Ley del coseno de Lambert

En óptica , la ley del coseno de Lambert establece que la intensidad radiante observada o la intensidad luminosa de una superficie ideal de reflexión difusa o un _radiador ideal de luz difusa es directamente proporcional al coseno del ángulo θ entre la línea de visión del observador y la normal a la superficie ; I = I₀ cos θ . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Esta ley también se conoce como ley de emisión del coseno ^{[ 3 ]} o ley de emisión de Lambert . Recibe su nombre de Johann Heinrich Lambert , de su obra Photometria , publicada en 1760. ^{[ 4 ]}

Una superficie que obedece la ley de Lambert se denomina lambertiana y presenta reflectancia lambertiana . Dicha superficie tiene una radiancia / luminancia constante , independientemente del ángulo desde el que se observe; un solo ojo humano la percibe con un brillo constante, sin importar el ángulo de visión. Su radiancia es la misma porque, si bien la potencia emitida por un elemento de área determinado se reduce en el coseno del ángulo de emisión, el ángulo sólido subtendido por la superficie visible para el observador se reduce en la misma cantidad. Dado que la relación entre la potencia y el ángulo sólido es constante, la radiancia (potencia por unidad de ángulo sólido por unidad de área de fuente proyectada) permanece invariable.

Cuando un elemento de área irradia como resultado de ser iluminado por una fuente externa, la irradiancia (energía o fotones/tiempo/área) que incide sobre dicho elemento será proporcional al coseno del ángulo entre la fuente de iluminación y la normal. Un dispersor lambertiano dispersará esta luz según la misma ley del coseno que un emisor lambertiano. Esto significa que, si bien la radiancia de la superficie depende del ángulo con respecto a la normal de la fuente de iluminación, no dependerá del ángulo con respecto a la normal del observador. Por ejemplo, si la Luna fuera un dispersor lambertiano, se esperaría que su brillo disperso disminuyera considerablemente hacia el terminador debido al mayor ángulo con el que la luz solar incide sobre la superficie. El hecho de que no disminuya demuestra que la Luna no es un dispersor lambertiano y, de hecho, tiende a dispersar más luz en ángulos oblicuos que un dispersor lambertiano.

La emisión de un radiador lambertiano no depende de la cantidad de radiación incidente, sino de la radiación que se origina en el propio cuerpo emisor. Por ejemplo, si el Sol fuera un radiador lambertiano, se esperaría observar un brillo constante en todo el disco solar. El hecho de que el Sol presente oscurecimiento del limbo en la región visible demuestra que no es un radiador lambertiano. Un cuerpo negro es un ejemplo de radiador lambertiano. Según Tatum, «Al analizar las propiedades de las superficies reflectantes, a menudo se distinguen dos casos extremos. Por un lado, está la superficie lambertiana de difusión perfecta; el papel secante se cita a veces como un ejemplo casi lambertiano. El otro extremo es la superficie perfectamente reflectante, o reflexión especular (del latín speculum, espejo), en la que el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia». ^{[ 5 ]}

La situación para una superficie lambertiana (emisora ​​o dispersora) se ilustra en las figuras 1 y 2. Para mayor claridad conceptual, pensaremos en términos de fotones en lugar de energía o energía luminosa . Cada una de las cuñas en el círculo representa un ángulo igual d Ω, de tamaño arbitrario, y para una superficie lambertiana, el número de fotones por segundo emitidos en cada cuña es proporcional al área de la misma.

La longitud de cada cuña es el producto del diámetro del círculo y cos( θ ). La tasa máxima de emisión de fotones por unidad de ángulo sólido es a lo largo de la normal, y disminuye a cero para θ = 90°. En términos matemáticos, la radiancia a lo largo de la normal es I  fotones/(s·m ² ·sr) y el número de fotones por segundo emitidos en la cuña vertical es I d Ω dA . El número de fotones por segundo emitidos en la cuña en el ángulo θ es I cos( θ ) d Ω dA .

La figura 2 representa lo que ve un observador. El observador situado directamente encima del elemento de área verá la escena a través de una apertura de área dA ₀ y el elemento de área dA subtenderá un ángulo (sólido) de d Ω ₀ , que es una porción del campo de visión angular total del observador de la escena. Dado que el tamaño de la cuña d Ω se eligió arbitrariamente, por conveniencia podemos suponer sin pérdida de generalidad que coincide con el ángulo sólido subtendido por la apertura cuando se "ve" desde el lugar geométrico del elemento de área emisor dA. Por lo tanto, el observador normal registrará la misma emisión de fotones por segundo I d Ω dA derivada anteriormente y medirá una radiancia de

${\displaystyle I_{0}={\frac {I\,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,dA_{0}}}}$ fotones/(s·m ² ·sr).

El observador situado en un ángulo θ con respecto a la normal verá la escena a través de la misma apertura de área dA ₀ (que aún corresponde a una cuña d Ω) y desde esta perspectiva oblicua el elemento de área dA se acorta y subtenderá un ángulo (sólido) de d Ω ₀  cos( θ ). Este observador registrará I cos( θ ) d Ω dA fotones por segundo y, por lo tanto, medirá una radiancia de

${\displaystyle I_{0}={\frac {I\cos(\theta )\,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,\cos(\theta )\,dA_{0}}}={\frac {I\,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,dA_{0}}}}$ fotones/(s·m ² ·sr),

que es lo mismo que el observador normal. En palabras de Tatum, "Así, la radiancia de una superficie radiante lambertiana es independiente del ángulo desde el que se observa. Las superficies lambertianas irradian isotrópicamente. Para que una superficie reflectante sea lambertiana, se requiere que la radiancia sea independiente no solo del ángulo desde el que se observa, sino también del ángulo desde el que se irradia (o ilumina)". ^{[ 5 ]} En palabras de Yeo, "En términos sencillos, el brillo de un reflector lambertiano (o reflector difuso perfecto) permanece constante al observarlo desde diferentes ángulos. Esto se debe a que el cambio en la intensidad con el ángulo (la relación del coseno) se contrarresta con un cambio igual pero opuesto en el área de la superficie proyectada que se observa (también una relación del coseno). Por lo tanto, la superficie lambertiana tendrá el mismo brillo (luminancia o radiancia) independientemente del ángulo desde el que se observe". ^{[ 6 ]}

En general, la intensidad luminosa de un punto en una superficie varía según la dirección; para una superficie lambertiana, esa distribución está definida por la ley del coseno, con la intensidad luminosa máxima en la dirección normal. Por lo tanto, cuando se cumple la suposición lambertiana, podemos calcular el flujo luminoso total ,${\displaystyle F_{\text{total}}}$, desde la intensidad luminosa máxima ,${\displaystyle I_{\max }}$, integrando la ley del coseno : $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{tot}}&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi /2}\cos(\theta )\,I_{\max }\,\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi \\&=2\pi \cdot I_{\max }\int _{0}^{\pi /2}\cos(\theta )\sin(\theta )\,d\theta \\&=2\pi \cdot I_{\max }\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin(2\theta )}{2}}\,d\theta \end{aligned}}}$$ y entonces

${\displaystyle F_{\text{tot}}=\pi \,\mathrm {sr} \cdot I_{\max }}$

dónde${\displaystyle \sin(\theta )}$es el determinante de la matriz jacobiana para la esfera unitaria , y al darse cuenta de que${\displaystyle I_{\max }}$es el flujo luminoso por estereorradián . ^{[ 7 ]} Según Tatum, "Estas relaciones se aplican igualmente al flujo y la intensidad subíndices y al flujo luminoso y la intensidad luminosa". ^{[ 8 ]}

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