Función G de Meijer

En matemáticas, la función G fue introducida por Cornelis Simon Meijer  (1936) como una función muy general destinada a incluir la mayoría de las funciones especiales conocidas como casos particulares. Este no fue el único intento de este tipo: la función hipergeométrica generalizada y la función E de MacRobert tenían el mismo objetivo, pero la función G de Meijer fue capaz de incluir también a aquellas como casos particulares. La primera definición fue hecha por Meijer utilizando una serie ; hoy en día la definición aceptada y más general es mediante una integral de línea en el plano complejo , introducida en su totalidad por Arthur Erdélyi en 1953.

Con la definición moderna, la mayoría de las funciones especiales establecidas pueden representarse en términos de la función G de Meijer. Una propiedad notable es la clausura del conjunto de todas las funciones G no sólo bajo diferenciación sino también bajo integración indefinida. En combinación con una ecuación funcional que permite liberar de una función G G ( z ) cualquier factor z ^ρ que sea una potencia constante de su argumento z , la clausura implica que siempre que una función sea expresable como una función G de un múltiplo constante de alguna potencia constante del argumento de la función, f ( x ) = G ( cx ^γ ), la derivada y la antiderivada de esta función también son expresables.

La amplia cobertura de funciones especiales también otorga poder a usos de la función G de Meijer distintos a la representación y manipulación de derivadas y antiderivadas. Por ejemplo, la integral definida sobre el eje real positivo de cualquier función g ( x ) que pueda escribirse como un producto G ₁ ( cx ^γ )· G ₂ ( dx ^δ ) de dos funciones G con γ / δ racionales es igual a otra función G, y las generalizaciones de transformadas integrales como la transformada de Hankel y la transformada de Laplace y sus inversas resultan cuando se emplean pares de funciones G adecuados como núcleos de transformada.

Una función aún más general, que introduce parámetros adicionales en la función G de Meijer, es la función H de Fox .

Una aplicación de la función G de Meijer ha sido el espectro de partículas de radiación de un horizonte inercial en el modelo de espejo móvil del efecto Casimir dinámico (Good 2020).

Una definición general de la función G de Meijer viene dada por la siguiente integral de línea en el plano complejo (Bateman y Erdélyi 1953, § 5.3-1):

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-s)\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}+s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}+s)\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-s)}}\,z^{s}\,ds,}$

donde Γ denota la función gamma . Esta integral es del tipo Mellin–Barnes y puede considerarse como una transformada de Mellin inversa . La definición se cumple bajo los siguientes supuestos:

• 0 ≤ m ≤ q y 0 ≤ n ≤ p , donde m , n , p y q son números enteros
• a _k − b _j ≠ 1, 2, 3, ... para cualquier combinación de {k, j} para la cual k = 1, 2, ..., n , y j = 1, 2, ..., m , lo que implica que ningún polo de ningún Γ( b _j − s ), j = 1, 2, ..., m , coincide con ningún polo de ningún Γ(1 − a _k + s ), k = 1, 2, ..., n
• z ≠ 0

Tenga en cuenta que, por razones históricas, el primer índice inferior y el segundo superior se refieren a la fila de parámetros superior , mientras que el segundo índice inferior y el primer índice superior se refieren a la fila de parámetros inferior . A menudo se encuentra la siguiente notación más sintética utilizando vectores :

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right).}$

Las implementaciones de la función G en sistemas de álgebra computacional generalmente emplean argumentos vectoriales separados para los cuatro grupos de parámetros (posiblemente vacíos) a ₁ ... a _n , a _{n +1} ... a _p , b ₁ ... b _m y b _{m +1} ... b _q , y por lo tanto pueden omitir los órdenes p , q , n y m por ser redundantes.

