La transformación de Landen

La transformación de Landen es una aplicación de los parámetros de una integral elíptica , útil para la evaluación numérica eficiente de funciones elípticas. Fue originalmente obra de John Landen y fue redescubierta independientemente por Carl Friedrich Gauss . ^[1]

La integral elíptica incompleta de primer tipo F es

${\displaystyle F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}},}$

donde es el ángulo modular . La transformación de Landen establece que si , , , son tales que y , entonces ^[2]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha _{0}}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \varphi _{0}}$${\displaystyle \varphi _{1}}$${\displaystyle (1+\sin \alpha _{1})(1+\cos \alpha _{0})=2}$${\displaystyle \tan(\varphi _{1}-\varphi _{0})=\cos \alpha _{0}\tan \varphi _{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\varphi _{0}\setminus \alpha _{0})&=(1+\cos \alpha _{0})^{-1}F(\varphi _{1}\setminus \alpha _{1})\\&={\tfrac {1}{2}}(1+\sin \alpha _{1})F(\varphi _{1}\setminus \alpha _{1}).\end{aligned}}}$

La transformación de Landen puede expresarse de manera similar en términos del módulo elíptico y su complemento . ${\displaystyle k=\sin \alpha }$${\displaystyle k'=\cos \alpha }$

En la formulación de Gauss, el valor de la integral

${\displaystyle I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )+b^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta }$

no cambia si y se reemplazan por sus medias aritmética y geométrica respectivamente, es decir ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle a_{1}={\frac {a+b}{2}},\qquad b_{1}={\sqrt {ab}},}$

${\displaystyle I_{1}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a_{1}^{2}\cos ^{2}(\theta )+b_{1}^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta .}$

Por lo tanto,

${\displaystyle I={\frac {1}{a}}K\left({\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right),}$

${\displaystyle I_{1}={\frac {2}{a+b}}K\left({\frac {a-b}{a+b}}\right).}$

De la transformación de Landen concluimos:

${\displaystyle K\left({\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)={\frac {2a}{a+b}}K\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)}$

y . ${\displaystyle I_{1}=I}$

La transformación puede efectuarse mediante integración por sustitución . Es conveniente expresar primero la integral en forma algebraica mediante una sustitución de , dando ${\displaystyle \theta =\arctan(x/b)}$${\displaystyle d\theta =(\cos ^{2}(\theta )/b)dx}$

${\displaystyle I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )+b^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta =\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}}}\,dx}$

Una sustitución adicional de da el resultado deseado ${\displaystyle x=t+{\sqrt {t^{2}+ab}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}}}\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2{\sqrt {\left(t^{2}+\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\right)(t^{2}+ab)}}}}\,dt\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {\left(t^{2}+\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\right)\left(t^{2}+\left({\sqrt {ab}}\right)^{2}\right)}}}\,dt\end{aligned}}}$

Este último paso se facilita escribiendo el radical como

${\displaystyle {\sqrt {(x^{2}+a^{2})(x^{2}+b^{2})}}=2x{\sqrt {t^{2}+\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}}}$

y lo infinitesimal como

${\displaystyle dx={\frac {x}{\sqrt {t^{2}+ab}}}\,dt}$

de manera que el factor de se reconoce y se cancela entre los dos factores. ${\displaystyle x}$

Si la transformación se repite varias veces, los parámetros y convergen muy rápidamente a un valor común, incluso si inicialmente son de órdenes de magnitud diferentes. El valor límite se denomina media aritmético-geométrica de y , . En el límite, el integrando se convierte en una constante, por lo que la integración es trivial. ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \operatorname {AGM} (a,b)}$

${\displaystyle I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )+b^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta =\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\operatorname {AGM} (a,b)}}\,d\theta ={\frac {\pi }{2\operatorname {AGM} (a,b)}}}$

La integral también puede reconocerse como un múltiplo de la integral elíptica completa de primera especie de Legendre .${\displaystyle b^{2}=a^{2}(1-k^{2})}$

${\displaystyle I={\frac {1}{a}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}\,d\theta ={\frac {1}{a}}F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)={\frac {1}{a}}K(k)}$

Por lo tanto, para cualquier , la media aritmético-geométrica y la integral elíptica completa de primer tipo están relacionadas por ${\displaystyle a}$

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {AGM} (1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}}$

Realizando una transformación inversa (iteración de media aritmético-geométrica inversa), es decir

${\displaystyle a_{-1}=a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\,}$

${\displaystyle b_{-1}=a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\,}$

${\displaystyle \operatorname {AGM} (a,b)=\operatorname {AGM} \left(a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\right)\,}$

La relación puede escribirse como

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {AGM} (1+k,1-k)}}\,}$

que puede resolverse para la AGM de un par de argumentos arbitrarios;

${\displaystyle \operatorname {AGM} (u,v)={\frac {\pi (u+v)}{4K\left({\frac {u-v}{v+u}}\right)}}.}$

• Louis V. King sobre el cálculo numérico directo de funciones elípticas e integrales (Cambridge University Press, 1924)