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Articulo de referencia

fuerza de Lorentz

Fuerza de Lorentz que actúa sobre partículas cargadas que se mueven rápidamente en una cámara de burbujas . Las trayectorias de las cargas positivas y negativas se curvan en dir...

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Fuerza de Lorentz que actúa sobre partículas cargadas que se mueven rápidamente en una cámara de burbujas . Las trayectorias de las cargas positivas y negativas se curvan en direcciones opuestas.

En electromagnetismo , la fuerza de Lorentz es la fuerza que ejercen los campos eléctricos y magnéticos sobre una partícula cargada . Determina cómo se mueven las partículas cargadas en entornos electromagnéticos y subyace a muchos fenómenos físicos, desde el funcionamiento de motores eléctricos y aceleradores de partículas hasta el comportamiento de los plasmas .

La fuerza de Lorentz tiene dos componentes. La fuerza eléctrica actúa en la dirección del campo eléctrico para cargas positivas y en dirección opuesta para cargas negativas, tendiendo a acelerar la partícula en línea recta. La fuerza magnética es perpendicular tanto a la velocidad de la partícula como al campo magnético, y provoca que la partícula se mueva a lo largo de una trayectoria curva, a menudo circular o helicoidal, según la dirección de los campos.

Las variaciones de la ley de fuerza describen la fuerza magnética sobre un conductor por el que circula corriente (a veces llamada fuerza de Laplace ) y la fuerza electromotriz en una espira de alambre que se mueve a través de un campo magnético, tal como lo describe la ley de inducción de Faraday . [ 1 ]

Junto con las ecuaciones de Maxwell , que describen cómo se generan los campos eléctricos y magnéticos mediante cargas y corrientes, la ley de la fuerza de Lorentz constituye la base de la electrodinámica clásica . [ 2 ] [ 3 ] Si bien la ley sigue siendo válida en la relatividad especial , deja de serlo a escalas pequeñas donde los efectos cuánticos cobran importancia. En particular, el espín intrínseco de las partículas da lugar a interacciones adicionales con los campos electromagnéticos que no están contempladas en la fuerza de Lorentz.

Los historiadores sugieren que la ley está implícita en un artículo de James Clerk Maxwell , publicado en 1865. [ 1 ] Hendrik Lorentz llegó a una derivación completa en 1895, [ 4 ] identificando la contribución de la fuerza eléctrica unos años después de que Oliver Heaviside identificara correctamente la contribución de la fuerza magnética. [ 5 ]

Definición y propiedades

Partícula puntual

Fuerza de Lorentz F sobre una partícula cargada (de carga q ) en movimiento (velocidad instantánea v ). El campo E y el campo B varían en el espacio y el tiempo.

La fuerza de Lorentz F que actúa sobre una partícula puntual con carga eléctrica q , que se mueve con velocidad v , debido a un campo eléctrico externo E y un campo magnético B , viene dada por ( definición de cantidades del SI [ a ] ): [ 2 ]

F=q(mi+v×B){\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}

Aquí, × es el producto vectorial , y todas las cantidades en negrita son vectores. En forma de componentes, la fuerza se escribe como: Fincógnita=q(miincógnita+vyBz−vzBy),Fy=q(miy+vzBincógnita−vincógnitaBz),Fz=q(miz+vincógnitaBy−vyBincógnita).{\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=q\left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right),\\[0.5ex]F_{y}&=q\left(E_{y}+v_{z}B_{x}-v_{x}B_{z}\right),\\[0.5ex]F_{z}&=q\left(E_{z}+v_{x}B_{y}-v_{y}B_{x}\right).\end{aligned}}}

En general, los campos eléctricos y magnéticos dependen tanto de la posición como del tiempo. A medida que una partícula cargada se mueve por el espacio, la fuerza que actúa sobre ella en un momento dado depende de su ubicación actual, su velocidad y los valores instantáneos de los campos en esa ubicación. Por lo tanto, la fuerza de Lorentz se puede escribir explícitamente como: F(r(t),r˙(t),t,q)=q[mi(r,t)+r˙(t)×B(r,t)]{\displaystyle \mathbf {F} \left(\mathbf {r} (t),{\dot {\mathbf {r} }}(t),t,q\right)\,=\,q\left[\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+{\dot {\mathbf {r} }}(t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\right]} donde r es el vector de posición de la partícula cargada, t es el tiempo y el punto superior es la derivada temporal.

