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Flujo de Beltrami

En dinámica de fluidos , los flujos de Beltrami son flujos en los que el vector de vorticidad ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} y el vector de velocidad v {\displaystyle...

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En dinámica de fluidos , los flujos de Beltrami son flujos en los que el vector de vorticidadω{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}y el vector de velocidadv{\displaystyle \mathbf {v} }son paralelos entre sí. En otras palabras, el flujo de Beltrami es un flujo en el que el vector de Lamb es cero. Recibe su nombre del matemático italiano Eugenio Beltrami debido a su derivación del campo vectorial de Beltrami , mientras que los desarrollos iniciales en dinámica de fluidos fueron realizados por el científico ruso Ippolit S. Gromeka en 1881. [ 1 ] [ 2 ]

Descripción

Dado que el vector de vorticidadω{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}y el vector de velocidadv{\displaystyle \mathbf {v} }son colineales entre sí, podemos escribir

ω×v=0,ω=α(incógnita,t)v,{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} =0,\quad {\boldsymbol {\omega }}=\alpha (\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} ,}

dóndeα(incógnita,t){\displaystyle \alpha (\mathbf {x} ,t)}es una función escalar. Una consecuencia inmediata del flujo de Beltrami es que nunca puede ser un flujo plano o axisimétrico porque en esos flujos, la vorticidad siempre es perpendicular al campo de velocidad. La otra consecuencia importante se comprenderá al observar la ecuación de vorticidad incompresible.

∂ω∂t+(v⋅∇)ω−(ω⋅∇)v=ν∇2ω+∇×F,{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}-({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {v} =\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}+\nabla \times f,}

dóndeF{\displaystyle \mathbf {f} }es una fuerza externa del cuerpo como el campo gravitatorio, el campo eléctrico , etc., yν{\displaystyle \nu }es la viscosidad cinemática. Dado queω{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}yv{\displaystyle \mathbf {v} }Si son paralelas, los términos no lineales de la ecuación anterior son iguales;(v⋅∇)ω=(ω⋅∇)v{\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {v} }Por lo tanto, los flujos de Beltrami satisfacen las ecuaciones lineales.

∂ω∂t=ν∇2ω+∇×F.{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}+\nabla \times f.}

CuandoF=0{\displaystyle \mathbf {f} =0}, los componentes de la vorticidad satisfacen una ecuación de calor simple .

flujo tkaliano

Viktor Trkal consideró los flujos de Beltrami sin ninguna fuerza externa en 1919 [ 3 ] para la función escalarα(incógnita,t)=do=constante{\displaystyle \alpha (\mathbf {x} ,t)=c={\text{constante}}}, es decir,

∂ω∂t=ν∇2ω,ω=dov.{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }},\quad {\boldsymbol {\omega }}=c\mathbf {v} .}

Introduzca la siguiente separación de variables.

v=mi−do2νtgramo(incógnita),{\displaystyle \mathbf {v} =e^{-c^{2}\nu t}\mathbf {g} (\mathbf {x} ),}

entonces la ecuación satisfecha porgramo(incógnita){\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {x} )}se convierte

∇×gramo=dogramo.{\displaystyle \nabla \times \mathbf {g} =c\mathbf {g} .}

Las funciones de Chandrasekhar-Kendall satisfacen esta ecuación.

La solución de Berker

Ratip Berker obtuvo la solución en coordenadas cartesianas paragramo(incógnita){\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {x} )}en 1963, [ 4 ] [ 5 ]

gramo=[−porque⁡doincógnita2pecado⁡doy2pecado⁡doincógnita2porque⁡doy22porque⁡doincógnita2porque⁡doy2].{\displaystyle \mathbf {g} ={\begin{bmatrix}-\cos {\frac {cx}{\sqrt {2}}}\,\sin {\frac {cy}{\sqrt {2}}}\\\sin {\frac {cx}{\sqrt {2}}}\,\cos {\frac {cy}{\sqrt {2}}}\\{\sqrt {2}}\cos {\frac {cx}{\sqrt {2}}}\,\cos {\frac {cy}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}.}

Flujo de Beltrami generalizado

El flujo de Beltrami generalizado satisface la condición [ 6 ].

