Ordenación de rutas

En física teórica , el ordenamiento de trayectorias es el procedimiento (o un metaoperador)${\displaystyle {\mathcal {P}}}$) que ordena un producto de operadores según el valor de un parámetro elegido :

${\displaystyle {\mathcal {P}}\left\{O_{1}(\sigma _{1})O_{2}(\sigma _{2})\cdots O_{N}(\sigma _{N})\right\}\equiv O_{p_{1}}(\sigma _{p_{1}})O_{p_{2}}(\sigma _{p_{2}})\cdots O_{p_{N}}(\sigma _{p_{N}}).}$

Aquí p es una permutación que ordena los parámetros por valor:

${\displaystyle p:\{1,2,\dots ,N\}\to \{1,2,\dots ,N\}}$

${\displaystyle \sigma _{p_{1}}\leq \sigma _{p_{2}}\leq \cdots \leq \sigma _{p_{N}}.}$

Por ejemplo:

${\displaystyle {\mathcal {P}}\left\{O_{1}(4)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{4}(1)\right\}=O_{4}(1)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{1}(4).}$

En muchos campos de la física, el tipo más común de ordenación de trayectorias es la ordenación temporal , que se analiza en detalle a continuación.

Si un operador no se expresa simplemente como un producto, sino como una función de otro operador, primero debemos realizar una expansión de Taylor de esta función. Este es el caso del bucle de Wilson , que se define como una exponencial ordenada por trayectoria para garantizar que el bucle de Wilson codifique la holonomía de la conexión de gauge . El parámetro σ que determina el orden es un parámetro que describe el contorno , y debido a que el contorno es cerrado, el bucle de Wilson debe definirse como una traza para ser invariante de gauge .

En la teoría cuántica de campos es útil tomar el producto ordenado en el tiempo de operadores. Esta operación se denota por${\displaystyle {\mathcal {T}}}$. (A pesar de${\displaystyle {\mathcal {T}}}$(A menudo se le denomina "operador de ordenación temporal"; estrictamente hablando, no es ni un operador sobre estados ni un superoperador sobre operadores).

Para dos operadores A ( x ) y B ( y ) que dependen de las ubicaciones espaciotemporales x e y, definimos:

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:={\begin{cases}A(x)B(y)&{\text{si }}\tau _{x}>\tau _{y},\\\pm B(y)A(x)&{\text{si }}\tau _{x}<\tau _{y}.\end{cases}}}$

Aquí${\displaystyle \tau _{x}}$y${\displaystyle \tau _{y}}$denotamos las coordenadas escalares invariantes en el tiempo de los puntos x e y. ^{[ 1 ]}

Explícitamente tenemos

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:=\theta (\tau _{x}-\tau _{y})A(x)B(y)\pm \theta (\tau _{y}-\tau _{x})B(y)A(x),}$

dónde${\displaystyle \theta }$denota la función escalón de Heaviside y la${\displaystyle \pm }$Depende de si los operadores son bosónicos o fermiónicos . Si son bosónicos, siempre se elige el signo +, si son fermiónicos, el signo dependerá del número de intercambios de operadores necesarios para lograr el orden temporal adecuado. Cabe destacar que los factores estadísticos no intervienen en este caso.

Dado que los operadores dependen de su ubicación en el espacio-tiempo (es decir, no solo en el tiempo), esta operación de ordenación temporal solo es independiente de las coordenadas si los operadores en puntos separados espacialmente conmutan . Por eso es necesario utilizar${\displaystyle \tau }$en vez de${\displaystyle t_{0}}$, desde${\displaystyle t_{0}}$Generalmente indica el índice temporal dependiente de la coordenada del punto espaciotemporal. Cabe destacar que el orden temporal se suele escribir con el argumento temporal aumentando de derecha a izquierda.

En general, para el producto de n operadores de campo A ₁ ( t ₁ ), …, A _n ( t _n ), el producto de operadores ordenado en el tiempo se define de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {T}}\{A_{1}(t_{1})A_{2}(t_{2})\cdots A_{n}(t_{n})\}&=\sum _{p}\theta (t_{p_{1}}>t_{p_{2}}>\cdots >t_{p_{n}})\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})\\&=\sum _{p}\left(\prod _{j=1}^{n-1}\theta (t_{p_{j}}-t_{p_{j+1}})\right)\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})\end{aligned}}}$

donde la suma se extiende por todo p' y por el grupo simétrico de permutaciones de grado n y

${\displaystyle \varepsilon (p)\equiv {\begin{cases}1&{\text{para operadores bosónicos,}}\\{\text{signo de la permutación}}&{\text{para operadores fermiónicos.}}\end{cases}}}$

La matriz S en la teoría cuántica de campos es un ejemplo de producto ordenado en el tiempo. La matriz S, que transforma el estado en t = −∞ a un estado en t = +∞ , también puede considerarse como una especie de " holonomía ", análoga al bucle de Wilson . Obtenemos una expresión ordenada en el tiempo por la siguiente razón:

Comenzamos con esta fórmula simple para la exponencial

${\displaystyle \exp h=\lim _{N\to \infty }\left(1+{\frac {h}{N}}\right)^{N}.}$

Ahora consideremos el operador de evolución discretizado.

${\displaystyle S=\cdots (1+h_{+3})(1+h_{+2})(1+h_{+1})(1+h_{0})(1+h_{-1})(1+h_{-2})\cdots }$

dónde${\displaystyle 1+h_{j}}$es el operador de evolución sobre un intervalo de tiempo infinitesimal${\displaystyle [j\varepsilon ,(j+1)\varepsilon ]}$Los términos de orden superior pueden despreciarse en el límite.${\displaystyle \varepsilon \to 0}$El operador${\displaystyle h_{j}}$se define por

${\displaystyle h_{j}={\frac {1}{i\hbar }}\int _{j\varepsilon }^{(j+1)\varepsilon }\,dt\int d^{3}x\,H({\vec {x}},t).}$

Nótese que los operadores de evolución sobre los intervalos de tiempo "pasados" aparecen en el lado derecho del producto. Vemos que la fórmula es análoga a la identidad anterior que satisface la exponencial, y podemos escribir

${\displaystyle S={\mathcal {T}}\exp \left(\sum _{j=-\infty }^{\infty }h_{j}\right)={\mathcal {T}}\exp \left(\int dt\,d^{3}x\,{\frac {H({\vec {x}},t)}{i\hbar }}\right).}$

La única sutileza que tuvimos que incluir fue el operador de ordenación por tiempo.${\displaystyle {\mathcal {T}}}$porque los factores en el producto que define S anteriormente también estaban ordenados en el tiempo (y los operadores no conmutan en general) y el operador${\displaystyle {\mathcal {T}}}$garantiza que este orden se mantendrá.

• Exponencial ordenada (esencialmente el mismo concepto)
• Serie Dyson
• teoría de gauge
• Matriz S