La L en la integral representa el camino que se debe seguir al integrar. Hay tres opciones posibles para este camino:

1. L va de − i ∞ a + i ∞ de modo que todos los polos de Γ( b _j − s ), j = 1, 2, ..., m , están a la derecha de la trayectoria, mientras que todos los polos de Γ(1 − a _k + s ), k = 1, 2, ..., n , están a la izquierda. La integral converge entonces para |arg z | < δ π , donde

${\displaystyle \delta =m+n-{\tfrac {1}{2}}(p+q);}$

Un prerrequisito obvio para esto es δ > 0. La integral converge adicionalmente para |arg z | = δ π ≥ 0 si (q − p) ( σ + ¹ ⁄ ₂ ) > Re( ν ) + 1, donde σ representa Re( s ) cuando la variable de integración s se acerca tanto a + i ∞ como a − i ∞, y donde

${\displaystyle \nu =\sum _{j=1}^{q}b_{j}-\sum _{j=1}^{p}a_{j}.}$

Como corolario, para |arg z | = δ π y p = q la integral converge independientemente de σ siempre que Re( ν ) < −1.

2. L es un bucle que empieza y termina en +∞, que rodea todos los polos de Γ( b _j − s ), j = 1, 2, ..., m , exactamente una vez en la dirección negativa, pero que no rodea ningún polo de Γ(1 − a _k + s ), k = 1, 2, ..., n . Entonces la integral converge para todo z si q > p ≥ 0; también converge para q = p > 0 siempre que | z | < 1. En el último caso, la integral converge adicionalmente para | z | = 1 si Re( ν ) < −1, donde ν se define como para el primer camino.

3. L es un bucle que empieza y termina en −∞ y que rodea todos los polos de Γ(1 − a _k + s ), k = 1, 2, ..., n , exactamente una vez en la dirección positiva, pero que no rodea ningún polo de Γ( b _j − s ), j = 1, 2, ..., m . Ahora la integral converge para todo z si p > q ≥ 0; también converge para p = q > 0 siempre que | z | > 1. Como se observó también para el segundo camino, en el caso de p = q la integral también converge para | z | = 1 cuando Re( ν ) < −1.

Las condiciones de convergencia se establecen fácilmente aplicando la aproximación asintótica de Stirling a las funciones gamma del integrando. Cuando la integral converge para más de una de estas trayectorias, se puede demostrar que los resultados de la integración coinciden; si converge sólo para una de ellas, entonces ésta es la única que se debe considerar. De hecho, la integración numérica de trayectorias en el plano complejo constituye un enfoque práctico y sensato para el cálculo de las funciones G de Meijer.

Como consecuencia de esta definición, la función G de Meijer es una función analítica de z con la posible excepción del origen z = 0 y del círculo unitario | z | = 1.

La función G satisface la siguiente ecuación diferencial lineal de orden máx( p , q ):

${\displaystyle \left[(-1)^{p-m-n}\;z\prod _{j=1}^{p}\left(z{\frac {d}{dz}}-a_{j}+1\right)-\prod _{j=1}^{q}\left(z{\frac {d}{dz}}-b_{j}\right)\right]G(z)=0.}$

Para un conjunto fundamental de soluciones de esta ecuación en el caso de p ≤ q se puede tomar:

${\displaystyle G_{p,q}^{\,1,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{h},b_{1},\dots ,b_{h-1},b_{h+1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,q,}$

y de manera similar en el caso de p ≥ q :

${\displaystyle G_{p,q}^{\,q,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{h},a_{1},\dots ,a_{h-1},a_{h+1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{q-m-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,p.}$

Estas soluciones particulares son analíticas excepto por una posible singularidad en z = 0 (así como una posible singularidad en z = ∞), y en el caso de p = q también una singularidad inevitable en z = (−1) ^{p − m − n} . Como se verá enseguida, pueden identificarse con funciones hipergeométricas generalizadas _p F _{q −1} de argumento (−1) ^{p − m − n} z que se multiplican por una potencia z ^{b _h} , y con funciones hipergeométricas generalizadas _q F _{p −1} de argumento (−1) ^{q − m − n} z ⁻¹ que se multiplican por una potencia z ^{a _h −1} , respectivamente.

