Fórmula de reducción de LSZ

En la teoría cuántica de campos , la fórmula de reducción de Lehmann-Symanzik-Zimmermann ( LSZ ) es un método para calcular los elementos de la matriz S (las amplitudes de dispersión ) a partir de las funciones de correlación ordenadas en el tiempo de una teoría cuántica de campos. Es un paso en el camino que parte del lagrangiano de alguna teoría cuántica de campos y conduce a la predicción de cantidades medibles. Recibe su nombre de los tres físicos alemanes Harry Lehmann , Kurt Symanzik y Wolfhart Zimmermann . ^{[ 1 ]}

Aunque la fórmula de reducción LSZ no puede manejar estados ligados , partículas sin masa ni solitones topológicos , puede generalizarse para abarcar estados ligados mediante el uso de campos compuestos , que a menudo son no locales. Además, el método, o variantes del mismo, han resultado fructíferos en otros campos de la física teórica. Por ejemplo, en física estadística se pueden utilizar para obtener una formulación particularmente general del teorema de fluctuación-disipación .

Los elementos de la matriz S son amplitudes de probabilidad de transiciones entre estados internos y externos . ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} Unestado interno${\displaystyle |\{p\}\ \mathrm {en} \rangle }$describe el estado de un sistema de partículas que, en un pasado lejano, antes de interactuar, se movían libremente con momentos definidos { p }, y, a la inversa, un estado de salida${\displaystyle |\{p\}\ \mathrm {out} \rangle }$describe el estado de un sistema de partículas que, mucho después de la interacción, se moverán libremente con momentos definidos { p }.

Los estados de entrada y salida son estados en la imagen de Heisenberg, por lo que no deben considerarse como descripciones de partículas en un momento definido, sino más bien como una descripción del sistema de partículas en toda su evolución, de modo que el elemento de la matriz S:

${\displaystyle S_{\rm {fi}}=\langle \{q\}\ \mathrm {fuera} |\{p\}\ \mathrm {entrada} \rangle }$

es la amplitud de probabilidad para un conjunto de partículas que fueron preparadas con momentos definidos { p } para interactuar y ser medidas posteriormente como un nuevo conjunto de partículas con momentos { q }.

La forma sencilla ^{[ nota 1 ]} de construir estados de entrada y salida es buscar operadores de campo apropiados que proporcionen los operadores de creación y aniquilación correctos . Estos campos se denominan respectivamente campos de entrada y de salida :

Para aclarar algunas ideas, supongamos que tratamos con un campo de Klein-Gordon que interactúa de alguna manera:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _ {\mu }\varphi \partial ^{\mu }\varphi -{\frac {1}{2}}m_{0}^{2}\varphi ^{2}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$puede contener una autointeracción gφ ³ o una interacción con otros campos, como una interacción de Yukawa.${\displaystyle g\ \varphi {\bar {\psi }}\psi }$A partir de este lagrangiano , utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange , se obtiene la ecuación de movimiento:

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m_{0}^{2}\right)\varphi (x)=j_{0}(x)}$

donde, si${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$no contiene acoplamientos derivados:

${\displaystyle j_{0}={\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}{\partial \varphi }}}$

Podemos esperar que el campo interno se asemeje al comportamiento asintótico del campo libre como${\displaystyle x^{0}\to -\infty }$Partiendo de la suposición de que en el pasado lejano la interacción descrita por la corriente j ₀ es despreciable, ya que las partículas están muy alejadas entre sí, esta hipótesis se denomina hipótesis adiabática . Sin embargo, la autointeracción nunca desaparece y, además de muchos otros efectos, provoca una diferencia entre la masa lagrangiana m ₀ y la masa física m del bosón φ . Este hecho debe tenerse en cuenta reescribiendo la ecuación de movimiento de la siguiente manera:

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi (x)=j_{0}(x)+\left(m^{2}-m_{0}^{2}\right)\varphi (x)=j(x)}$

