Función W de Lambert

En matemáticas , la función W de Lambert , también llamada función omega o logaritmo del producto , ^{[ 1 ]} es una función multivaluada , es decir, las ramas de la relación inversa de la función${\displaystyle f(w)=we^{w}}$, dónde${\displaystyle w}$es cualquier número complejo y${\displaystyle e^{w}}$es la función exponencial . La función recibe su nombre de Johann Lambert , quien consideró un problema relacionado en 1758. Basándose en el trabajo de Lambert, Leonhard Euler describió la función W propiamente dicha en 1783. ^{[ 2 ]} A pesar de sus orígenes tempranos y su amplio uso, sus propiedades no fueron ampliamente reconocidas hasta la década de 1990 gracias principalmente al trabajo de Rob Corless.

Para cada número entero${\displaystyle k}$Hay una rama, denotada por${\displaystyle W_{k}\left(z\right)}$, que es una función de valor complejo de un argumento complejo.${\displaystyle W_{0}}$se conoce como la rama principal . Estas funciones tienen la siguiente propiedad: si${\displaystyle z}$y${\displaystyle w}$son números complejos, entonces

${\displaystyle we^{w}=z}$

se cumple si y solo si

${\displaystyle w=W_{k}(z)\ \ {\text{ para algún número entero }}k.}$

Cuando se trata solo de números reales, las dos ramas${\displaystyle W_{0}}$y${\displaystyle W_{-1}}$Basta: para números reales${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$la ecuación

${\displaystyle ye^{y}=x}$

se puede resolver${\displaystyle y}$solo si${\textstyle x\geq {\frac {-1}{e}}}$; produce${\displaystyle y=W_{0}\left(x\right)}$si${\displaystyle x\geq 0}$y los dos valores${\displaystyle y=W_{0}\left(x\right)}$y${\displaystyle y=W_{-1}\left(x\right)}$si${\textstyle {\frac {-1}{e}}\leq x<0}$.

Las ramas de la función W de Lambert no pueden expresarse en términos de funciones elementales . ^{[ 3 ]} Es útil en combinatoria , por ejemplo, en la enumeración de árboles . Puede utilizarse para resolver diversas ecuaciones que involucran exponenciales (por ejemplo, los máximos de las distribuciones de Planck , Bose-Einstein y Fermi-Dirac ) y también aparece en la solución de ecuaciones diferenciales con retardo , como${\displaystyle y'\left(t\right)=a\ y\left(t-1\right)}$En bioquímica , y en particular en cinética enzimática , una solución de forma abierta para el análisis cinético del curso temporal de la cinética de Michaelis-Menten se describe en términos de la función W de Lambert.

La convención de notación elegida aquí (con${\displaystyle W_{0}}$y${\displaystyle W_{-1}}$) sigue la referencia canónica sobre la función W de Lambert de Corless, Gonnet, Hare, Jeffrey y Knuth . ^{[ 4 ]}

El nombre "logaritmo del producto" puede entenderse de la siguiente manera: dado que la función inversa de${\displaystyle f\left(w\right)=e^{w}}$Se denomina logaritmo , por lo que tiene sentido llamar a la inversa "función" del producto.${\displaystyle nosotros^{w}}$el "logaritmo del producto". (Nota técnica: al igual que el logaritmo complejo , es multivaluado y, por lo tanto, W se describe como una relación recíproca en lugar de una función inversa). Está relacionado con la constante omega , que es igual a${\displaystyle W_{0}\left(1\right)}$.

Lambert consideró por primera vez la ecuación trascendental de Lambert relacionada en 1758, ^{[ 5 ]} lo que llevó a un artículo de Leonhard Euler en 1783 ^{[ 2 ]} que discutió el caso especial de${\displaystyle nosotros^{w}}$.

La ecuación que Lambert consideró fue

${\displaystyle x=x^{m}+q.}$

Euler transformó esta ecuación en la forma

${\displaystyle x^{a}-x^{b}=(ab)cx^{a+b}.}$

Ambos autores obtuvieron una solución en serie para sus ecuaciones.

Una vez que Euler hubo resuelto esta ecuación, consideró el caso ⁠${\displaystyle a=b}$Tomando límites, derivó la ecuación .