Si la integral converge cuando se evalúa a lo largo del segundo camino introducido anteriormente, y si no aparecen polos confluentes entre los Γ( b _j − s ), j = 1, 2, ..., m , entonces la función G de Meijer se puede expresar como una suma de residuos en términos de funciones hipergeométricas generalizadas _p F _{q −1} (teorema de Slater):

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=\sum _{h=1}^{m}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-b_{h})^{*}\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1+b_{h}-a_{j})\;z^{b_{h}}}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1+b_{h}-b_{j})\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-b_{h})}}\times }$

${\displaystyle _{p}F_{q-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1+b_{h}-\mathbf {a_{p}} \\(1+b_{h}-\mathbf {b_{q}} )^{*}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n}\;z\right).}$

La estrella indica que se omite el término correspondiente a j = h . Para que la integral converja por el segundo camino se debe tener o bien p < q , o bien p = q y | z | < 1, y para que los polos sean distintos ningún par entre los b _j , j = 1, 2, ..., m , puede diferir en un entero o en cero. Los asteriscos en la relación nos recuerdan que ignoremos la contribución con índice j = h de la siguiente manera: En el producto esto equivale a reemplazar Γ(0) por 1, y en el argumento de la función hipergeométrica, si recordamos el significado de la notación vectorial,

${\displaystyle 1+b_{h}-\mathbf {b_{q}} =(1+b_{h}-b_{1}),\,\dots ,\,(1+b_{h}-b_{j}),\,\dots ,\,(1+b_{h}-b_{q}),}$

Esto equivale a acortar la longitud del vector de q a q −1.

Nótese que cuando m = 0, el segundo camino no contiene ningún polo, por lo que la integral debe desaparecer de manera idéntica.

${\displaystyle G_{p,q}^{\,0,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=0,}$

si p < q , o p = q y | z | < 1.

De manera similar, si la integral converge cuando se evalúa a lo largo del tercer camino anterior, y si no aparecen polos confluentes entre Γ(1 − a _k + s ), k = 1, 2, ..., n , entonces la función G se puede expresar como:

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\prod _{j=1}^{n}\Gamma (a_{h}-a_{j})^{*}\prod _{j=1}^{m}\Gamma (1-a_{h}+b_{j})\;z^{a_{h}-1}}{\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (1-a_{h}+a_{j})\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (a_{h}-b_{j})}}\times }$

${\displaystyle _{q}F_{p-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-a_{h}+\mathbf {b_{q}} \\(1-a_{h}+\mathbf {a_{p}} )^{*}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{q-m-n}z^{-1}\right).}$

Para ello se requiere que p > q , o bien p = q y | z | > 1, y ningún par entre los a _k , k = 1, 2, ..., n , puede diferir en un entero o en cero. Para n = 0 se tiene, en consecuencia:

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=0,}$

si p > q , o p = q y | z | > 1.

Por otra parte, cualquier función hipergeométrica generalizada puede expresarse fácilmente en términos de la función G de Meijer:

${\displaystyle \;_{p}F_{q}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {\Gamma (\mathbf {b_{q}} )}{\Gamma (\mathbf {a_{p}} )}}\;G_{p,\,q+1}^{\,1,\,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {a_{p}} \\0,1-\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,-z\right)={\frac {\Gamma (\mathbf {b_{q}} )}{\Gamma (\mathbf {a_{p}} )}}\;G_{q+1,\,p}^{\,p,\,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,\mathbf {b_{q}} \\\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\,-z^{-1}\right),}$

donde hemos hecho uso de la notación vectorial:

${\displaystyle \Gamma (\mathbf {a_{p}} )=\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a_{j}).}$

Esto se cumple a menos que un valor entero no positivo de al menos uno de sus parámetros a _p reduzca la función hipergeométrica a un polinomio finito, en cuyo caso el prefactor gamma de cualquiera de las funciones G se desvanece y los conjuntos de parámetros de las funciones G violan el requisito a _k − b _j ≠ 1, 2, 3, ... para k = 1, 2, ..., n y j = 1, 2, ..., m de la definición anterior. Aparte de esta restricción, la relación es válida siempre que la serie hipergeométrica generalizada _p F _q ( z ) converja, es decir, para cualquier z finito cuando p ≤ q , y para | z | < 1 cuando p = q + 1. En el último caso, la relación con la función G proporciona automáticamente la continuación analítica de _p F _q ( z ) hasta | z | ≥ 1 con un corte de rama de 1 a ∞ a lo largo del eje real. Finalmente, la relación proporciona una extensión natural de la definición de la función hipergeométrica a los órdenes p > q + 1. Por medio de la función G podemos resolver también la ecuación diferencial hipergeométrica generalizada para p > q + 1.