La fuerza electromagnética total consta de dos partes: la fuerza eléctrica q E , que actúa en la dirección del campo eléctrico y acelera la partícula linealmente, y la fuerza magnética q ( v × B ) , que actúa perpendicularmente tanto a la velocidad como al campo magnético. [ 8 ] Algunas fuentes se refieren a la fuerza de Lorentz como la suma de ambas componentes, mientras que otras utilizan el término para referirse únicamente a la parte magnética. [ 9 ]

La dirección de la fuerza magnética se suele determinar mediante la regla de la mano derecha : si el dedo índice apunta en la dirección de la velocidad y el dedo medio en la dirección del campo magnético, entonces el pulgar apunta en la dirección de la fuerza (para una carga positiva). En un campo magnético uniforme, esto da lugar a trayectorias circulares o helicoidales, conocidas como movimiento ciclotrónico . [ 10 ]

En muchas situaciones prácticas, como el movimiento de electrones o iones en un plasma , el efecto de un campo magnético puede aproximarse como la superposición de dos componentes: un movimiento circular relativamente rápido alrededor de un punto denominado centro guía y una deriva relativamente lenta de este punto. Las velocidades de deriva pueden variar para diferentes especies según sus estados de carga, masas o temperaturas. Estas diferencias pueden generar corrientes eléctricas o separación química .

Si bien la fuerza magnética afecta la dirección del movimiento de una partícula, no realiza trabajo mecánico sobre ella. La tasa a la que se transfiere la energía del campo electromagnético a la partícula viene dada por el producto escalar de la velocidad de la partícula y la fuerza: v⋅F=qv⋅(mi+v×B)=qv⋅mi.{\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {F} =q\mathbf {v} \cdot (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )=q\,\mathbf {v} \cdot \mathbf {E} .}Aquí, el término magnético se anula porque un vector siempre es perpendicular a su producto vectorial con otro vector; el triple producto escalar.v⋅(v×B){\displaystyle \mathbf {v} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}es cero. Por lo tanto, solo el campo eléctrico puede transferir energía hacia o desde una partícula y cambiar su energía cinética . [ 11 ]

Algunos libros de texto utilizan la ley de la fuerza de Lorentz como definición fundamental de los campos eléctrico y magnético. [ 12 ] [ 13 ] Es decir, los campos E y B se definen de forma única en cada punto del espacio y el tiempo por la fuerza hipotética F que experimentaría allí una partícula de prueba con carga q y velocidad v , incluso si no hay carga presente. Esta definición sigue siendo válida incluso para partículas que se aproximan a la velocidad de la luz (es decir, magnitud de v , | v | ≈ c ). [ 14 ] Sin embargo, algunos argumentan que utilizar la ley de la fuerza de Lorentz como definición de los campos eléctrico y magnético no es necesariamente el enfoque más fundamental posible. [ 15 ] [ 16 ]

Distribución continua de carga

Fuerza de Lorentz (por unidad de volumen tridimensional) f sobre una distribución de carga continua ( densidad de carga ρ ) en movimiento. La densidad de corriente tridimensional J corresponde al movimiento del elemento de carga dq en el elemento de volumen dV y varía a lo largo del continuo.

La ley de fuerza de Lorentz también puede expresarse en términos de distribuciones de carga continuas , como las que se encuentran en conductores o plasmas . Para un pequeño elemento de una distribución de carga en movimiento con carga dq{\displaystyle \mathrm {d} q}La fuerza infinitesimal viene dada por: dF=dq(mi+v×B){\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =\mathrm {d} q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)} Dividiendo ambos lados por el volumendV{\displaystyle \mathrm {d} V}del elemento de carga da la densidad de fuerza F=ρ(mi+v×B),{\displaystyle \mathbf {f} =\rho \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right),} dóndeρ{\displaystyle \rho }es la densidad de carga yF{\displaystyle \mathbf {f} }es la fuerza por unidad de volumen. Introduciendo la densidad de corrienteJ=ρv{\textstyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} }, esto se puede reescribir como: [ 17 ]

