Vector de cordero

En dinámica de fluidos , el vector de Lamb es el producto vectorial del vector de vorticidad y el vector de velocidad del campo de flujo, y recibe su nombre del físico Horace Lamb . ^{[ 1 ] [ 2 ]} El vector de Lamb se define como

${\displaystyle \mathbf {l} =\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}}$

dónde${\displaystyle \mathbf {u} }$es el campo de velocidad y${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} }$es el campo de vorticidad del flujo. Aparece en las ecuaciones de Navier-Stokes a través del término de derivada material , específicamente a través del término de aceleración convectiva,

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} ={\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} ^{2}-\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} ^{2}-\mathbf {l} }$

En flujos irrotacionales, el vector de Lamb es cero, al igual que en los flujos de Beltrami . El concepto de vector de Lamb se utiliza ampliamente en flujos turbulentos. El vector de Lamb es análogo al campo eléctrico cuando se compara la ecuación de Navier-Stokes con las ecuaciones de Maxwell .

Las ecuaciones de Euler escritas en términos del vector de Lamb se denominan ecuaciones de Gromeka-Lamb, en honor a Ippolit S. Gromeka y Horace Lamb. ^{[ 3 ]} Esto viene dado por

${\displaystyle \nabla H=\mathbf {l}.}$

La divergencia del vector cordero se puede derivar de identidades vectoriales,

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {l} =\mathbf {u} \cdot \nabla \times {\boldsymbol {\omega }}-{\boldsymbol {\omega }}\cdot H.}$

Al mismo tiempo, la divergencia también se puede obtener de la ecuación de Navier-Stokes tomando su divergencia. En particular, para flujo incompresible, donde${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$, con fuerzas de cuerpo dadas por${\displaystyle -\nabla U}$, la divergencia del vector de Lamb se reduce a

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {l} =-\nabla ^{2}H,}$

dónde

${\displaystyle H={\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}\mathbf {u} ^{2}+U.}$

En regiones donde${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {l} \geq 0}$, existe una tendencia a${\displaystyle \Phi }$para acumularse allí y viceversa.