Para expresar casos polinomiales de funciones hipergeométricas generalizadas en términos de funciones G de Meijer, en general se necesita una combinación lineal de dos funciones G:

${\displaystyle \;_{p+1}F_{q}\!\left(\left.{\begin{matrix}-h,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=h!\;{\frac {\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (1-a_{j})\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (b_{j})}{\prod _{j=1}^{n}\Gamma (a_{j})\prod _{j=1}^{m}\Gamma (1-b_{j})}}\times }$

${\displaystyle \left[G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {a_{p}} ,h+1\\0,1-\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n}\;z\right)+(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}h+1,1-\mathbf {a_{p}} \\1-\mathbf {b_{q}} ,0\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n}\;z\right)\right],}$

donde h = 0, 1, 2, ... es igual al grado del polinomio _{p +1} F _q ( z ). Los órdenes m y n pueden elegirse libremente en los rangos 0 ≤ m ≤ q y 0 ≤ n ≤ p , lo que permite evitar que valores enteros específicos o diferencias enteras entre los parámetros a _p y b _q del polinomio den lugar a funciones gamma divergentes en el prefactor o a un conflicto con la definición de la función G. Nótese que la primera función G se desvanece para n = 0 si p > q , mientras que la segunda función G se desvanece para m = 0 si p < q . Nuevamente, la fórmula puede verificarse expresando las dos funciones G como sumas de residuos ; aquí no es necesario excluir ningún caso de polos confluentes permitidos por la definición de la función G.

Como se puede ver en la definición de la función G, si aparecen parámetros iguales entre a _p y b _q que determinan los factores en el numerador y el denominador del integrando, la fracción se puede simplificar y, por lo tanto, el orden de la función se puede reducir. Que el orden m o n disminuya depende de la posición particular de los parámetros en cuestión. Así, si uno de los a _k , k = 1, 2, ..., n , es igual a uno de los b _j , j = m + 1, ..., q , la función G disminuye sus órdenes p , q y n :

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1},a_{1}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p-1,\,q-1}^{\,m,\,n-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n,p,q\geq 1.}$

Por la misma razón, si uno de los a _k , k = n + 1, ..., p , es igual a uno de los b _j , j = 1, 2, ..., m , entonces la función G reduce sus órdenes p , q y m :

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},b_{1}\\b_{1},b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p-1,\,q-1}^{\,m-1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1}\\b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m,p,q\geq 1.}$

A partir de la definición, también es posible derivar las siguientes propiedades:

${\displaystyle z^{\rho }\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} +\rho \\\mathbf {b_{q}} +\rho \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}$

${\displaystyle G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} ,\alpha '\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\alpha '-\alpha }\;G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ',\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\leq p,\;\alpha '-\alpha \in \mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\beta ,\mathbf {b_{q}} ,\beta '\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta '-\beta }\;G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\beta ',\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta '-\beta \in \mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta -\alpha }\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\beta ,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta -\alpha =0,1,2,\dots ,}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{q,p}^{\,n,m}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {b_{q}} \\1-\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right),}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {h^{1+\nu +(p-q)/2}}{(2\pi )^{(h-1)\delta }}}\;G_{hp,\,hq}^{\,hm,\,hn}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}/h,\dots ,(a_{1}+h-1)/h,\dots ,a_{p}/h,\dots ,(a_{p}+h-1)/h\\b_{1}/h,\dots ,(b_{1}+h-1)/h,\dots ,b_{q}/h,\dots ,(b_{q}+h-1)/h\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z^{h}}{h^{h(q-p)}}}\right),\quad h\in \mathbb {N} .}$

Las abreviaturas ν y δ se introdujeron en la definición de la función G anterior.