F=ρmi+J×B{\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} }

La fuerza total es la integral de volumen sobre la distribución de carga: F=∫(ρmi+J×B)dV.{\displaystyle \mathbf {F} =\int \left(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \right)\mathrm {d} V.}

Utilizando las ecuaciones de Maxwell y las identidades del cálculo vectorial , la densidad de fuerza puede reformularse para eliminar la referencia explícita a las densidades de carga y corriente. La densidad de fuerza puede entonces expresarse en términos de los campos electromagnéticos y sus derivadas:F=∇⋅σ−1do2∂S∂t{\displaystyle \mathbf {f} =\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}-{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}} dóndeσ{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}es el tensor de tensiones de Maxwell ,∇⋅{\displaystyle \nabla \cdot }denota la divergencia tensorial ,do{\displaystyle c}es la velocidad de la luz yS{\displaystyle \mathbf {S} }es el vector de Poynting . Esta forma de la ley de fuerza relaciona el flujo de energía en los campos con la fuerza ejercida sobre una distribución de carga. (Véase la formulación covariante del electromagnetismo clásico para más detalles). [ 18 ]

La densidad de potencia correspondiente a la fuerza de Lorentz, la tasa de transferencia de energía al material, viene dada por:J⋅mi.{\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E}.}

Dentro de un material, las densidades totales de carga y corriente se pueden separar en partes libres y ligadas. En términos de densidad de carga libreρF{\displaystyle \rho _{\rm {f}}}, densidad de corriente libre JF{\displaystyle \mathbf {J} _ {\rm {f}}}polarización​PAG{\displaystyle \mathbf {P} }y magnetizaciónMETRO{\displaystyle \mathbf {M} }, la densidad de fuerza se convierte enF=(ρF−∇⋅PAG)mi+(JF+∇×METRO+∂PAG∂t)×B.{\displaystyle \mathbf {f} =\left(\rho _{\rm {f}}-\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\mathbf {E} +\left(\mathbf {J} _{\rm {f}}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\right)\times \mathbf {B}.}Esta forma tiene en cuenta el par aplicado a un imán permanente por el campo magnético. La densidad de potencia asociada es(JF+∇×METRO+∂PAG∂t)⋅mi.{\displaystyle \left(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\right)\cdot \mathbf {E} .}

Formulación en el sistema gaussiano

Las fórmulas mencionadas anteriormente utilizan las convenciones para la definición del campo eléctrico y magnético utilizadas con el SI , que es el más común. Sin embargo, son posibles y se utilizan otras convenciones con la misma física (es decir, fuerzas sobre, por ejemplo, un electrón). En las convenciones utilizadas con las unidades CGS-Gaussianas más antiguas , que son algo más comunes entre algunos físicos teóricos, así como entre los experimentalistas de la materia condensada, se tiene en su lugar F=qGRAMO(miGRAMO+vdo×BGRAMO),{\displaystyle \mathbf {F} =q_{\mathrm {G} }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {G} }+{\frac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {B} _{\mathrm {G} }\right),} donde c es la velocidad de la luz . Aunque esta ecuación parece ligeramente diferente, es equivalente, ya que se tienen las siguientes relaciones: [ a ]qGRAMO=qSI4πε0,miGRAMO=4πε0miSI,BGRAMO=4π/μ0BSI,do=1ε0μ0.{\displaystyle q_{\mathrm {G} }={\frac {q_{\mathrm {SI} }}{\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}},\quad \mathbf {E} _{\mathrm {G} }={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}\,\mathbf {E} _{\mathrm {SI} },\quad \mathbf {B} _{\mathrm {G} }={\sqrt {4\pi /\mu _{0}}}\,{\mathbf {B} _{\mathrm {SI} }},\quad c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}.} donde ε 0 es la permitividad del vacío y μ 0 la permeabilidad del vacío . En la práctica, se omiten los subíndices "G" y "SI", y la convención (y unidad) utilizada debe determinarse del contexto.