${\displaystyle \ln x=cx^{a}.}$

Luego puso${\displaystyle a=1}$y se obtuvo una solución en serie convergente para la ecuación resultante, que expresa :${\displaystyle x}$en términos de ${\displaystyle c}$⁠ .

Después de tomar derivadas con respecto a ⁠${\displaystyle x}$y mediante algunas manipulaciones,se obtiene la forma estándar de la función de Lambert.

En 1993, se informó que el Lambert ⁠${\displaystyle W}$La función proporciona una solución exacta al modelo de función delta de Dirac de doble pozo cuánticopara cargas iguales ^{[ 6 ]} , un problema fundamental en física. Impulsados ​​por esto, Rob Corless y los desarrolladores del sistema de álgebra computacional Maple se dieron cuenta de que "la función W de Lambert se ha utilizado ampliamente en muchos campos, pero debido a la notación diferente y la ausencia de un nombre estándar, el conocimiento de la función no era tan alto como debería haber sido". ^{[ 4 ] [ 7 ]}

Otro ejemplo donde se encuentra esta función es en la cinética de Michaelis-Menten . ^{[ 8 ]}

Aunque se creía ampliamente que Lambert${\displaystyle W}$La función no puede expresarse en términos de funciones elementales ( de Liouville ), la primera prueba publicada no apareció hasta 2008. ^{[ 9 ]}

Hay una cantidad numerable de ramas de la función W , denotada por W _k ( z ) , para k entero ; W ₀ ( z ) es la rama principal. W ₀ ( z ) está definida para todos los números complejos z mientras que W _k ( z ) con k ≠ 0 está definida para todos los z distintos de cero , con W ₀ (0) = 0 y${\displaystyle \lim \limits _ {z\to 0}W_{k}(z)=\;-\infty,}$para todo k ≠ 0 .

El punto de ramificación de la rama principal se encuentra en${\displaystyle z=-e^{-1}}$, con el corte de rama estándar extendiéndose a lo largo del eje real negativo hasta −∞+0i . Este corte de rama separa la rama principal de las dos ramas W ₋₁ y W ₁ . En todas las ramas W _k con k ≠ 0 , hay un punto de ramificación en z = 0 y, convencionalmente, se toma un corte de rama a lo largo de todo el eje real negativo.

Las funciones W _k ( z ), k ∈ Z son todas inyectivas y sus rangos son disjuntos. El rango de toda la función multivaluada W es el plano complejo. La imagen del eje real es la unión del eje real y la cuadratriz de Hipias , la curva paramétrica w = − t cot t + it .

Inverso

El gráfico de rango anterior también delimita las regiones en el plano complejo donde la relación inversa simple ⁠${\displaystyle \ W_{n}(z\ e^{z})=z\ }$Es cierto .${\displaystyle \f=z\ e^{z}\ }$⁠ implica que existe un ⁠${\displaystyle \ n\ }$de tal manera que${\displaystyle \ z=W_{n}(f)=W_{n}(z\ e^{z})\ ,}$¿ Dónde ?${\displaystyle \ n\ }$Depende del valor de${\displaystyle \ z~.}$⁠

Para valores reales de ⁠${\displaystyle \ z\ ,}$el valor del número entero${\displaystyle \ n\ }$cambia abruptamente cuando${\displaystyle \ z\ e^{z}\ }$⁠ está en el corte de la rama de ⁠${\displaystyle \ W_{n}(z\ e^{z})\ ,}$lo que significa que${\displaystyle \ z\ e^{z}\leq 0\ ,}$excepto por​${\displaystyle \ n=0\ }$donde está​${\displaystyle \ z\ e^{z}\leq -1/e~.}$⁠

Para complejos${\displaystyle \ z\ ,}$⁠ definir ⁠${\displaystyle \ z=x+i\ y\ ,}$¿ Dónde ?${\displaystyle \ x\ }$y​​${\displaystyle \ y\ }$son reales y expresan${\displaystyle \ e^{z}\ }$En coordenadas polares, se observa que