Respecto a las derivadas de la función G, se encuentran estas relaciones:

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{1-a_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=z^{-a_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{1-a_{p}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=-z^{-a_{p}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-1\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n<p.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{-b_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=-z^{-1-b_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\geq 1,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{-b_{q}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=z^{-1-b_{q}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m<q,}$

De estas cuatro relaciones equivalentes se pueden deducir simplemente evaluando la derivada del lado izquierdo y manipulando un poco. Se obtiene, por ejemplo:

${\displaystyle z{\frac {d}{dz}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)+(a_{1}-1)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1.}$

Además, para derivadas de orden arbitrario h , se tiene

${\displaystyle z^{h}{\frac {d^{h}}{dz^{h}}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,h\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,0\\h,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}$

${\displaystyle z^{h}{\frac {d^{h}}{dz^{h}}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right)=G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,1-h\\1,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right)=(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-h,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,1\end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right),}$

que se cumplen también para h < 0, lo que permite obtener la antiderivada de cualquier función G con la misma facilidad que la derivada. Al elegir uno u otro de los dos resultados proporcionados en cualquiera de las fórmulas, siempre se puede evitar que el conjunto de parámetros del resultado viole la condición a _k − b _j ≠ 1, 2, 3, ... para k = 1, 2, ..., n y j = 1, 2, ..., m que impone la definición de la función G. Nótese que cada par de resultados se vuelve desigual en el caso de h < 0.

De estas relaciones se pueden derivar propiedades correspondientes de la función hipergeométrica de Gauss y de otras funciones especiales.

Al igualar diferentes expresiones para las derivadas de primer orden, se llega a las siguientes relaciones de recurrencia de 3 términos entre funciones G contiguas:

${\displaystyle (a_{p}-a_{1})\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-1\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad 1\leq n<p,}$

${\displaystyle (b_{1}-b_{q})\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad 1\leq m<q,}$

${\displaystyle (b_{1}-a_{1}+1)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1,\;m\geq 1,}$

${\displaystyle (a_{p}-b_{q}-1)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-1\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n<p,\;m<q.}$

Se obtienen relaciones similares para los pares de parámetros diagonales a ₁ , b _q y b ₁ , a _p mediante una combinación adecuada de las anteriores. Nuevamente, las propiedades correspondientes de las funciones hipergeométricas y otras funciones especiales se pueden derivar de estas relaciones de recurrencia.

Siempre que z ≠ 0, se cumplen las siguientes relaciones:

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,wz\right)=w^{b_{1}}\sum _{h=0}^{\infty }{\frac {(1-w)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1}+h,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\geq 1,}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,wz\right)=w^{b_{q}}\sum _{h=0}^{\infty }{\frac {(w-1)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+h\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m<q,}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z}{w}}\right)=w^{1-a_{1}}\sum _{h=0}^{\infty }{\frac {(1-w)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-h,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1,}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z}{w}}\right)=w^{1-a_{p}}\sum _{h=0}^{\infty }{\frac {(w-1)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-h\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n<p.}$

Estos se obtienen mediante la expansión de Taylor en torno a w = 1, con la ayuda de las propiedades básicas analizadas anteriormente. Los radios de convergencia dependerán del valor de z y de la función G que se expanda. Las expansiones pueden considerarse como generalizaciones de teoremas similares para funciones de Bessel , hipergeométricas y hipergeométricas confluentes .

Entre las integrales definidas que involucran una función G arbitraria se tiene:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)dx={\frac {\eta ^{-s}\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}+s)\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}-s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}-s)\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}+s)}}.}$

Obsérvese que aquí se han omitido las restricciones bajo las cuales existe esta integral. Por supuesto, no sorprende que la transformada de Mellin de una función G conduzca de nuevo al integrando que aparece en la definición anterior.

