Teorema de inversión de Lagrange

En análisis matemático , el teorema de inversión de Lagrange , también conocido como fórmula de Lagrange-Bürmann , proporciona la expansión en serie de Taylor de la función inversa de una función analítica . La inversión de Lagrange es un caso especial del teorema de la función inversa .

Supongamos que z se define como una función de w mediante una ecuación de la forma

${\displaystyle z=f(w)}$

donde f es analítica en un punto a y Entonces es posible invertir o resolver la ecuación para w , expresándola en la forma dada por una serie de potencias ^[1]${\displaystyle f'(a)\neq 0.}$${\displaystyle w=g(z)}$

${\displaystyle g(z)=a+\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}{\frac {(zf(a))^{n}}{n!}},}$

dónde

${\displaystyle g_{n}=\lim _{w\to a}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}[\left({\frac {wa}{f(w)-f(a)}})^{n}].}$

El teorema establece además que esta serie tiene un radio de convergencia distinto de cero, es decir, representa una función analítica de z en un entorno de Esto también se denomina reversión de series . ${\estilo de visualización g(z)}$${\displaystyle z=f(a).}$

Si se omiten las afirmaciones sobre analiticidad, la fórmula también es válida para series de potencias formales y se puede generalizar de varias maneras: se puede formular para funciones de varias variables; se puede extender para proporcionar una fórmula lista para F ( g ( z )) para cualquier función analítica F ; y se puede generalizar al caso donde la inversa g es una función multivaluada. ${\displaystyle f'(a)=0,}$

El teorema fue demostrado por Lagrange ^[2] y generalizado por Hans Heinrich Bürmann ^[3] [ ^{4] [5]} ambos a fines del siglo XVIII. Hay una derivación sencilla utilizando análisis complejo e integración de contornos ; ^[6] la versión de serie de potencias formal compleja es una consecuencia de conocer la fórmula para polinomios , por lo que se puede aplicar la teoría de funciones analíticas . En realidad, la maquinaria de la teoría de funciones analíticas entra solo de manera formal en esta prueba, en el sentido de que lo que realmente se necesita es alguna propiedad del residuo formal , y está disponible una prueba formal más directa . De hecho, el teorema de inversión de Lagrange tiene varias pruebas adicionales bastante diferentes, incluidas las que utilizan argumentos de conteo de árboles o inducción. ^{[7] [8] [9]}

Si f es una serie de potencias formal, entonces la fórmula anterior no da los coeficientes de la serie inversa compositiva g directamente en términos de los coeficientes de la serie f . Si se pueden expresar las funciones f y g en series de potencias formales como

${\displaystyle f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}{\frac {w^{k}}{k!}}\qquad {\text{y}}\qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\frac {z^{k}}{k!}}}$

con f ₀ = 0 y f ₁ ≠ 0 , entonces se puede dar una forma explícita de coeficientes inversos en términos de polinomios de Bell : ^[10]

${\displaystyle g_{n}={\frac {1}{f_{1}^{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}n^{\overline {k}}B_{n-1,k}({\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2},\ldots ,{\hat {f}}_{nk}),\quad n\geq 2,}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}_{k}&={\frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}},\\g_{1}&={\frac {1}{f_{1}}},{\text{ y}}\\n^{\overline {k}}&=n(n+1)\cdots (n+k-1)\end{aligned}}}$

es el factorial ascendente .

Cuando f ₁ = 1 , la última fórmula se puede interpretar en términos de las caras de los asociaedros ^[11]

${\displaystyle g_{n}=\sum _{F{\text{ cara de }}K_{n}}(-1)^{n-\dim F}f_{F},\quad n\geq 2,}$

donde para cada cara del asociaedro${\displaystyle f_{F}=f_{i_{1}}\cdots f_{i_{m}}}$${\displaystyle F=K_{i_{1}}\times \cdots \times K_{i_{m}}}$${\displaystyle K_{n}.}$

Por ejemplo, la ecuación algebraica de grado p

${\displaystyle x^{p}-x+z=0}$

se puede resolver para x mediante la fórmula de inversión de Lagrange para la función f ( x ) = x − x ^p , lo que da como resultado una solución de serie formal

${\displaystyle x=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {pk}{k}}{\frac {z^{(p-1)k+1}}{(p-1)k+1}}.}$

Por pruebas de convergencia, esta serie es de hecho convergente, ya que también es el disco más grande en el que se puede definir una inversa local de f .${\displaystyle |z|\leq (p-1)p^{-p/(p-1)},}$