${\displaystyle {\begin{aligned}z\ e^{z}&=(x+i\ y)\ e^{x}\ (\cos y+i\ \sin y)\\&=e^{x}(x\ \cos y\ -\ y\ \sin y)\ +\ i\ e^{x}(x\ \sin y\ +\ y\ \cos y)\\\end{aligned}}}$

Para${\displaystyle \ n\neq 0\ ,}$la rama cortada para${\displaystyle \ W_{n}(z\ e^{z})\ }$es el eje real no positivo, de modo que

${\displaystyle x\ \sin y\ +\ y\ \cos y=0\quad \Rightarrow \quad x=-y/\tan(y)\ ,}$

y

${\displaystyle (x\ \cos y\ -\ y\ \sin y)\ e^{x}~\leq ~0~.}$

Para${\displaystyle \ n=0\ ,}$la rama cortada para${\displaystyle \ W_{n}(z\ e^{z})\ }$es el eje real con${\displaystyle \ -\infty <z\leq -1/e\ ,}$de modo que la desigualdad se convierte en

${\displaystyle (x\ \cos y-y\ \sin y)\ e^{x}~\leq ~-1/e\quad }$o${\displaystyle \quad (x\ \cos y-y\ \sin y)\ e^{x+1}~\leq ~-1~.}$

Dentro de las regiones delimitadas por lo anterior, no hay cambios discontinuos en${\displaystyle \ W_{n}(z\ e^{z})\ ,}$y esas regiones especifican dónde el${\displaystyle \ W\ }$La función es simplemente invertible, es decir${\displaystyle \ W_{n}(z\ e^{z})=z~.}$⁠

Según el teorema de inversión de Lagrange , la serie de Taylor de la rama principal${\displaystyle W_{0}(x)}$alrededor${\displaystyle x=0}$es:

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}=x-x^{2}+{\tfrac {3}{2}}x^{3}-{\tfrac {16}{6}}x^{4}+{\tfrac {125}{24}}x^{5}-\cdots .}$

El radio de convergencia es${\displaystyle 1/e}$mediante la prueba de la razón , y la función definida por la serie puede extenderse a una función holomorfa definida en todos los números complejos excepto un corte de rama a lo largo del intervalo${\displaystyle (-\infty ,-1/e]}$.

Para valores grandes${\displaystyle x\to \infty }$, la función real${\displaystyle W_{0}(x)}$es asintótico a

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(x)&=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}\left(-2+L_{2}\right)}{2L_{1}^{2}}}+{\frac {L_{2}\left(6-9L_{2}+2L_{2}^{2}\right)}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}\left(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3}\right)}{12L_{1}^{4}}}+\cdots \\[5pt]&=L_{1}-L_{2}+\sum _{\ell =1}^{\infty }{\frac {1}{L_{1}^{\ell }}}\sum _{m=1}^{\ell }{\frac {(-1)^{\ell -m}\left[{\ell \atop \ell -m+1}\right]}{m!}}L_{2}^{m},\end{aligned}}}$

donde L ₁ = ln x , L ₂ = ln ln x , y [ ⁿ _k ] es un número de Stirling no negativo de primera especie . ^{[ 4 ]} Conservando solo los dos primeros términos de la expansión,

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln x-\ln \ln x+{\mathcal {o}}(1).}$

La otra rama real, W ₋₁ , definida en el intervalo [ − ⁠ 1 / e ⁠ , 0) , tiene una aproximación de la misma forma cuando x tiende a cero, en este caso con L ₁ = ln(− x ) y L ₂ = ln(−ln(− x )) . ^{[ 4 ]}

Se conocen varios límites no asintóticos para la función de Lambert.

De la definición se derivan algunas identidades:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\geq -1,\\W_{-1}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\leq -1.\end{aligned}}}$

Dado que f ( x ) = xe ^x no es inyectiva , no siempre se cumple que W ( f ( x )) = x , al igual que con las funciones trigonométricas inversas . Para x < 0 y x ≠ −1 fijos , la ecuación xe ^x = ye ^y tiene dos soluciones reales en y , una de las cuales es, por supuesto, y = x . Entonces, para i = 0 y x < −1 , así como para i = −1 y x ∈ (−1, 0) , y = W _i ( xe ^x ) es la otra solución.