Las integrales de tipo Euler para la función G se dan por:

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{-\alpha }\;(1-x)^{\alpha -\beta -1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,zx\right)dx=\Gamma (\alpha -\beta )\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }x^{-\alpha }\;(x-1)^{\alpha -\beta -1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,zx\right)dx=\Gamma (\alpha -\beta )\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\beta ,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right).}$

En la pág. 417 de "Tablas de transformadas integrales", vol. II (1954), editado por A. Erdelyi, se pueden encontrar amplias restricciones bajo las cuales existen estas integrales. Nótese que, en vista de su efecto sobre la función G, estas integrales se pueden usar para definir la operación de integración fraccionaria para una clase bastante grande de funciones ( operadores de Erdélyi–Kober ).

Un resultado de importancia fundamental es que el producto de dos funciones G arbitrarias integradas sobre el eje real positivo puede representarse simplemente mediante otra función G (teorema de convolución):

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)G_{\sigma ,\tau }^{\,\mu ,\nu }\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {c_{\sigma }} \\\mathbf {d_{\tau }} \end{matrix}}\;\right|\,\omega x\right)dx=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\eta }}\;G_{q+\sigma ,\,p+\tau }^{\,n+\mu ,\,m+\nu }\!\left(\left.{\begin{matrix}-b_{1},\dots ,-b_{m},\mathbf {c_{\sigma }} ,-b_{m+1},\dots ,-b_{q}\\-a_{1},\dots ,-a_{n},\mathbf {d_{\tau }} ,-a_{n+1},\dots ,-a_{p}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\omega }{\eta }}\right)=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\omega }}\;G_{p+\tau ,\,q+\sigma }^{\,m+\nu ,\,n+\mu }\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{n},-\mathbf {d_{\tau }} ,a_{n+1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{m},-\mathbf {c_{\sigma }} ,b_{m+1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\eta }{\omega }}\right).}$

Las restricciones bajo las cuales existe la integral se pueden encontrar en Meijer, CS, 1941: Nederl. Akad. Wetensch, Proc. 44, págs. 82-92. Nótese cómo la transformada de Mellin del resultado simplemente ensambla los factores gamma de las transformadas de Mellin de las dos funciones en el integrando.

La fórmula de convolución se puede obtener sustituyendo la integral de Mellin-Barnes definitoria por una de las funciones G, invirtiendo el orden de integración y evaluando la integral de la transformada de Mellin interna. Las integrales de tipo Euler anteriores se obtienen de manera análoga.

Utilizando la integral de convolución y las propiedades básicas anteriores se puede demostrar que:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-\omega x}\;x^{-\alpha }\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)dx=\omega ^{\alpha -1}\;G_{p+1,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\eta }{\omega }}\right),}$

donde Re( ω ) > 0. Esta es la transformada de Laplace de una función G ( ηx ) multiplicada por una potencia x ^{− α} ; si ponemos α = 0 obtenemos la transformada de Laplace de la función G. Como es habitual, la transformada inversa viene dada por:

${\displaystyle x^{-\alpha }\;G_{p,\,q+1}^{\,m,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\alpha \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }e^{\omega x}\;\omega ^{\alpha -1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\eta }{\omega }}\right)d\omega ,}$

donde c es una constante positiva real que coloca el camino de integración a la derecha de cualquier polo en el integrando.

Otra fórmula para la transformada de Laplace de una función G es:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-\omega x}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x^{2}\right)dx={\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\omega }}\;G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+2}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,{\frac {1}{2}},\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {4\eta }{\omega ^{2}}}\right),}$

donde nuevamente Re( ω ) > 0. En ambos casos se han omitido los detalles de las restricciones bajo las cuales existen las integrales.

En general, dos funciones k ( z , y ) y h ( z , y ) se denominan un par de núcleos de transformación si, para cualquier función adecuada f ( z ) o cualquier función adecuada g ( z ), se cumplen simultáneamente las dos relaciones siguientes:

${\displaystyle g(z)=\int _{0}^{\infty }k(z,y)\,f(y)\;dy,\quad f(z)=\int _{0}^{\infty }h(z,y)\,g(y)\;dy.}$

Se dice que el par de núcleos es simétrico si k ( z , y ) = h ( z , y ).