Esta ecuación se puede resolver formalmente utilizando la función de Green retardada del operador de Klein-Gordon.${\displaystyle \partial ^{2}+m^{2}}$:

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {ret} }(x)=i\theta \left(x^{0}\right)\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}k}{(2\pi )^{3}2\omega _{k}}}\left(e^{-ik\cdot x}-e^{ik\cdot x}\right)_{k^{0}=\omega _{k}}\qquad \omega _{k}={\sqrt {\mathbf {k} ^{2}+m^{2}}}}$

lo que nos permite separar la interacción del comportamiento asintótico. La solución es:

${\displaystyle \varphi (x)={\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)+\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(xy)j(y)}$

El factor${\displaystyle {\sqrt {Z}}}$es un factor de normalización que resultará útil más adelante, el campo${\displaystyle \varphi _{\mathrm {en} }}$es una solución de la ecuación homogénea asociada con la ecuación de movimiento:

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi _{\mathrm {in} }(x)=0,}$

y por lo tanto es un campo libre que describe una onda incidente no perturbada, mientras que el último término de la solución da la perturbación de la onda debido a la interacción.

El campo${\displaystyle \varphi _{\mathrm {en} }}$es de hecho el campo que buscábamos, ya que describe el comportamiento asintótico del campo interactuante como${\displaystyle x^{0}\to -\infty }$, aunque esta afirmación se precisará más adelante. Es un campo escalar libre, por lo que puede expandirse en ondas planas:

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {in} }(x)=\int \mathrm {d} ^{3}k\left\{f_{k}(x)a_{\mathrm {in} }(\mathbf {k} )+f_{k}^{*}(x)a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} )\right\}}$

dónde:

${\displaystyle f_{k}(x)=\left.{\frac {e^{-ik\cdot x}}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}(2\omega _{k})^{\frac {1}{2}}}}\right|_{k^{0}=\omega _{k}}}$

La función inversa de los coeficientes en términos del campo se puede obtener fácilmente y expresar de forma elegante:

${\displaystyle a_{\mathrm {in} }(\mathbf {k} )=i\int \mathrm {d} ^{3}xf_{k}^{*}(x){\overleftrightarrow {\partial _ {0}}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)}$

dónde:

${\displaystyle {\mathrm {g} }{\overleftrightarrow {\partial _{0}}}f=\mathrm {g} \partial _{0}f-f\partial _{0}\mathrm {g} .}$

Los coeficientes de Fourier satisfacen el álgebra de operadores de creación y aniquilación :

${\displaystyle [a_{\mathrm {in} }(\mathbf {p} ),a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )]=0;\quad [a_{\mathrm {in} }(\mathbf {p} ),a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {q} )]=\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} );}$

y se pueden utilizar para construir estados de la forma habitual:

${\displaystyle \left|k_{1},\ldots ,k_{n}\ \mathrm {in} \right\rangle ={\sqrt {2\omega _{k_{1}}}}a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} _{1})\ldots {\sqrt {2\omega _{k_{n}}}}a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} _{n})|0\rangle }$

La relación entre el campo interactuante y el campo entrante no es muy sencilla de usar, y la presencia de la función de Green retardada nos tienta a escribir algo como:

${\displaystyle \varphi (x)\sim {\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)\qquad \mathrm {as} \quad x^{0}\to -\infty }$

Esto implica asumir implícitamente que todas las interacciones se vuelven insignificantes cuando las partículas están muy alejadas entre sí. Sin embargo, la corriente _j ( x ) también contiene autointeracciones, como las que producen el cambio de masa de m₀ a m . Estas interacciones no desaparecen a medida que las partículas se alejan, por lo que se debe tener mucho cuidado al establecer relaciones asintóticas entre el campo interactuante y el campo interno .

