Proyección azimutal de Lambert de igual área

La proyección azimutal de Lambert de áreas iguales es una transformación particular de una esfera a un disco . Representa con precisión el área en todas las regiones de la esfera, pero no los ángulos . Recibe su nombre del matemático suizo Johann Heinrich Lambert , quien la anunció en 1772. ^{[ 1 ]} Dado que «cenital» es sinónimo de «azimutal», la proyección también se conoce como proyección cenital de Lambert de áreas iguales . ^{[ 2 ]}

La proyección azimutal de Lambert se utiliza como proyección cartográfica en cartografía . Por ejemplo, el Atlas Nacional de los Estados Unidos utiliza una proyección azimutal de Lambert de igual área para mostrar información en la aplicación en línea Map Maker, ^{[ 3 ]} y la Agencia Europea de Medio Ambiente recomienda su uso para la cartografía europea con fines de análisis estadístico y visualización. ^{[ 4 ]} También se utiliza en disciplinas científicas como la geología para representar la orientación de líneas en el espacio tridimensional. Esta representación se facilita mediante un tipo especial de papel cuadriculado llamado red de Schmidt . ^{[ 5 ]}

Para definir la proyección azimutal de Lambert, imaginemos un plano tangente a la esfera en un punto S de la misma. Sea P cualquier punto de la esfera distinto del antípoda de S. Sea d la distancia entre S y P en el espacio tridimensional ( no la distancia a lo largo de la superficie de la esfera). Entonces , la proyección traslada P a un punto P′ del plano que se encuentra a una distancia d de S.

Para ser más precisos, existe un único círculo centrado en S , que pasa por P y es perpendicular al plano. Este círculo interseca el plano en dos puntos; sea P ′ el punto más cercano a P. Este es el punto proyectado. Véase la figura. El antípoda de S se excluye de la proyección porque el círculo requerido no es único. El caso de S es degenerado; S se proyecta sobre sí mismo, a lo largo de un círculo de radio 0. ^{[ 6 ]}

Se requieren fórmulas explícitas para realizar la proyección en una computadora . Considere la proyección centrada en ⁠${\displaystyle S=(0,0,-1)}$en la esfera unitaria , que es el conjunto de puntos${\displaystyle (x,y,z)}$en el espacio tridimensional${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$de tal manera que${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$⁠ . En coordenadas cartesianas ⁠${\displaystyle (x,y,z)}$⁠ en la esfera y ⁠${\displaystyle (X,Y)}$En el plano, la proyección y su inversa se describen entonces mediante$${\displaystyle {\begin{aligned}(X,Y)&=\left({\sqrt {\frac {2}{1-z}}}\,x,{\sqrt {\frac {2}{1-z}}}\,y\right),\\(x,y,z)&=\left({\sqrt {1-{\frac {X^{2}+Y^{2}}{4}}}}\,X,{\sqrt {1-{\frac {X^{2}+Y^{2}}{4}}}}\,Y,-1+{\frac {X^{2}+Y^{2}}{2}}\right).\end{aligned}}}$$

En coordenadas esféricas${\displaystyle (\psi,\theta)}$⁠ en la esfera (con ⁠${\displaystyle \psi }$⁠ la colatitud y ⁠${\displaystyle \theta }$la longitud) y coordenadas polares${\displaystyle (R,\Theta )}$⁠ en el disco, el mapa y su inversa vienen dados por ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left(2\cos {\tfrac {1}{2}}\psi ,-\theta \right),\\(\psi ,\theta )&=\left(2\arccos {\tfrac {R}{2}},-\Theta \right).\end{aligned}}}$$

En coordenadas cilíndricas${\displaystyle (r,\theta ,z)}$en la esfera y coordenadas polares${\displaystyle (R,\Theta )}$En el plano, el mapa y su inversa vienen dados por $${\displaystyle {\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left({\sqrt {2(1+z)}},\theta \right),\\(r,\theta ,z)&=\left(R{\sqrt {1-{\frac {R^{2}}{4}}}},\Theta ,-1+{\frac {R^{2}}{2}}\right).\end{aligned}}}$$