Roop Narain (1962, 1963a, 1963b) demostró que las funciones:

${\displaystyle k(z,y)=2\gamma \;(zy)^{\gamma -1/2}\;G_{p+q,\,m+n}^{\,m,\,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\mathbf {b_{q}} \\\mathbf {c_{m}} ,\mathbf {d_{n}} \end{matrix}}\;\right|\,(zy)^{2\gamma }\right),}$

${\displaystyle h(z,y)=2\gamma \;(zy)^{\gamma -1/2}\;G_{p+q,\,m+n}^{\,n,\,q}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\mathbf {b_{q}} ,-\mathbf {a_{p}} \\-\mathbf {d_{n}} ,-\mathbf {c_{m}} \end{matrix}}\;\right|\,(zy)^{2\gamma }\right)}$

son un par asimétrico de núcleos de transformación, donde γ > 0, n − p = m − q > 0, y:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{p}a_{j}+\sum _{j=1}^{q}b_{j}=\sum _{j=1}^{m}c_{j}+\sum _{j=1}^{n}d_{j},}$

junto con otras condiciones de convergencia. En particular, si p = q , m = n , a _j + b _j = 0 para j = 1, 2, ..., p y c _j + d _j = 0 para j = 1, 2, ..., m , entonces el par de núcleos se vuelve simétrico. La conocida transformada de Hankel es un caso especial simétrico de la transformada de Narain ( γ = 1, p = q = 0, m = n = 1, c ₁ = − d ₁ = ^ν ⁄ ₂ ).

Jet Wimp (1964) demostró que estas funciones son un par asimétrico de núcleos de transformación:

${\displaystyle k(z,y)=G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+2}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\nu +iz,1-\nu -iz,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;y\right),}$

${\displaystyle h(z,y)={\frac {i}{\pi }}ye^{-\nu \pi i}\left[e^{\pi y}A(\nu +iy,\nu -iy\,|\,ze^{i\pi })-e^{-\pi y}A(\nu -iy,\nu +iy\,|\,ze^{i\pi })\right],}$

donde la función A (·) se define como:

${\displaystyle A(\alpha ,\beta \,|\,z)=G_{p+2,\,q}^{\,q-m,\,p-n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}-a_{n+1},-a_{n+2},\dots ,-a_{p},\alpha ,-a_{1},-a_{2},\dots ,-a_{n},\beta \\-b_{m+1},-b_{m+2},\dots ,-b_{q},-b_{1},-b_{2},\dots ,-b_{m}\end{matrix}}\;\right|\,z\right).}$

La transformada de Laplace se puede generalizar en estrecha analogía con la generalización de Narain de la transformada de Hankel:

${\displaystyle g(s)=2\gamma \int _{0}^{\infty }(st)^{\gamma +\rho -1/2}\;G_{p,\,q+1}^{\,q+1,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\0,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,(st)^{2\gamma }\right)f(t)\;dt,}$

${\displaystyle f(t)={\frac {\gamma }{\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }(ts)^{\gamma -\rho -1/2}\;G_{p,\,q+1}^{\,1,\,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\mathbf {a_{p}} \\0,-\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,-(ts)^{2\gamma }\right)g(s)\;ds,}$

donde γ > 0 , p ≤ q , y:

${\displaystyle (q+1-p)\,{\rho \over 2\gamma }=\sum _{j=1}^{p}a_{j}-\sum _{j=1}^{q}b_{j},}$

y donde la constante c > 0 coloca la segunda trayectoria de integración a la derecha de cualquier polo en el integrando. Para γ = ¹ ⁄ ₂ , ρ = 0 y p = q = 0, esto corresponde a la conocida transformada de Laplace.