∇×(v×ω)=0{\displaystyle \nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0}

lo cual es menos restrictivo que la condición de Beltrami.v×ω=0{\displaystyle \mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=0}A diferencia de los flujos de Beltrami normales, el flujo de Beltrami generalizado puede estudiarse para flujos planos y axisimétricos.

Flujos planares estables

Para el flujo de Beltrami generalizado estacionario, tenemos∇2ω=0, ∇×(v×ω)=0${\displaystyle \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}=0,\ \nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0}$y puesto que también es plano, tenemosv=(tú,v,0), ω=(0,0,ζ){\displaystyle \mathbf {v} =(u,v,0),\ {\boldsymbol {\omega }}=(0,0,\zeta )}Introducir la función de flujo

tú=∂ψ∂y,v=−∂ψ∂incógnita,⇒∇2ψ=−ζ.{\displaystyle u={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\quad v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}},\quad \Rightarrow \quad \nabla ^{2}\psi =-\zeta .}

Integración de∇×(v×ω)=0{\displaystyle \nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0}daζ=−F(ψ){\displaystyle \zeta =-f(\psi )}Por lo tanto, la solución completa es posible si satisface las tres ecuaciones siguientes.

∇2ψ=−ζ,∇2ζ=0,ζ=−F(ψ).{\displaystyle \nabla ^{2}\psi =-\zeta ,\quad \nabla ^{2}\zeta =0,\quad \zeta =-f(\psi ).}

Se considera un caso especial cuando el campo de flujo tiene vorticidad uniforme.F(ψ)=do=constante{\displaystyle f(\psi )=C={\text{constante}}}. Wang (1991) [ 7 ] dio la solución generalizada como

ζ=ψ+A(incógnita,y),A(incógnita,y)=aincógnita+by{\displaystyle \zeta =\psi +A(x,y),\quad A(x,y)=ax+by}

suponiendo una función lineal paraA(incógnita,y){\displaystyle A(x,y)}Sustituyendo esto en la ecuación de vorticidad e introduciendo la separación de variablesψ(incógnita,y)=incógnita(incógnita)Y(y){\displaystyle \psi (x,y)=X(x)Y(y)}con la constante de separaciónλ2{\displaystyle \lambda ^{2}}resultados en

d2incógnitadincógnita2+bνdincógnitadincógnita−λ2incógnita=0,d2Ydy2−aνdYdy+λ2Y=0.{\displaystyle {\frac {d^{2}X}{dx^{2}}}+{\frac {b}{\nu }}{\frac {dX}{dx}}-\lambda ^{2}X=0,\quad {\frac {d^{2}Y}{dy^{2}}}-{\frac {a}{\nu }}{\frac {dY}{dy}}+\lambda ^{2}Y=0.}

La solución obtenida para diferentes elecciones dea, b, λ{\displaystyle a,\ b,\ \lambda }puede interpretarse de manera diferente, por ejemplo,a=0, b=−U,λ2>0{\displaystyle a=0,\ b=-U,\lambda ^{2}>0}representa un flujo aguas abajo de una cuadrícula uniforme,a=−U, b=0,λ2=0{\displaystyle a=-U,\ b=0,\lambda ^{2}=0}representa un flujo creado por una placa estirable,a=−U, b=U,λ2=0{\displaystyle a=-U,\ b=U,\lambda ^{2}=0}representa un flujo hacia una esquina,a=−V, b=−U,λ2=0{\displaystyle a=-V,\ b=-U,\lambda ^{2}=0}representa un perfil de succión asintótico, etc.

Flujos planares inestables

Aquí,

∇2ψ=−ζ,∂ζ∂t=∇2ζ,ζ=−F(ψ,t){\displaystyle \nabla ^{2}\psi =-\zeta ,\quad {\frac {\partial \zeta }{\partial t}}=\nabla ^{2}\zeta ,\quad \zeta =-f(\psi ,t)}.

