De izquierda a derecha

En la teoría de conjuntos , L(R) (pronunciado L de R ) es el modelo interno transitivo más pequeño de ZF que contiene todos los ordinales y todos los reales .

Se puede construir de manera análoga a la construcción de L (es decir, el universo construible de Gödel ), agregando todos los números reales al comienzo y luego iterando la operación de conjunto potencia definible a través de todos los ordinales.

En general, el estudio de L(R) supone una amplia gama de axiomas cardinales grandes , ya que sin estos axiomas no se puede demostrar ni siquiera que L(R) es distinto de L. Pero dado que existen suficientes cardinales grandes, L(R) no satisface el axioma de elección , sino más bien el axioma de determinación . Sin embargo, L(R) seguirá satisfaciendo el axioma de elección dependiente , dado únicamente que el universo de von Neumann , V, también satisface ese axioma.

Dadas las suposiciones anteriores, algunos resultados adicionales de la teoría son:

• Todo conjunto proyectivo de números reales –y, por lo tanto, todo conjunto analítico y todo conjunto de Borel de números reales– es un elemento de L(R).
• Todo conjunto de números reales en L(R) es medible según el método de Lebesgue (de hecho, universalmente medible ) y tiene la propiedad de Baire y la propiedad de conjunto perfecto .
• L(R) no satisface el axioma de uniformización ni el axioma de determinación real .
• R ^# , el sostenido del conjunto de todos los números reales, tiene el grado de Wadge más pequeño de cualquier conjunto de números reales no contenido en L(R).
• Si bien no todas las relaciones de los reales en L(R) tienen una uniformización en L(R), cada una de esas relaciones sí tiene una uniformización en L(R ^# ).
• Dada cualquier extensión genérica (de tamaño de conjunto) V[G] de V, L(R) es un submodelo elemental de L(R) calculado en V[G]. Por lo tanto, la teoría de L(R) no se puede cambiar forzando .
• L(R) satisface AD ^​​+ .

• Woodin, W. Hugh (1988). "Cardinales supercompactos, conjuntos de reales y árboles débilmente homogéneos". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 85 (18): 6587–6591. doi : 10.1073/pnas.85.18.6587 . PMC  282022 . PMID  16593979.