió Ars Conjectandi , considerado un acontecimiento significativo en la historia de la teoría de la probabilidad. El libro de Bernoulli se publicó, también póstumamente, en 1713 e inspiró a muchos matemáticos a estudiar la probabilidad. ^{[ 245 ] [ 246 ]} Pero a pesar de que algunos matemáticos renombrados contribuyeron a la teoría de la probabilidad, como Pierre-Simon Laplace , Abraham de Moivre , Carl Gauss , Siméon Poisson y Pafnuty Chebyshev , ^{[ 247 ] [ 248 ]} la mayor parte de la comunidad matemática ^{[ f ]} no consideró la teoría de la probabilidad como parte de las matemáticas hasta el siglo XX. ^{[ 247 ] [ 249 ] [ 250 ] [ 251 ]}

En las ciencias físicas, los científicos desarrollaron en el siglo XIX la disciplina de la mecánica estadística , donde los sistemas físicos, como los recipientes llenos de gases, se consideran o tratan matemáticamente como colecciones de muchas partículas en movimiento. Aunque algunos científicos, como Rudolf Clausius , intentaron incorporar la aleatoriedad a la física estadística, la mayor parte del trabajo tenía poca o ninguna aleatoriedad. ^{[ 252 ] [ 253 ]} Esto cambió en 1859 cuando James Clerk Maxwell contribuyó significativamente al campo, más específicamente, a la teoría cinética de los gases, al presentar un trabajo donde modeló las partículas de gas moviéndose en direcciones aleatorias a velocidades aleatorias. ^{[ 254 ] [ 255 ]} La teoría cinética de los gases y la física estadística continuaron desarrollándose en la segunda mitad del siglo XIX, con trabajos realizados principalmente por Clausius, Ludwig Boltzmann y Josiah Gibbs , que más tarde tendrían influencia en el modelo matemático de Albert Einstein para el movimiento browniano . ^{[ 256 ]}

En el Congreso Internacional de Matemáticos de París en 1900, David Hilbert presentó una lista de problemas matemáticos , donde su sexto problema solicitaba un tratamiento matemático de la física y la probabilidad que involucrara axiomas . ^{[ 248 ]} Alrededor del comienzo del siglo XX, los matemáticos desarrollaron la teoría de la medida, una rama de las matemáticas para el estudio de integrales de funciones matemáticas, cuyos fundadores fueron dos matemáticos franceses, Henri Lebesgue y Émile Borel . En 1925, otro matemático francés, Paul Lévy, publicó el primer libro de probabilidad que utilizaba ideas de la teoría de la medida. ^{[ 248 ]}

En la década de 1920, matemáticos como Sergei Bernstein , ^Aleksandr Khinchin y Andrei Kolmogorov realizaron contribuciones fundamentales a ^la teoría de la probabilidad en la Unión Soviética . ^{[ 251 ]} Kolmogorov publicó en 1929 su primer intento de presentar una base matemática, basada en la teoría de la medida, para la teoría de la probabilidad. ^{[ 257 ] A principios de la} década de 1930 , Khinchin y Kolmogorov organizaron seminarios de probabilidad, a los que asistieron investigadores como Eugene Slutsky y Nikolai Smirnov , ^{[ 258 ]} y Khinchin dio la primera definición matemática de un proceso estocástico como un conjunto de variables aleatorias indexadas por la recta real. ^{[ 63 ] [ 259 ] [ h ]}

En 1933, Andrei Kolmogorov publicó en alemán su libro sobre los fundamentos de la teoría de la probabilidad, titulado Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung , ^{[ i ]} donde Kolmogorov utilizó la teoría de la medida para desarrollar un marco axiomático para la teoría de la probabilidad. La publicación de este libro se considera hoy en día el nacimiento de la teoría moderna de la probabilidad, cuando las teorías de la probabilidad y los procesos estocásticos se convirtieron en parte de las matemáticas. ^{[ 248 ] [ 251 ]}