La proyección puede centrarse en otros puntos y definirse en esferas de radio distinto de 1, utilizando fórmulas similares. ^{[ 7 ]}

Como se define en la sección anterior, la proyección azimutal de Lambert de la esfera unitaria no está definida en ⁠${\displaystyle (0,0,1)}$Envía el resto de la esfera al disco abierto de radio 2 centrado en el origen .${\displaystyle (0,0)}$En el avión. Envía el punto .${\displaystyle (0,0,-1)}$a​​${\displaystyle (0,0)}$⁠ , el ecuador${\displaystyle z=0}$al círculo de radio${\displaystyle {\sqrt {2}}}$centrado en${\displaystyle (0,0)}$y el hemisferio inferior${\displaystyle z<0}$al disco abierto contenido en ese círculo.

La proyección es un difeomorfismo (una biyección que es infinitamente diferenciable en ambas direcciones) entre la esfera (menos ⁠${\displaystyle (0,0,1)}$) y el disco abierto de radio 2. Es una aplicación que conserva el área (de igual área), lo cual se puede observar calculando el elemento de área de la esfera cuando se parametriza mediante la inversa de la proyección. En coordenadas cartesianas es $${\displaystyle dA=dX\;dY.}$$ Esto significa que medir el área de una región en la esfera equivale a medir el área de la región correspondiente en el disco.

Por otro lado, la proyección no conserva las relaciones angulares entre las curvas de la esfera. Ninguna correspondencia entre una porción de la esfera y el plano puede preservar tanto los ángulos como las áreas. (Si así fuera, se trataría de una isometría local y preservaría la curvatura gaussiana ; pero la esfera y el disco tienen curvaturas diferentes, por lo que esto es imposible). Este hecho, que las representaciones planas no pueden representar perfectamente las regiones de las esferas, es el problema fundamental de la cartografía.

Como consecuencia, las regiones de la esfera pueden proyectarse sobre el plano con formas muy distorsionadas. Esta distorsión es particularmente dramática lejos del centro de la proyección .${\displaystyle (0,0,-1)}$En la práctica , la proyección suele estar restringida al hemisferio centrado en ese punto; el otro hemisferio puede representarse por separado, utilizando una segunda proyección centrada en el antípoda.

La proyección azimutal de Lambert fue concebida originalmente como una proyección cartográfica de áreas iguales. Ahora también se utiliza en disciplinas como la geología para representar datos direccionales, como se muestra a continuación.

Una dirección en el espacio tridimensional corresponde a una línea que pasa por el origen. El conjunto de todas esas líneas es en sí mismo un espacio, llamado plano proyectivo real en matemáticas . Cada línea que pasa por el origen interseca la esfera unitaria en exactamente dos puntos, uno de los cuales se encuentra en el hemisferio inferior.${\displaystyle z\leq 0}$(Las líneas horizontales intersecan el ecuador)${\displaystyle z=0}$en dos puntos antipodales. Se entiende que los puntos antipodales en el ecuador representan una sola línea. Véase topología cociente . Por lo tanto, las direcciones en el espacio tridimensional corresponden (casi perfectamente) a puntos en el hemisferio inferior. El hemisferio puede entonces representarse como un disco de radio${\displaystyle {\sqrt {2}}}$utilizando la proyección azimutal de Lambert.

Así, la proyección azimutal de Lambert nos permite representar direcciones como puntos en un disco. Debido a la propiedad de áreas iguales de la proyección, se puede integrar sobre regiones del plano proyectivo real (el espacio de direcciones) integrando sobre las regiones correspondientes en el disco. Esto es útil para el análisis estadístico de datos direccionales, ^{[ 6 ]} incluyendo la rotación rígida aleatoria . ^{[ 8 ]}

Con la proyección azimutal de Lambert, no solo se pueden trazar líneas, sino también planos que pasan por el origen. Un plano interseca el hemisferio en un arco circular, llamado traza del plano, que se proyecta hacia abajo formando una curva (generalmente no circular) en el disco. Se puede trazar esta curva o, alternativamente, reemplazar el plano por la línea perpendicular a él, llamada polo , y trazar esta última. Cuando se trazan varios planos simultáneamente, representar polos en lugar de trazas produce un gráfico menos recargado.