Los vórtices en descomposición de Taylor

GI Taylor dio la solución para un caso especial dondeζ=Kψ{\displaystyle \zeta =K\psi }, dóndeK{\displaystyle K}es una constante en 1923. [ 8 ] Demostró que la separaciónψ=mi−νλtΨ(incógnita,y){\displaystyle \psi =e^{-\nu \lambda t}\Psi (x,y)}satisface la ecuación y también

∇2Ψ=−λΨ.{\displaystyle \nabla ^{2}\Psi =-\lambda \Psi .}

Taylor también consideró un ejemplo: un sistema en descomposición de remolinos que giran alternativamente en direcciones opuestas y están dispuestos en una matriz rectangular.

Ψ=Aporque⁡πincógnitadporque⁡πyd{\displaystyle \Psi =A\cos {\frac {\pi x}{d}}\cos {\frac {\pi y}{d}}}

que satisface la ecuación anterior conλ=2π2/d2{\displaystyle \lambda =2\pi ^{2}/d^{2}}, dónded{\displaystyle d}es la longitud del cuadrado formado por un vórtice. Por lo tanto, este sistema de vórtices se disipa como

ψ=Aporque⁡(πincógnitad)porque⁡(πyd)mi−2π2d2νt.{\displaystyle \psi =A\cos \left({\frac {\pi x}{d}}\right)\cos \left({\frac {\pi y}{d}}\right)e^{-{\frac {2\pi ^{2}}{d^{2}}}\nu t}.}

O. Walsh generalizó la solución de remolinos de Taylor en 1992. [ 9 ] La solución de Walsh tiene la formav=mi−νλttú(incógnita,y){\displaystyle \mathbf {v} =e^{-\nu \lambda t}\mathbf {u} (x,y)}, dónde∇2tú=−λtú{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {u} =-\lambda \mathbf {u} }y∇⋅tú=0.{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0.}

Flujos axisimétricos estacionarios

Aquí tenemosv=(túr,0,túz), ω=(0,ζ,0){\displaystyle \mathbf {v} =\left(u_{r},0,u_{z}\right),\ {\boldsymbol {\omega }}=(0,\zeta ,0)}Integración de∇×(v×ω)=0{\displaystyle \nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0}daζ=rF(ψ){\displaystyle \zeta =rf(\psi )}y las tres ecuaciones son

∂∂r(1r∂ψ∂z)+1r∂2ψ∂z2=−ζ,∇2ζ=0,ζ=rF(ψ){\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-\zeta ,\quad \nabla ^{2}\zeta =0,\quad \zeta =rf(\psi )}

La primera ecuación es la ecuación de Hicks . Marris y Aswani (1977) [ 10 ] demostraron que la única solución posible esF(ψ)=do=constante{\displaystyle f(\psi )=C={\text{constant}}}y las ecuaciones restantes se reducen a

∂2ψ∂r2−1r∂ψ∂r+∂2ψ∂z2+dor2=0{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}+Cr^{2}=0}

Un conjunto simple de soluciones a la ecuación anterior es

ψ(r,z)=do1r4+do2r2z2+do3r2+do4r2z+do5(r6−12r4z2+8r2z4),do=−(8do1+2do2){\displaystyle \psi (r,z)=c_{1}r^{4}+c_{2}r^{2}z^{2}+c_{3}r^{2}+c_{4}r^{2}z+c_{5}\left(r^{6}-12r^{4}z^{2}+8r^{2}z^{4}\right),\quad C=-\left(8c_{1}+2c_{2}\right)}

do1,do4≠0, do2,do3,do5=0{\displaystyle c_{1},c_{4}\neq 0,\ c_{2},c_{3},c_{5}=0}representa un flujo debido a dos corrientes rotacionales opuestas en una superficie parabólica,do2≠0,do1,do3,do4,do5=0{\displaystyle c_{2}\neq 0,c_{1},c_{3},c_{4},c_{5}=0}representa el flujo rotacional en una pared plana,do1,do2,do3≠0, do4,do5=0{\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}\neq 0,\ c_{4},c_{5}=0}representa un vórtice elipsoidal de flujo (caso especial: vórtice esférico de Hill ),do1,do3,do5≠0, do2,do4=0{\displaystyle c_{1},c_{3},c_{5}\neq 0,\ c_{2},c_{4}=0}representa un tipo de vórtice toroidal, etc.