Tras la publicación del libro de Kolmogorov, Khinchin y Kolmogorov, así como otros matemáticos como Joseph Doob , William Feller , Maurice Fréchet , Paul Lévy , Wolfgang Doeblin y Harald Cramér , realizaron trabajos fundamentales sobre la teoría de la probabilidad y los procesos estocásticos. ^{[ 248 ] [ 251 ]} Décadas más tarde, Cramér se refirió a la década de 1930 como el «período heroico de la teoría matemática de la probabilidad». ^{[ 251 ]} La Segunda Guerra Mundial interrumpió en gran medida el desarrollo de la teoría de la probabilidad, provocando, por ejemplo, la migración de Feller de Suecia a los Estados Unidos de América ^{[ 251 ]} y la muerte de Doeblin, considerado hoy un pionero en procesos estocásticos. ^{[ 261 ]}

Después de la Segunda Guerra Mundial, el estudio de la teoría de la probabilidad y los procesos estocásticos ganó mayor atención por parte de los matemáticos, con contribuciones significativas en muchas áreas de la probabilidad y las matemáticas, así como la creación de nuevas áreas. ^{[ 251 ] [ 264 ]} A partir de la década de 1940, Kiyosi Itô publicó artículos que desarrollaban el campo del cálculo estocástico , que involucra integrales estocásticas y ecuaciones diferenciales estocásticas basadas en el proceso de movimiento browniano o de Wiener. ^{[ 265 ]}

También a partir de la década de 1940, se establecieron conexiones entre los procesos estocásticos, en particular las martingalas, y el campo matemático de la teoría del potencial , con ideas iniciales de Shizuo Kakutani y trabajos posteriores de Joseph Doob. ^{[ 264 ]} Gilbert Hunt realizó trabajos adicionales, considerados pioneros, en la década de 1950, conectando los procesos de Markov y la teoría del potencial, lo que tuvo un efecto significativo en la teoría de los procesos de Lévy y generó mayor interés en el estudio de los procesos de Markov con los métodos desarrollados por Itô. ^{[ 21 ] [ 266 ] [ 267 ]}

En 1953, Doob publicó su libro Procesos estocásticos , que tuvo una fuerte influencia en la teoría de procesos estocásticos y destacó la importancia de la teoría de la medida en probabilidad. ^{[ 264 ] [ 263 ]} Doob también desarrolló principalmente la teoría de martingalas, con contribuciones sustanciales posteriores de Paul-André Meyer . Trabajos anteriores habían sido realizados por Sergei Bernstein , Paul Lévy y Jean Ville , este último adoptando el término martingala para el proceso estocástico. ^{[ 268 ] [ 269 ]} Los métodos de la teoría de martingalas se popularizaron para resolver diversos problemas de probabilidad. Se desarrollaron técnicas y teoría para estudiar procesos de Markov y luego se aplicaron a martingalas. A la inversa, se establecieron métodos de la teoría de martingalas para tratar procesos de Markov. ^{[ 264 ]}

Se desarrollaron y utilizaron otros campos de la probabilidad para estudiar procesos estocásticos, siendo uno de los enfoques principales la teoría de grandes desviaciones. ^{[ 264 ]} Esta teoría tiene numerosas aplicaciones en la física estadística, entre otros campos, y sus ideas centrales se remontan al menos a la década de 1930. Posteriormente, en las décadas de 1960 y 1970, Alexander Wentzell realizó un trabajo fundamental en la Unión Soviética, y Monroe D. Donsker y Srinivasa Varadhan en los Estados Unidos de América, ^{[ 270 ]} lo que más tarde le valdría a Varadhan el Premio Abel de 2007. ^{[ 271 ]} En las décadas de 1990 y 2000, las teorías de la evolución de Schramm-Loewner ^{[ 272 ]} y de las trayectorias irregulares ^{[ 142 ]} se introdujeron y desarrollaron para estudiar procesos estocásticos y otros objetos matemáticos en la teoría de la probabilidad, lo que resultó respectivamente en que se otorgaran las Medallas Fields a Wendelin Werner ^{[ 273 ]} en 2008 y a Martin Hairer en 2014. ^{[ 274 ]}