Hay un caso especial del teorema de inversión de Lagrange que se utiliza en combinatoria y se aplica cuando para alguna analítica con Tomar para obtener Entonces para la inversa (que satisface ), tenemos ${\displaystyle f(w)=w/\phi (w)}$${\displaystyle \phi (w)}$${\displaystyle \phi (0)\neq 0.}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle f(a)=f(0)=0.}$${\displaystyle g(z)}$${\displaystyle f(g(z))\equiv z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left(\left({\frac {w}{w/\phi (w)}}\right)^{n}\right)\right]{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left[{\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}(\phi (w)^{n})\right]z^{n},\end{aligned}}}$

que puede escribirse alternativamente como

${\displaystyle [z^{n}]g(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}]\phi (w)^{n},}$

donde es un operador que extrae el coeficiente de en la serie de Taylor de una función de w . ${\displaystyle [w^{r}]}$${\displaystyle w^{r}}$

Una generalización de la fórmula se conoce como fórmula de Lagrange-Bürmann :

${\displaystyle [z^{n}]H(g(z))={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](H'(w)\phi (w)^{n})}$

donde H es una función analítica arbitraria.

A veces, la derivada H ′ ( w ) puede ser bastante complicada. Una versión más simple de la fórmula reemplaza H ′ ( w ) por H ( w )(1 − φ ′ ( w )/ φ ( w )) para obtener

${\displaystyle [z^{n}]H(g(z))=[w^{n}]H(w)\phi (w)^{n-1}(\phi (w)-w\phi '(w)),}$

que implica φ ′ ( w ) en lugar de H ′ ( w ) .

La función W de Lambert es la función que está definida implícitamente por la ecuación ${\displaystyle W(z)}$

${\displaystyle W(z)e^{W(z)}=z.}$

Podemos usar el teorema para calcular la serie de Taylor de en Tomamos y Reconociendo que ${\displaystyle W(z)}$${\displaystyle z=0.}$${\displaystyle f(w)=we^{w}}$${\displaystyle a=0.}$

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{\alpha x}=\alpha ^{n}e^{\alpha x},}$

Esto da

${\displaystyle {\begin{aligned}W(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}e^{-nw}\right]{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).\end{aligned}}}$

El radio de convergencia de esta serie es (dando la rama principal de la función de Lambert). ${\displaystyle e^{-1}}$

Una serie que converge para (aproximadamente ) también se puede derivar por inversión de serie. La función satisface la ecuación ${\displaystyle |\ln(z)-1|<{4+\pi ^{2}}}$${\displaystyle 2.58\ldots \cdot 10^{-6}<z<2.869\ldots \cdot 10^{6}}$${\displaystyle f(z)=W(e^{z})-1}$

${\displaystyle 1+f(z)+\ln(1+f(z))=z.}$

Luego se puede expandir en una serie de potencias e invertir. ^[12] Esto da una serie para${\displaystyle z+\ln(1+z)}$${\displaystyle f(z+1)=W(e^{z+1})-1{\text{:}}}$

${\displaystyle W(e^{1+z})=1+{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{16}}-{\frac {z^{3}}{192}}-{\frac {z^{4}}{3072}}+{\frac {13z^{5}}{61440}}-O(z^{6}).}$

${\displaystyle W(x)}$se puede calcular sustituyendo z en la serie anterior. Por ejemplo, sustituyendo −1 por z se obtiene el valor de${\displaystyle \ln x-1}$${\displaystyle W(1)\approx 0.567143.}$

Considere ^[13] el conjunto de árboles binarios no etiquetados . Un elemento de es una hoja de tamaño cero o un nodo raíz con dos subárboles. Denote por el número de árboles binarios en los nodos. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle n}$

Al eliminar la raíz, el árbol binario se divide en dos árboles de menor tamaño. Esto genera la ecuación funcional de la función generadora.${\displaystyle \textstyle B(z)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}z^{n}{\text{:}}}$

${\displaystyle B(z)=1+zB(z)^{2}.}$

Dejando , se tiene por lo tanto Aplicando el teorema con se obtiene ${\displaystyle C(z)=B(z)-1}$${\displaystyle C(z)=z(C(z)+1)^{2}.}$${\displaystyle \phi (w)=(w+1)^{2}}$

${\displaystyle B_{n}=[z^{n}]C(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](w+1)^{2n}={\frac {1}{n}}{\binom {2n}{n-1}}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}.}$

Esto demuestra que es el n- ésimo número catalán . ${\displaystyle B_{n}}$

En el teorema de Laplace-Erdelyi, que proporciona la aproximación asintótica para integrales de tipo Laplace, la inversión de la función se toma como un paso crucial.

• La fórmula de Faà di Bruno proporciona los coeficientes de la composición de dos series de potencias formales en función de los coeficientes de esas dos series. De manera equivalente, es una fórmula para la derivada n- ésima de una función compuesta.
• Teorema de reversión de Lagrange para otro teorema a veces llamado teorema de inversión
• Serie de potencias formales#La fórmula de inversión de Lagrange

• Weisstein, Eric W. "Teorema de Bürmann". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Reversión de series". MathWorld .
• Serie Bürmann-Lagrange en Springer EOM