La prescripción correcta, tal como la desarrollaron Lehmann, Symanzik y Zimmermann, requiere dos estados normalizables.${\displaystyle |\alpha \rangle }$y${\displaystyle |\beta \rangle }$y una solución normalizable f ( x ) de la ecuación de Klein-Gordon  ${\displaystyle (\partial ^{2}+m^{2})f(x)=0}$Con estos datos se puede enunciar una relación asintótica correcta y útil, aunque muy débil:

${\displaystyle \lim _{x^{0}\to -\infty }\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi (x)|\beta \rangle ={\sqrt {Z}}\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)|\beta \rangle }$

El segundo miembro es, de hecho, independiente del tiempo, como se puede demostrar diferenciando y recordando que ambos${\displaystyle \varphi _{\mathrm {in} }}$y f satisfacen la ecuación de Klein-Gordon .  

Con las modificaciones adecuadas, se pueden seguir los mismos pasos para construir un campo de salida que genere estados de salida . En particular, la definición del campo de salida es:

${\displaystyle \varphi (x)={\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {out} }(x)+\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {adv} }(x-y)j(y)}$

dónde${\displaystyle \Delta _{\mathrm {adv} }(x-y)}$es la función de Green avanzada del operador de Klein-Gordon. La relación asintótica débil entre el campo de salida y el campo de interacción es:

${\displaystyle \lim _{x^{0}\to \infty }\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi (x)|\beta \rangle ={\sqrt {Z}}\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {out} }(x)|\beta \rangle }$

Las relaciones asintóticas son todo lo que se necesita para obtener la fórmula de reducción LSZ. Para mayor comodidad, comenzamos con el elemento de matriz:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})|\alpha \ \mathrm {in} \rangle }$

lo cual es ligeramente más general que un elemento de matriz S. De hecho,${\displaystyle {\mathcal {M}}}$es el valor esperado del producto ordenado en el tiempo de una serie de campos${\displaystyle \varphi (y_{1})\cdots \varphi (y_{n})}$entre un estado de salida y un estado de entrada . El estado de salida puede contener cualquier cosa, desde el vacío hasta un número indefinido de partículas, cuyos momentos se resumen mediante el índice β . El estado de entrada contiene al menos una partícula con momento p , y posiblemente muchas otras, cuyos momentos se resumen mediante el índice α . Si no hay campos en el producto ordenado en el tiempo, entonces${\displaystyle {\mathcal {M}}}$es obviamente un elemento de la matriz S. La partícula con momento p puede ser 'extraída' del estado mediante el uso de un operador de creación:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\sqrt {2\omega _{p}}}\ \left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} ){\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle }$

donde el primo en${\displaystyle \alpha }$denota que se ha extraído una partícula. Suponiendo que no hay ninguna partícula con momento p presente en el estado de salida , es decir, ignorando la dispersión hacia adelante, podemos escribir:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\sqrt {2\omega _{p}}}\ \left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\left\{\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} )-a_{\mathrm {out} }^{\dagger }(\mathbf {p} )\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\right\}{\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle }$

porque${\displaystyle a_{\mathrm {out} }^{\dagger }}$Actuando por la izquierda se obtiene cero. Expresando a los operadores de construcción en términos de campos de entrada y salida , tenemos:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {2\omega _{p}}}\ \int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\left\{\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\varphi _{\mathrm {in} }(x)-\varphi _{\mathrm {out} }(x)\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\right\}{\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle }$

Ahora podemos usar la condición asintótica para escribir:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\left\{\lim _{x^{0}\to -\infty }\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\varphi (x)|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle -\lim _{x^{0}\to \infty }\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\varphi (x)\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle \right\}}$

Entonces observamos que el campo φ ( x ) puede ser introducido dentro del producto ordenado en el tiempo, ya que aparece a la derecha cuando x ⁰ → −∞ y a la izquierda cuando x ⁰ → ∞ :

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\left(\lim _{x^{0}\to -\infty }-\lim _{x^{0}\to \infty }\right)\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle }$

A continuación, lo que importa es la dependencia de x en el producto ordenado en el tiempo, por lo que establecemos:

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle =\eta (x)}$

Se puede demostrar realizando explícitamente la integración temporal que: ^{[ nota 2 ]}