La teoría de los procesos estocásticos sigue siendo un foco de investigación, con conferencias internacionales anuales sobre el tema. ^{[ 45 ] [ 225 ]}

Aunque Khinchin dio definiciones matemáticas de procesos estocásticos en la década de 1930, ^{[ 63 ] [ 259 ]} ya se habían descubierto procesos estocásticos específicos en diferentes contextos, como el proceso de movimiento browniano y el proceso de Poisson. ^{[ 21 ] [ 24 ]} Algunas familias de procesos estocásticos, como los procesos puntuales o los procesos de renovación, tienen historias largas y complejas que se remontan a siglos atrás. ^{[ 275 ]}

Proceso de Wiener

El proceso de Wiener o proceso de movimiento browniano tiene sus orígenes en diferentes campos, incluyendo la estadística, las finanzas y la física. ^{[ 21 ]} En 1880, el astrónomo danés Thorvald Thiele escribió un artículo sobre el método de mínimos cuadrados, donde utilizó el proceso para estudiar los errores de un modelo en el análisis de series temporales. ^{[ 284 ] [ 285 ] [ 286 ]} El trabajo ahora se considera un descubrimiento temprano del método estadístico conocido como filtrado de Kalman , pero fue en gran medida ignorado. Se cree que las ideas en el artículo de Thiele eran demasiado avanzadas para haber sido comprendidas por la comunidad matemática y estadística en general en ese momento. ^{[ 286 ]}

El matemático francés Louis Bachelier utilizó un proceso de Wiener en su tesis de 1900 ^{[ 287 ] [ 288 ]} para modelar los cambios de precios en la Bolsa de París , una bolsa de valores , ^{[ 289 ]} sin conocer el trabajo de Thiele. ^{[ 21 ]} Se ha especulado que Bachelier tomó ideas del modelo de paseo aleatorio de Jules Regnault , pero Bachelier no lo citó, ^{[ 290 ]} y la tesis de Bachelier ahora se considera pionera en el campo de las matemáticas financieras. ^{[ 289 ] [ 290 ]}

Se suele pensar que la obra de Bachelier pasó desapercibida y cayó en el olvido durante décadas hasta que Leonard Savage la redescubrió en la década de 1950 , y posteriormente se popularizó tras la traducción al inglés de su tesis en 1964. Sin embargo, su obra nunca fue olvidada en la comunidad matemática, ya que Bachelier publicó un libro en 1912 donde detallaba sus ideas, ^{[ 290 ]} citado por matemáticos como Doob, Feller ^{[ 290 ]} y Kolmogorov. ^{[ 21 ]} El libro siguió siendo citado, pero a partir de la década de 1960, la tesis original de Bachelier comenzó a ser más citada que su libro cuando los economistas empezaron a citar su obra. ^{[ 290 ]}

En 1905, Albert Einstein publicó un artículo donde estudiaba la observación física del movimiento browniano para explicar los movimientos aparentemente aleatorios de las partículas en líquidos, utilizando ideas de la teoría cinética de los gases . Einstein derivó una ecuación diferencial , conocida como ecuación de difusión , para describir la probabilidad de encontrar una partícula en una región determinada del espacio. Poco después del primer artículo de Einstein sobre el movimiento browniano, Marian Smoluchowski publicó un trabajo donde citaba a Einstein, pero escribía que había derivado independientemente los resultados equivalentes utilizando un método diferente. ^{[ 291 ]}

El trabajo de Einstein, así como los resultados experimentales obtenidos por Jean Perrin , inspiraron posteriormente a Norbert Wiener en la década de 1920 ^{[ 292 ]} a utilizar un tipo de teoría de la medida, desarrollada por Percy Daniell , y el análisis de Fourier para demostrar la existencia del proceso de Wiener como un objeto matemático. ^{[ 21 ]}