Fuerza sobre un cable conductor de corriente

Regla de la mano derecha para la fuerza sobre un conductor por el que circula corriente en un campo magnético B

Cuando un conductor que transporta una corriente eléctrica constante se coloca en un campo magnético externo, cada una de las cargas móviles en el conductor experimenta la fuerza de Lorentz. Juntas, estas fuerzas producen una fuerza macroscópica neta sobre el conductor. Para un conductor recto y estacionario en un campo magnético uniforme, esta fuerza viene dada por: [ 19 ]F=Iℓ×B,{\displaystyle \mathbf {F} =I{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} ,} donde I es la corriente y ℓ es un vector cuya magnitud es la longitud del cable y cuya dirección es a lo largo del cable, alineada con la dirección de la corriente.

La deducción de esta ecuación es sencilla. Consideremos un conductor de longitud ℓ , sección transversal A y carga q debido a una corriente eléctrica I. Si este conductor se coloca en un campo magnético de magnitud B que forma un ángulo θ con la velocidad de las cargas en el conductor, la fuerza ejercida sobre una sola carga q es:

Fq=qvBpecado⁡θ,{\displaystyle F_{q}=qvB\sin \theta ,}

entonces, para N cargas dondenorte=norteℓA,{\displaystyle N=n\ell A,} (donde n es la densidad de cargas en el cable) la fuerza ejercida sobre el conductor es

F=norteFq=qvBnorteℓApecado⁡θ=BIℓpecado⁡θ,{\displaystyle F=NF_{q}=qvBn\ell A\sin \theta =BI\ell \sin \theta,} donde la corriente, I = nqvA . Esto es lo mismo que la ecuación anterior usando la definición del producto cruzado.

Si el cable no es recto o el campo magnético no es uniforme, la fuerza total se puede calcular aplicando la fórmula a cada segmento infinitesimal del cable.dℓ{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}, luego sumando todas estas fuerzas mediante integración . En este caso, la fuerza neta sobre un cable estacionario que transporta una corriente constante es [ 20 ].

F=I∫(dℓ×B).{\displaystyle \mathbf {F} =I\int (\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} ).}

Una aplicación de esto es la ley de fuerza de Ampère , que describe la atracción o repulsión entre dos conductores por los que circula corriente. Cada conductor genera un campo magnético, descrito por la ley de Biot-Savart , que ejerce una fuerza de Lorentz sobre el otro conductor. Si las corrientes fluyen en la misma dirección, los conductores se atraen; si fluyen en direcciones opuestas, se repelen. Esta interacción sirvió de base para la definición anterior del amperio , como la corriente constante que produce una fuerza de 2 × 10⁻⁷ newtons por metro entre dos conductores rectos y paralelos separados por un metro. [ 21 ]

Otra aplicación es un motor de inducción . La corriente alterna del devanado del estator genera un campo magnético móvil que induce una corriente en el rotor. La fuerza de Lorentz subsiguienteF{\displaystyle \mathbf {F} }Al actuar sobre el rotor se crea un par, lo que hace girar el motor. Por lo tanto, aunque la ley de la fuerza de Lorentz no se aplica cuando el campo magnéticoB{\displaystyle \mathbf {B} }es generado por la corrienteI{\displaystyle I}, sí se aplica cuando el actualI{\displaystyle I}es inducido por el movimiento del campo magnéticoB{\displaystyle \mathbf {B} }.

Inducción electromagnética

Fuerza electromotriz de movimiento, inducida al mover un conductor a través de un campo magnético.
Fuerza electromotriz (FEM) de un transformador, inducida por un campo magnético variable.