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} (x^{0})\partial _{0}\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\eta (x)}$

de modo que, mediante derivación temporal explícita, tenemos:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} ^{4}x\left\{f_{p}(x)\partial _{0}^{2}\eta (x)-\eta (x)\partial _{0}^{2}f_{p}(x)\right\}}$

Por su definición vemos que f _p ( x ) es una solución de la ecuación de Klein-Gordon, que se puede escribir como:  

${\displaystyle \partial _{0}^{2}f_{p}(x)=\left(\Delta -m^{2}\right)f_{p}(x)}$

Sustituyendo en la expresión para${\displaystyle {\mathcal {M}}}$e integrando por partes, llegamos a:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} ^{4}xf_{p}(x)\left(\partial _{0}^{2}-\Delta +m^{2}\right)\eta (x)}$

Eso es:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\int \mathrm {d} ^{4}xe^{-ip\cdot x}\left(\Box +m^{2}\right)\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle }$

Partiendo de este resultado y siguiendo el mismo camino, se puede extraer otra partícula del estado de entrada , lo que lleva a la inserción de otro campo en el producto ordenado en el tiempo. Una rutina muy similar puede extraer partículas del estado de salida , y ambas pueden iterarse para obtener el vacío tanto a la derecha como a la izquierda del producto ordenado en el tiempo, lo que lleva a la fórmula general:

${\displaystyle \langle p_{1},\ldots ,p_{n}\ \mathrm {out} |q_{1},\ldots ,q_{m}\ \mathrm {in} \rangle =\int \prod _{i=1}^{m}\left\{\mathrm {d} ^{4}x_{i}{\frac {ie^{-iq_{i}\cdot x_{i}}\left(\Box _{x_{i}}+m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\prod _{j=1}^{n}\left\{\mathrm {d} ^{4}y_{j}{\frac {ie^{ip_{j}\cdot y_{j}}\left(\Box _{y_{j}}+m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\langle \Omega |\mathrm {T} \varphi (x_{1})\ldots \varphi (x_{m})\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})|\Omega \rangle }$

Esta es la fórmula de reducción LSZ para escalares de Klein-Gordon. Adquiere una apariencia mucho mejor si se escribe utilizando la transformada de Fourier de la función de correlación:

${\displaystyle \Gamma \left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)=\int \prod _{i=1}^{n}\left\{\mathrm {d} ^{4}x_{i}e^{ip_{i}\cdot x_{i}}\right\}\langle \Omega |\mathrm {T} \ \varphi (x_{1})\ldots \varphi (x_{n})|\Omega \rangle }$

Utilizando la transformada inversa para sustituir en la fórmula de reducción LSZ, con cierto esfuerzo, se puede obtener el siguiente resultado:

${\displaystyle \langle p_{1},\ldots ,p_{n}\ \mathrm {out} |q_{1},\ldots ,q_{m}\ \mathrm {in} \rangle =\prod _{i=1}^{m}\left\{-{\frac {i\left(p_{i}^{2}-m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\prod _{j=1}^{n}\left\{-{\frac {i\left(q_{j}^{2}-m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\Gamma \left(p_{1},\ldots ,p_{n};-q_{1},\ldots ,-q_{m}\right)}$

Dejando de lado los factores de normalización, esta fórmula afirma que los elementos de la matriz S son los residuos de los polos que surgen en la transformada de Fourier de las funciones de correlación cuando los cuadrimomentos se colocan en la capa de masas.

Recordemos que las soluciones a la ecuación de Dirac de campo libre cuantizada se pueden escribir como