Dos casos particulares de esta generalización fueron dados por CS Meijer en 1940 y 1941. El caso resultante para γ = 1, ρ = − ν , p = 0, q = 1 y b ₁ = ν puede escribirse (Meijer 1940):

${\displaystyle g(s)={\sqrt {2/\pi }}\int _{0}^{\infty }(st)^{1/2}\,K_{\nu }(st)\,f(t)\;dt,}$

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\,i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }(ts)^{1/2}\,I_{\nu }(ts)\,g(s)\;ds,}$

y el caso obtenido para γ = ¹ ⁄ ₂ , ρ = − m − k , p = q = 1, a ₁ = m − k y b ₁ = 2 m puede escribirse (Meijer 1941a):

${\displaystyle g(s)=\int _{0}^{\infty }(st)^{-k-1/2}\,e^{-st/2}\,W_{k+1/2,\,m}(st)\,f(t)\;dt,}$

${\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma (1-k+m)}{2\pi i\,\Gamma (1+2m)}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }(ts)^{k-1/2}\,e^{ts/2}\,M_{k-1/2,\,m}(ts)\,g(s)\;ds.}$

Aquí I _ν y K _ν son las funciones de Bessel modificadas de primer y segundo tipo, respectivamente, M _{k , m} y W _{k , m} son las funciones de Whittaker , y se han aplicado factores de escala constantes a las funciones f y g y sus argumentos s y t en el primer caso.

La siguiente lista muestra cómo las funciones elementales conocidas resultan como casos especiales de la función G de Meijer:

${\displaystyle e^{x}=G_{0,1}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\0\end{matrix}}\;\right|\,-x\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle \cos x={\sqrt {\pi }}\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\0,{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle \sin x={\sqrt {\pi }}\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \cosh x={\sqrt {\pi }}\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\0,{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\;\right|\,-{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle \sinh x=-{\sqrt {\pi }}i\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,-{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad -\pi <\arg x\leq 0}$

${\displaystyle \arcsin x={\frac {-i}{2{\sqrt {\pi }}}}\;G_{2,2}^{\,1,2}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,1\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,-x^{2}\right),\qquad -\pi <\arg x\leq 0}$

${\displaystyle \arctan x={\frac {1}{2}}\;G_{2,2}^{\,1,2}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1}{2}},1\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,x^{2}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {1}{2}}\;G_{2,2}^{\,2,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1}{2}},1\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,x^{2}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \ln(1+x)=G_{2,2}^{\,1,2}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,1\\1,0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle H(1-|x|)=G_{1,1}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle H(|x|-1)=G_{1,1}^{\,0,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x}$

Aquí, H denota la función escalón de Heaviside .

La siguiente lista muestra cómo se pueden expresar algunas funciones superiores en términos de la función G:

${\displaystyle \gamma (\alpha ,x)=G_{1,2}^{\,1,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1\\\alpha ,0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle \Gamma (\alpha ,x)=G_{1,2}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}1\\\alpha ,0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle J_{\nu }(x)=G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle Y_{\nu }(x)=G_{1,3}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {-\nu -1}{2}}\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}},{\frac {-\nu -1}{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle I_{\nu }(x)=i^{-\nu }\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}}\end{matrix}}\;\right|\,-{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad -\pi <\arg x\leq 0}$

${\displaystyle K_{\nu }(x)={\frac {1}{2}}\;G_{0,2}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \Phi (x,n,a)=G_{n+1,\,n+1}^{\,1,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,1-a,\dots ,1-a\\0,-a,\dots ,-a\end{matrix}}\;\right|\,-x\right),\qquad \forall x,\;n=0,1,2,\dots }$

${\displaystyle \Phi (x,-n,a)=G_{n+1,\,n+1}^{\,1,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,-a,\dots ,-a\\0,1-a,\dots ,1-a\end{matrix}}\;\right|\,-x\right),\qquad \forall x,\;n=0,1,2,\dots }$

Incluso las derivadas de γ( α , x ) y Γ( α , x ) con respecto a α se pueden expresar en términos de la función G de Meijer. Aquí, γ y Γ son las funciones gamma incompletas inferior y superior , J _ν e Y _ν son las funciones de Bessel de primer y segundo tipo, respectivamente, I _ν y K _ν son las funciones de Bessel modificadas correspondientes, y Φ es el trascendente de Lerch .

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