La fuerza de Lorentz que actúa sobre las cargas eléctricas en un circuito conductor puede producir una corriente al empujar las cargas a través del circuito. Este efecto es el mecanismo fundamental que subyace a los motores y generadores de inducción . Se describe en términos de fuerza electromotriz (fem), una magnitud que desempeña un papel central en la teoría de la inducción electromagnética . En un circuito simple con resistenciaR{\displaystyle R}, un campo electromagnéticomi{\displaystyle {\mathcal {E}}}da lugar a una corrienteI{\displaystyle I}Según la ley de Ohmmi=IR{\displaystyle {\mathcal {E}}=IR}. [ 22 ]

Ambos componentes de la fuerza de Lorentz —el eléctrico y el magnético— pueden contribuir a la fem en un circuito, pero a través de mecanismos diferentes. En ambos casos, la fem inducida se describe mediante la regla de flujo de Faraday , que establece que la fem alrededor de un bucle cerrado es igual a la tasa de cambio negativa del flujo magnético a través del bucle: [ 23 ]mi=−dΦBdt.{\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}.}El flujo magnéticoΦB{\displaystyle \Phi _{B}}se define como la integral de superficie del campo magnéticoB{\displaystyle \mathbf {B} }sobre una superficieΣ(t){\displaystyle \mathbf {\Sigma } (t)}delimitado por el bucle: [ 23 ]

ΦB=∫ΣB⋅dS{\displaystyle \Phi _{B}=\int _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S} }

Una varilla conductora se mueve a través de un campo magnético uniforme. El componente magnético de la fuerza de Lorentz empuja los electrones hacia un extremo, lo que provoca la separación de cargas.

El flujo puede cambiar ya sea porque el bucle se mueve o se deforma con el tiempo, o porque el campo mismo varía en el tiempo. Estas dos posibilidades corresponden a los dos mecanismos descritos por la regla de flujo: [ 23 ]

  • Fuerza electromotriz de movimiento : El circuito se mueve a través de un campo magnético estático pero no uniforme.
  • Fuerza electromotriz del transformador : El circuito permanece estacionario mientras el campo magnético cambia con el tiempo.

El signo de la fem inducida viene dado por la ley de Lenz , que establece que la corriente inducida produce un campo magnético que se opone al cambio en el flujo original. [ 23 ]

La regla de flujo se puede derivar de la ecuación de Maxwell-Faraday y la ley de fuerza de Lorentz. [ 22 ] En algunos casos, especialmente en sistemas extendidos, la regla de flujo puede ser difícil de aplicar directamente o puede no proporcionar una descripción completa, y debe utilizarse la ley de fuerza de Lorentz completa. (Véase la inaplicabilidad de la ley de Faraday ). [ 24 ]

fuerza electromotriz de movimiento

El mecanismo básico de la fuerza electromotriz inducida por movimiento se ilustra con una varilla conductora que se mueve a través de un campo magnético perpendicular tanto a la varilla como a su dirección de movimiento. Debido al movimiento en el campo magnético, los electrones móviles del conductor experimentan la componente magnética ( q v × B ) de la fuerza de Lorentz que los impulsa a lo largo de la varilla. Esto produce una separación de carga entre los dos extremos de la varilla. En estado estacionario, el campo eléctrico generado por la carga acumulada equilibra la fuerza magnética. [ 25 ]

La regla del flujo en tres casos: (a) fuerza electromotriz de movimiento, con circuito en movimiento y campo magnético estacionario; (b) circuito estacionario, con la fuente del campo magnético en movimiento; (c) intensidad del campo magnético dependiente del tiempo.

Si la varilla forma parte de un circuito cerrado conductor que se mueve a través de un campo magnético no uniforme, el mismo efecto puede generar una corriente en el circuito. Por ejemplo, supongamos que el campo magnético está confinado a una región limitada del espacio y que el circuito se encuentra inicialmente fuera de esta región. A medida que se adentra en el campo, el área del circuito que encierra el flujo magnético aumenta y se induce una fuerza electromotriz (fem). Desde la perspectiva de la fuerza de Lorentz, esto se debe a que el campo ejerce una fuerza magnética sobre los portadores de carga en las partes del circuito que entran en la región. Una vez que todo el circuito se encuentra en un campo magnético uniforme y continúa a velocidad constante, el flujo total encerrado permanece constante y la fem desaparece. En esta situación, las fuerzas magnéticas en lados opuestos del circuito se anulan.

Fuerza electromotriz del transformador

Un caso complementario es la fuerza electromotriz (FEM) de un transformador, que se produce cuando la espira conductora permanece fija, pero el flujo magnético que la atraviesa cambia debido a un campo magnético variable en el tiempo. Esto puede ocurrir de dos maneras: o bien la fuente del campo magnético se desplaza, alterando la distribución del campo a través de la espira fija, o bien la intensidad del campo magnético cambia con el tiempo en una ubicación fija, como en el caso de un electroimán alimentado.