${\displaystyle \Psi (x)=\sum _{s=\pm }\int \!\mathrm {d} {\tilde {p}}{\big (}b_{\textbf {p}}^{s}u_{\textbf {p}}^{s}\mathrm {e} ^{ip\cdot x}+d_{\textbf {p}}^{\dagger s}v_{\textbf {p}}^{s}\mathrm {e} ^{-ip\cdot x}{\big )},}$

donde la firma métrica es mayoritariamente positiva,${\displaystyle b_{\textbf {p}}^{s}}$es un operador de aniquilación para partículas de tipo b con momento${\displaystyle {\textbf {p}}}$y girar${\displaystyle s=\pm }$,${\displaystyle d_{\textbf {p}}^{\dagger s}}$es un operador de creación para partículas de tipo d de espín${\displaystyle s}$y los espinores${\displaystyle u_{\textbf {p}}^{s}}$y${\displaystyle v_{\textbf {p}}^{s}}$satisfacer${\displaystyle (p\!\!\!/+m)u_{\textbf {p}}^{s}=0}$y${\displaystyle (p\!\!\!/-m)v_{\textbf {p}}^{s}=0}$La medida invariante de Lorentz se escribe como${\displaystyle \mathrm {d} {\tilde {p}}:=\mathrm {d} ^{3}p/(2\pi )^{3}2\omega _{\textbf {p}}}$, con${\displaystyle \omega _{\textbf {p}}={\sqrt {{\textbf {p}}^{2}+m^{2}}}}$. Consideremos ahora un evento de dispersión que consiste en un estado${\displaystyle |\alpha \ \mathrm {in} \rangle }$de partículas no interactuantes que se aproximan a una región de interacción en el origen, donde ocurre la dispersión, seguida de un estado de salida .${\displaystyle |\beta \ \mathrm {out} \rangle }$de partículas salientes no interactuantes. La amplitud de probabilidad para este proceso viene dada por

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |\alpha \ \mathrm {in} \rangle ,}$

donde no se ha insertado ningún producto adicional ordenado por tiempo de operadores de campo, por simplicidad. La situación considerada será la dispersión de${\displaystyle n}$partículas de tipo b a${\displaystyle n'}$partículas de tipo b. Supongamos que el estado consiste en${\displaystyle n}$partículas con momento${\displaystyle \{{\textbf {p}}_{1},...,{\textbf {p}}_{n}\}}$y giros${\displaystyle \{s_{1},...,s_{n}\}}$, mientras que el estado de salida contiene partículas de momento${\displaystyle \{{\textbf {k}}_{1},...,{\textbf {k}}_{n'}\}}$y giros${\displaystyle \{\sigma _{1},...,\sigma _{n'}\}}$Los estados de entrada y salida se dan entonces por

${\displaystyle |\alpha \ \mathrm {in} \rangle =|{\textbf {p}}_{1}^{s_{1}},...,{\textbf {p}}_{n}^{s_{n}}\rangle \quad {\text{and}}\quad |\beta \ \mathrm {out} \rangle =|{\textbf {k}}_{1}^{\sigma _{1}},...,{\textbf {k}}_{n'}^{\sigma _{n'}}\rangle .}$

Extrayendo una partícula de${\displaystyle |\alpha \ \mathrm {in} \rangle }$produce un operador de creación de campo libre${\displaystyle b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {in} }^{\dagger s_{1}}}$actuando sobre el estado con una partícula menos. Suponiendo que ninguna partícula saliente tiene ese mismo momento, entonces podemos escribir:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {in} }^{\dagger s_{1}}-b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {out} }^{\dagger s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ,}$

donde el primo en${\displaystyle \alpha }$denota que se ha extraído una partícula. Ahora recordemos que en la teoría libre, los operadores de partículas de tipo b se pueden escribir en términos del campo utilizando la relación inversa.

${\displaystyle b_{\textbf {p}}^{\dagger s}=\int \!\mathrm {d} ^{3}x\;\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s},}$

dónde${\displaystyle {\bar {\Psi }}(x)=\Psi ^{\dagger }(x)\gamma ^{0}}$Denotando los campos libres asintóticos por${\displaystyle \Psi _{\text{in}}}$y${\displaystyle \Psi _{\text{out}}}$, encontramos

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\int \!\mathrm {d} ^{3}x_{1}\;\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\text{in}}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}-{\bar {\Psi }}_{\text{out}}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

La condición asintótica débil necesaria para un campo de Dirac, análoga a la de los campos escalares, se lee:

${\displaystyle \lim _{x^{0}\rightarrow -\infty }\int \!\mathrm {d} ^{3}x\langle \beta |\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s}|\alpha \rangle ={\sqrt {Z}}\int \!\mathrm {d} ^{3}x\langle \beta |\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}_{\text{in}}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s}|\alpha \rangle ,}$

y de igual manera para el campo exterior . La amplitud de dispersión es entonces

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {1}{\sqrt {Z}}}{\Big (}\lim _{x_{1}^{0}\rightarrow -\infty }-\lim _{x_{1}^{0}\rightarrow +\infty }{\Big )}\int \!\mathrm {d} ^{3}x_{1}\;\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ,}$

donde ahora aparece el campo interactuante en el producto interno. Reescribiendo los límites en términos de la integral de una derivada temporal , tenemos

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-{\frac {1}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\partial _{0}{\big (}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle {\big )}}$

${\displaystyle =-{\frac {1}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}(\partial _{0}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\eta (x_{1})+\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\partial _{0}\eta (x_{1}){\big )}\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}},}$

donde el vector fila de elementos de la matriz del campo de Dirac barrado se escribe como${\displaystyle \eta (x_{1}):=\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle }$Ahora, recuerda que${\displaystyle \mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}}$es una solución a la ecuación de Dirac:

${\displaystyle (-i\partial \!\!\!/+m)\mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}=0.}$

Resolver para${\displaystyle \gamma ^{0}\partial _{0}\mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}}$Sustituyéndolo en el primer término de la integral y realizando una integración por partes, se obtiene:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}{\big (}i\partial _{\mu }\eta (x_{1})\gamma ^{\mu }+\eta (x_{1})m{\big )}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}.}$

El cambio a la notación de índices de Dirac (con sumas sobre índices repetidos) permite una expresión más elegante, en la que la cantidad entre corchetes debe considerarse como un operador diferencial:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}[(i{\partial \!\!\!/}_{x_{1}}+m)u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}]_{\alpha _{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

Consideremos ahora el elemento de matriz que aparece en la integral. Extrayendo un operador de creación de estado de salida y restando el operador de estado de entrada correspondiente , con la suposición de que ninguna partícula entrante tiene el mismo momento, tenemos

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle =\langle \beta '\ \mathrm {out} |b_{{\textbf {k}}_{1},\mathrm {out} }^{\sigma _{1}}{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})-{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})b_{{\textbf {k}}_{1},\mathrm {in} }^{\sigma _{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

Recordando que${\displaystyle ({\bar {\Psi }}\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s})^{\dagger }={\bar {u}}_{\textbf {p}}^{s}\gamma ^{0}\Psi }$, dónde${\displaystyle {\bar {u}}_{\textbf {p}}^{s}:=u_{\textbf {p}}^{\dagger s}\beta }$, podemos reemplazar los operadores de aniquilación con en campos usando el adjunto de la relación inversa. Aplicando la relación asintótica, encontramos

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {Z}}}{\Big (}\lim _{y_{1}^{0}\rightarrow \infty }-\lim _{y_{1}^{0}\rightarrow -\infty }{\Big )}\int \!\mathrm {d} ^{3}y_{1}\mathrm {e} ^{-ik_{1}\cdot y_{1}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{1}}^{\sigma _{1}}\gamma ^{0}]_{\beta _{1}}\langle \beta '\ \mathrm {out} |\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

Tenga en cuenta que ha aparecido un símbolo de ordenación temporal, ya que el primer término requiere${\displaystyle \Psi _{\beta _{1}}(y_{1})}$a la izquierda, mientras que el segundo término lo requiere a la derecha. Siguiendo los mismos pasos que antes, esta expresión se reduce a

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}y_{1}\mathrm {e} ^{-ik_{1}\cdot y_{1}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{1}}^{\sigma _{1}}(-i\partial \!\!\!/_{y_{1}}+m)]_{\beta _{1}}\langle \beta '\ \mathrm {out} |\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

El resto de los estados de entrada y salida se pueden extraer y reducir de la misma manera, lo que finalmente da como resultado:

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |\alpha \ \mathrm {in} \rangle =\int \!\prod _{j=1}^{n}\mathrm {d} ^{4}x_{j}{\frac {i\mathrm {e} ^{-ip_{j}x_{j}}}{\sqrt {Z}}}[(i{\partial \!\!\!/}_{x_{j}}+m)u_{{\textbf {p}}_{j}}^{s_{j}}]_{\alpha _{j}}\prod _{l=1}^{n'}\mathrm {d} ^{4}y_{l}{\frac {i\mathrm {e} ^{ik_{l}y_{l}}}{\sqrt {Z}}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{l}}^{\sigma _{l}}(-i{\partial \!\!\!/}_{y_{l}}+m)]_{\beta _{l}}\langle 0|\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1})...\Psi _{\beta _{n'}}(y_{n'}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})...{\bar {\Psi }}_{\alpha _{n}}(x_{n})]|0\rangle .}$

El mismo procedimiento se puede realizar para la dispersión de partículas de tipo d, para lo cual${\displaystyle u_{\textbf {p}}^{s}}$Los son reemplazados por${\displaystyle v_{\textbf {p}}^{s}}$'arena${\displaystyle \Psi }$'arena${\displaystyle {\bar {\Psi }}}$Las 's se intercambian.

La razón del factor de normalización Z en la definición de campos de entrada y salida se puede entender tomando esa relación entre el vacío y un estado de partícula única.${\displaystyle |p\rangle }$con cuatro momentos en la carcasa:

${\displaystyle \langle 0|\varphi (x)|p\rangle ={\sqrt {Z}}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle +\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle }$

Recordando que tanto φ como φ _son campos escalares con su transformada de Lorentz según:

${\displaystyle \varphi (x)=e^{iP\cdot x}\varphi (0)e^{-iP\cdot x}}$

donde P ^μ es el operador de cuadrimomento, podemos escribir:

${\displaystyle e^{-ip\cdot x}\langle 0|\varphi (0)|p\rangle ={\sqrt {Z}}e^{-ip\cdot x}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(0)|p\rangle +\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle }$

Aplicando el operador de Klein-Gordon ∂ ² + m ² en ambos lados, recordando que el cuadrimomento p está en la capa de masas y que Δ _ret es la función de Green del operador, obtenemos:

${\displaystyle 0=0+\int \mathrm {d} ^{4}y\delta ^{4}(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle$ ;\quad \Leftrightarrow \quad \langle 0|j(x)|p\rangle =0}

Así llegamos a la relación:

${\displaystyle \langle 0|\varphi (x)|p\rangle ={\sqrt {Z}}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle }$

lo que explica la necesidad del factor Z. El campo in es un campo libre, por lo que solo puede conectar estados de una partícula con el vacío. Es decir, su valor esperado entre el vacío y un estado de muchas partículas es nulo. Por otro lado, el campo interactuante también puede conectar estados de muchas partículas con el vacío, gracias a la interacción, por lo que los valores esperados en ambos lados de la última ecuación son diferentes y requieren un factor de normalización intermedio. El lado derecho se puede calcular explícitamente, expandiendo el campo in en operadores de creación y aniquilación:

${\displaystyle \langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle =\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}q}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}(2\omega _{q})^{\frac {1}{2}}}}e^{-iq\cdot x}\langle 0|a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )|p\rangle =\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}q}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}e^{-iq\cdot x}\langle 0|a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} )|0\rangle }$

Utilizando la relación de conmutación entre a _y${\displaystyle a_{\mathrm {in} }^{\dagger }}$obtenemos:

${\displaystyle \langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle ={\frac {e^{-ip\cdot x}}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}}$

lo que conduce a la relación:

${\displaystyle \langle 0|\varphi (0)|p\rangle ={\sqrt {\frac {Z}{(2\pi )^{3}}}}}$

mediante el cual se puede calcular el valor de Z , siempre que se sepa cómo calcularlo.${\displaystyle \langle 0|\varphi (0)|p\rangle }$.