Los investigadores en geología estructural utilizan la proyección azimutal de Lambert para representar ejes y caras cristalográficas , lineación y foliación en rocas, superficies de deslizamiento en fallas y otras características lineales y planas. En este contexto, la proyección se denomina proyección hemisférica de igual área . También existe una proyección hemisférica de igual ángulo definida por la proyección estereográfica . ^{[ 6 ]}

La discusión aquí ha enfatizado una visión de adentro hacia afuera del hemisferio inferior.${\displaystyle z\leq 0}$(como podría verse en un mapa estelar), pero algunas disciplinas (como la cartografía) prefieren una vista del hemisferio superior desde afuera hacia adentro.${\displaystyle z\geq 0}$. ^{[ 6 ]} De hecho, cualquier hemisferio puede utilizarse para registrar las líneas que pasan por el origen en el espacio tridimensional.

Comparación de la proyección azimutal de Lambert de igual área y algunas proyecciones azimutales centradas en 90 °  N a la misma escala, ordenadas por altitud de proyección en radios terrestres ( haga clic  para  ver más detalles ).

Dejar${\displaystyle (u,\phi )}$sean dos parámetros para los cuales${\displaystyle -1<u\leq 1}$y${\displaystyle 0\leq \phi <2\pi }$. Dejar${\displaystyle H}$ser un parámetro de "tiempo" (igual a la altura o grosor vertical de la carcasa en la animación). Si se dibuja una cuadrícula rectilínea uniforme en${\displaystyle (u,\phi )}$espacio, entonces cualquier punto en esta cuadrícula se transforma en un punto${\displaystyle (x,y,z)}$sobre una cáscara esférica de altura${\displaystyle H}$Según el mapeo $${\displaystyle x=\lambda (u,H)\cos(\phi )}$$$${\displaystyle y=\lambda (u,H)\sin(\phi )}$$$${\displaystyle z={\frac {Hu}{2}}}$$ dónde${\displaystyle \lambda (u,H)={\frac {1}{2}}{\sqrt {(1-u)\left[8-H^{2}(1-u)\right]}}}$Cada fotograma de la animación corresponde a una representación paramétrica de la cuadrícula deformada a un valor fijo de la altura de la carcasa.${\displaystyle H}$(con valores que van de 0 a 2). Físicamente,${\displaystyle \lambda }$es el estiramiento (longitud deformada dividida por la longitud inicial) de una línea infinitesimal${\displaystyle d\phi }$segmentos de línea. Este mapeo se puede convertir en uno que mantenga fijo el polo sur usando en su lugar${\displaystyle z={\frac {H(1-u)}{2}}.}$

Independientemente de los valores de${\displaystyle (u,\phi ,H)}$, el jacobiano de esta aplicación es igual a 1 en todas partes, lo que demuestra que es efectivamente una aplicación de área igual en toda la animación. Esta aplicación generalizada incluye la proyección de Lambert como un caso especial cuando${\displaystyle H=0}$.

Aplicación: este mapeo puede ayudar a explicar el significado de una proyección de Lambert al mostrar cómo se "despliega" la esfera en un polo, transformándola en un disco sin cambiar el área encerrada por las celdas de la cuadrícula.

• Lista de proyecciones cartográficas
• Proyección azimutal equidistante
• red eléctrica europea
• Proyección de martillo

• Explicación de las conversiones de coordenadas con diagramas.
• Contenido multimedia relacionado con la proyección azimutal de Lambert de igual área en Wikimedia Commons.
• Generador de mapas azimutales : herramienta interactiva para crear mapas de proyección azimutal de igual área personalizables, centrados en cualquier ubicación, con opciones de estilo y exportación personalizadas.