La solución homogénea parado=0{\displaystyle C=0}como lo demuestra Berker [ 11 ]

ψ=r[AkJ1(kr)+BkY1(kr)](dokmikz+Dkmi−kz){\displaystyle \psi =r\left[A_{k}J_{1}(kr)+B_{k}Y_{1}(kr)\right]\left(C_{k}e^{kz}+D_{k}e^{-kz}\right)}

dóndeJ1(kr),Y1(kr){\displaystyle J_{1}(kr),Y_{1}(kr)}son la función de Bessel de primera especie y la función de Bessel de segunda especie respectivamente. Un caso especial de la solución anterior es el flujo de Poiseuille para geometría cilíndrica con velocidades de transpiración en las paredes. Chia-Shun Yih encontró una solución en 1958 para el flujo de Poiseuille hacia un sumidero cuandodo=2,do1=−1/4,do3=1/2,do2=do4=do5=Bk=dok=0{\displaystyle C=2,\,c_{1}=-1/4,\,c_{3}=1/2,\,c_{2}=c_{4}=c_{5}=B_{k}=C_{k}=0}. [ 12 ]

Flujo de Beltrami en mecánica de fluidos

Los campos de Beltrami son una solución estacionaria clásica de la ecuación de Euler . Estos campos desempeñan un papel importante en la mecánica de fluidos (ideales) en equilibrio, ya que la complejidad es inherente a ellos.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Gromeka, I. "Algunos casos de movimiento de fluidos incompresibles." Notas científicas de la Universidad de Kazán (1881): 76–148.
  2. ↑ Truesdell, Clifford . La cinemática de la vorticidad. Vol. 954. Bloomington: Indiana University Press, 1954.
  3. ↑ Trkal, V. "Una observación sobre la hidrodinámica de los fluidos viscosos." Cas. Pst. Mat, Fys 48 (1919): 302–311.
  4. ^ Berker, R. "Integración de ecuaciones del movimiento de un fluido viscoso incompresible. Handbuch der Physik". (1963).
  5. ↑高橋光一 y タカハシコウイチ. (2025). ナビエ-ストークス方程式の軸対称渦解 2. エネルギーの有限性について. 東北学院大学教養学部論集, 195, 31-47.
  6. ↑ Drazin, Philip G. y Norman Riley . Las ecuaciones de Navier-Stokes: una clasificación de flujos y soluciones exactas. N.° 334. Cambridge University Press, 2006.
  7. ↑ Wang, CY 1991 Soluciones exactas de las ecuaciones de Navier-Stokes en estado estacionario, Annu. Rev. Fluid Mech. 23, 159–177.
  8. ↑ Taylor, GI "LXXV. Sobre la disipación de vórtices en un fluido viscoso." The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 46.274 (1923): 671–674.
  9. ↑ Walsh, O. (1992). Soluciones de remolinos de las ecuaciones de Navier-Stokes. En Las ecuaciones de Navier-Stokes II: teoría y métodos numéricos (págs. 306-309). Springer, Berlín, Heidelberg.
  10. ↑ Marris, AW y MG Aswani. "Sobre la imposibilidad general de movimientos de Navier-Stokes axisimétricos controlables". Archive for Rational Mechanics and Analysis 63.2 (1977): 107–153.
  11. ^ Berker, R. "Integración de ecuaciones del movimiento de un fluido viscoso incompresible. Handbuch der Physik". (1963).
  12. ↑ Yih, CS (1959). Dos soluciones para el flujo rotacional no viscoso con vórtices en las esquinas. Journal of Fluid Mechanics, 5(1), 36-40.