análisis oceánico lagrangiano

En algunos casos, la integración temporal se realiza utilizando métodos de paso de tiempo explícitos . Los códigos de análisis oceánico lagrangiano pueden utilizar, por ejemplo, un método de Euler o un método de orden superior, como Runge-Kutta 4 o Runge-Kutta 4-5. ^{[ 1 ]} Si el paso de tiempo del método de integración es menor que la resolución temporal del campo de velocidad euleriano utilizado como entrada, entonces el campo de velocidad debe interpolarse en el dominio temporal, de modo que haya un valor de velocidad para integrar en cada instante de tiempo.

Para garantizar la conservación del volumen al integrar las trayectorias, se pueden utilizar métodos simplécticos . Estos métodos son generalmente implícitos, lo que requiere cálculos adicionales en comparación con los métodos explícitos. ^{[ 7 ]}

Alternativamente, si se supone que cada componente de la velocidad del flujo dentro de una cuadrícula espacial varía linealmente a lo largo de su eje, las trayectorias se pueden calcular analíticamente. Si el campo de velocidad es estacionario, entonces las trayectorias se pueden tratar como líneas de corriente y considerarse juntas en haces conocidos como tubos de corriente, que delimitan el flujo de fluido en diferentes partes del dominio espacial. ^{[ 8 ]} Si el campo de velocidad proporcionado como punto de partida del análisis lagrangiano es un flujo sin divergencia , el volumen de fluido que se mueve a través de un tubo de corriente se conserva a lo largo de todo el tubo de corriente. Para mostrar esto matemáticamente, el punto de partida es la condición de que la divergencia del campo de velocidad sea cero, $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0.}$$ Integrando esto sobre el volumen de un tubo de corriente, el teorema de la divergencia se puede utilizar para demostrar que

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {u} \right)\,dV=}$${\displaystyle \scriptstyle S}$${\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\,dS=0,}$

dónde${\textstyle \mathbf {\hat {n}} }$es la normal a la superficie del tubo de corriente,${\textstyle V}$denota el volumen total del tubo de corriente y${\textstyle S}$su superficie. Si las líneas de corriente y las trayectorias son equivalentes, como es el caso de los flujos en estado estacionario (que no evolucionan con el tiempo), entonces las paredes del tubo de corriente no contribuyen a la integral, ya que el flujo no puede cruzarlas. Por lo tanto, solo los extremos,${\textstyle S_{1}}$y${\textstyle S_{2}}$contribuirá a la integral, por lo tanto $${\displaystyle \iint _{S_{1}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\,dS+\iint _{S_{2}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\,dS=0.}$$ Físicamente, esta ecuación expresa que el flujo de fluido que pasa por los dos extremos del tubo de corriente es igual, lo que demuestra la conservación del volumen. La ecuación también muestra que el área de cada extremo del tubo de corriente es inversamente proporcional a la velocidad del flujo normal a través de él. Estas características del método analítico para calcular trayectorias se prestan a análisis lagrangianos que se ocupan principalmente del componente advectivo (en contraposición al difusivo) del flujo. Existe una salvedad a este enfoque: dado que los campos de velocidad considerados pueden evolucionar en el tiempo, la equivalencia entre tubos de corriente y trayectorias de material puede no ser válida. Los modelos oceánicos lagrangianos pueden abordar este formalismo al considerar el campo de flujo como una función por partes en el dominio temporal, donde cada subfunción es un campo de velocidad en estado estacionario. Un modelo de Boussinesq, en el que el flujo es incompresible y, por lo tanto, no divergente, ^{[ 9 ]} puede utilizarse para generar el campo de velocidad que se usa como entrada para el código de análisis lagrangiano para asegurar que el volumen se conserve al usar este método.

Para que un código de análisis oceánico lagrangiano incluya los efectos de la difusión molecular u otra mezcla a pequeña escala que pueda modelarse como un proceso difusivo, deben añadirse términos estocásticos a los cálculos de trayectoria. Estos términos pueden añadirse de acuerdo con una ecuación diferencial estocástica (EDE) derivada de la ecuación de difusión del trazador en la forma de la ecuación de Fokker-Planck. Este método requiere que se proporcione un tensor de difusión. ^{[ 1 ]}

En lugar de utilizar una EDE derivada con un tensor de difusión, los modelos oceánicos lagrangianos pueden encontrar una EDE basada en qué tan bien se ajustan las estadísticas de difusividad resultantes a las observaciones o a modelos construidos con una resolución más fina. Este método implica el uso de una cadena de Markov ; el orden de la cadena de Markov utilizada es otro punto en el que difieren los distintos códigos de análisis lagrangiano. ^{[ 1 ]}

Los códigos de análisis oceánico lagrangiano se pueden clasificar en en línea o fuera de línea. Los códigos en línea funcionan en conjunto con el modelo euleriano que genera el campo de velocidad: cada vez que el modelo euleriano se actualiza, las trayectorias se ajustan en el tiempo utilizando la nueva información de velocidad. Los paquetes de análisis lagrangiano disponibles con algunos OGCM son ejemplos de códigos de análisis oceánico lagrangiano en línea. Los códigos fuera de línea calculan trayectorias utilizando campos de velocidad almacenados generados por modelos eulerianos en una etapa anterior. Como resultado, los modelos fuera de línea se pueden usar para calcular trayectorias hacia adelante o hacia atrás en el tiempo; esto último puede ser útil para determinar los orígenes de las masas de agua. Hasta 2018, no existen ejemplos de modelos en línea que utilicen la ecuación de trazadores para calcular efectos difusivos. ^{[ 1 ]}