Otras identidades: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)e^{W(x)}=x,\quad {\text{therefore:}}\\[5pt]&e^{W(x)}={\frac {x}{W(x)}},\qquad e^{-W(x)}={\frac {W(x)}{x}},\qquad e^{nW(x)}=\left({\frac {x}{W(x)}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \ln W_{0}(x)=\ln x-W_{0}(x)\quad {\text{for }}x>0.}$^{[ 15 ]}

${\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{0}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}{\frac {1}{e}}\leq x.}$

${\displaystyle W_{-1}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{-1}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}0<x\leq {\frac {1}{e}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)=\ln {\frac {x}{W(x)}}&&{\text{for }}x\geq -{\frac {1}{e}},\\[5pt]&W\left({\frac {nx^{n}}{W\left(x\right)^{n-1}}}\right)=nW(x)&&{\text{for }}n,x>0\end{aligned}}}$

(que puede extenderse a otros n y x si se elige la rama correcta).

${\displaystyle W(x)+W(y)=W\left(xy\left({\frac {1}{W(x)}}+{\frac {1}{W(y)}}\right)\right)\quad {\text{for }}x,y>0.}$

Sustituyendo −ln x en la definición: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}0&<x\leq e,\\[5pt]W_{-1}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}x&>e.\end{aligned}}}$

Con la exponencial iterada de Euler h ( x ) :

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x)&=e^{-W(-\ln x)}\\&={\frac {W(-\ln x)}{-\ln x}}\quad {\text{for }}x\neq 1.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \forall c\in \left[-{\frac {1}{e}},0\right),{\text{let }}t={\frac {W_{-1}(c)}{W_{0}(c)}}\geq 1\implies W_{0}(c)={\frac {\ln t}{1-t}},W_{-1}(c)={\frac {t\ln t}{1-t}}}$

Los siguientes ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} son ​​valores especiales de la rama principal: $${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}}$$$${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {1}{e}}\right)=-1}$$$${\displaystyle W_{0}\left(2\ln 2\right)=\ln 2}$$$${\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad \left(x\geqslant {\tfrac {1}{e}}\approx 0.36788\right)}$$$${\displaystyle W_{0}\left(x^{x+1}\ln x\right)=x\ln x\quad \left(x>0\right)}$$$${\displaystyle W_{0}(0)=0}$$

${\displaystyle W_{0}(1)=\Omega \approx 0.56714329\quad }$(la constante omega )

$${\displaystyle W_{0}(1)=e^{-W_{0}(1)}=\ln {\frac {1}{W_{0}(1)}}=-\ln W_{0}(1)}$$$${\displaystyle W_{0}(e)=1}$$$${\displaystyle W_{0}\left(e^{1+e}\right)=e}$$$${\displaystyle W_{0}\left({\frac {\sqrt {e}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}}$$$${\displaystyle W_{0}\left({\frac {\sqrt[{n}]{e}}{n}}\right)={\frac {1}{n}}}$$$${\displaystyle W_{0}(-1)\approx -0.31813+1.33723i}$$

Valores especiales de la rama W ₋₁ : $${\displaystyle W_{-1}\left(-{\frac {\ln 2}{2}}\right)=-\ln 4}$$

La rama principal de la función de Lambert puede representarse mediante una integral propia, debido a Poisson: ^{[ 20 ]}

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}W_{0}(-x)=\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)-xe^{\cos t}\sin \left({\tfrac {5}{2}}t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^{2}e^{2\cos t}}}\sin \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\,dt\quad {\text{for }}|x|<{\frac {1}{e}}.}$

Otra representación de la rama principal fue encontrada por Kalugin–Jeffrey–Corless: ^{[ 21 ]}

${\displaystyle W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\ln \left(1+x{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt.}$

La siguiente representación de fracción continua también es válida para la rama principal: ^{[ 22 ]}

${\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2+{\cfrac {5x}{3+{\cfrac {17x}{10+{\cfrac {133x}{17+{\cfrac {1927x}{190+{\cfrac {13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.}$

Además, si | W ₀ ( x ) | < 1 : ^{[ 23 ]}

${\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$

A su vez, si | W ₀ ( x ) | > 1 , entonces

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$