Al construir procesos estocásticos de tiempo continuo, surgen ciertas dificultades matemáticas debido a los conjuntos de índices no numerables, que no se presentan con los procesos de tiempo discreto. ^{[ 58 ] [ 59 ]} Un problema es que es posible tener más de un proceso estocástico con las mismas distribuciones de dimensión finita. Por ejemplo, tanto la modificación continua por la izquierda como la modificación continua por la derecha de un proceso de Poisson tienen las mismas distribuciones de dimensión finita. ^{[ 312 ]} Esto significa que la distribución del proceso estocástico no especifica necesariamente de forma única las propiedades de las funciones de muestra del proceso estocástico. ^{[ 307 ] [ 313 ]}

Otro problema es que los funcionales de un proceso de tiempo continuo que dependen de un número incontable de puntos del conjunto de índices pueden no ser medibles, por lo que las probabilidades de ciertos eventos pueden no estar bien definidas. ^{[ 168 ]} Por ejemplo, el supremo de un proceso estocástico o campo aleatorio no es necesariamente una variable aleatoria bien definida. ^{[ 30 ] [ 59 ]} Para un proceso estocástico de tiempo continuo${\displaystyle X}$, otras características que dependen de un número incontable de puntos del conjunto de índices${\displaystyle T}$incluir: ^{[ 168 ]}

• una función de muestra de un proceso estocástico${\displaystyle X}$es una función continua de${\displaystyle t\in T}$;
• una función de muestra de un proceso estocástico${\displaystyle X}$es una función acotada de${\displaystyle t\in T}$; y
• una función de muestra de un proceso estocástico${\displaystyle X}$es una función creciente de${\displaystyle t\in T}$.

donde el símbolo ∈ se puede leer "un miembro del conjunto", como en${\displaystyle t}$un miembro del conjunto${\displaystyle T}$.

Para superar las dos dificultades descritas anteriormente, es decir, "más de uno..." y "funcionales de...", son posibles diferentes supuestos y enfoques. ^{[ 69 ]}

Un enfoque para evitar problemas de construcción matemática de procesos estocásticos, propuesto por Joseph Doob , consiste en asumir que el proceso estocástico es separable. ^{[ 314 ]} La separabilidad garantiza que las distribuciones de dimensión infinita determinen las propiedades de las funciones de muestra al requerir que estas funciones estén esencialmente determinadas por sus valores en un conjunto denso y numerable de puntos en el conjunto de índices. ^{[ 315 ]} Además, si un proceso estocástico es separable, entonces los funcionales de un número incontable de puntos del conjunto de índices son medibles y sus probabilidades pueden estudiarse. ^{[ 168 ] [ 315 ]}

Es posible otro enfoque, desarrollado originalmente por Anatoliy Skorokhod y Andrei Kolmogorov , ^{[ 316 ]} para un proceso estocástico de tiempo continuo con cualquier espacio métrico como su espacio de estados. Para la construcción de dicho proceso estocástico, se supone que las funciones de muestra del proceso estocástico pertenecen a algún espacio de funciones adecuado, que suele ser el espacio de Skorokhod que consta de todas las funciones continuas por la derecha con límites por la izquierda. Este enfoque se utiliza ahora más que la suposición de separabilidad, ^{[ 69 ] [ 262 ]} pero dicho proceso estocástico basado en este enfoque será automáticamente separable. ^{[ 317 ]}

Aunque menos utilizada, la suposición de separabilidad se considera más general porque todo proceso estocástico tiene una versión separable. ^{[ 262 ]} También se utiliza cuando no es posible construir un proceso estocástico en un espacio de Skorokhod. ^{[ 173 ]} Por ejemplo, la separabilidad se asume al construir y estudiar campos aleatorios, donde la colección de variables aleatorias ahora está indexada por conjuntos distintos de la recta real, como${\displaystyle n}$Espacio euclidiano de -dimensiones. ^{[ 30 ] [ 318 ]}