En ambos casos, no actúa ninguna fuerza magnética sobre las cargas, y la fem se debe enteramente al componente eléctrico ( qE ) de la fuerza de Lorentz. Según la ecuación de Maxwell-Faraday, un campo magnético variable en el tiempo produce un campo eléctrico circulante, que impulsa la corriente en el circuito. Este fenómeno es la base del funcionamiento de máquinas eléctricas como los generadores síncronos . [ 26 ] El campo eléctrico inducido de esta manera no es conservativo , lo que significa que su integral de línea alrededor de un circuito cerrado no es cero. [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]

Relatividad

Desde la perspectiva de la relatividad especial , la distinción entre la fuerza electromotriz (FEM) de movimiento y la de transformación depende del sistema de referencia. En el sistema de referencia del laboratorio, una espira móvil en un campo estático genera FEM mediante fuerzas magnéticas. Pero en un sistema de referencia que se mueve con la espira, el campo magnético parece depender del tiempo, y la FEM surge de un campo eléctrico inducido. La teoría especial de la relatividad de Einstein se motivó en parte por el deseo de comprender mejor esta relación entre ambos efectos. [ 30 ] En términos modernos, los campos eléctrico y magnético son componentes diferentes de un único tensor de campo electromagnético , y una transformación entre sistemas de referencia inerciales los combina. [ 31 ]

Historia

Teoría de Lorentz sobre los electrones. Fórmulas para la fuerza de Lorentz (I, fuerza ponderomotriz) y las ecuaciones de Maxwell para la divergencia del campo eléctrico E (II) y el campo magnético B (III), La théorie electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants , 1892, pág. 451. V es la velocidad de la luz.

Los primeros intentos de describir cuantitativamente la fuerza electromagnética se realizaron a mediados del siglo XVIII. Johann Tobias Mayer y otros propusieron en 1760 [ 32 ] que la fuerza sobre polos magnéticos y sobre objetos cargados eléctricamente, por Henry Cavendish en 1762 [ 33 ] , obedecía una ley del inverso del cuadrado . Sin embargo, en ambos casos la prueba experimental no fue ni completa ni concluyente. No fue hasta 1784 cuando Charles-Augustin de Coulomb , utilizando una balanza de torsión , pudo demostrar definitivamente mediante un experimento que esto era cierto. [ 34 ] Poco después del descubrimiento en 1820 por Hans Christian Ørsted de que una aguja magnética es sometida a una corriente voltaica, André-Marie Ampère logró, ese mismo año, idear mediante experimentación la fórmula para la dependencia angular de la fuerza entre dos elementos de corriente. [ 35 ] [ 36 ] En todas estas descripciones, la fuerza siempre se describió en términos de las propiedades de la materia involucrada y las distancias entre dos masas o cargas en lugar de en términos de campos eléctricos y magnéticos. [ 37 ]

El concepto moderno de campos eléctricos y magnéticos surgió por primera vez en las teorías de Michael Faraday , particularmente en su idea de líneas de fuerza , que más tarde Lord Kelvin y James Clerk Maxwell describieron matemáticamente en su totalidad . [ 38 ] Desde una perspectiva moderna, es posible identificar en la formulación de Maxwell de 1865 de sus ecuaciones de campo una forma de la ecuación de la fuerza de Lorentz en relación con las corrientes eléctricas, [ 1 ] [ 39 ] aunque en la época de Maxwell no era evidente cómo sus ecuaciones se relacionaban con las fuerzas sobre objetos cargados en movimiento. JJ Thomson fue el primero en intentar derivar de las ecuaciones de campo de Maxwell las fuerzas electromagnéticas sobre un objeto cargado en movimiento en términos de las propiedades del objeto y los campos externos. Interesado en determinar el comportamiento electromagnético de las partículas cargadas en los rayos catódicos , Thomson publicó un artículo en 1881 en el que dio la fuerza sobre las partículas debido a un campo magnético externo. Sin embargo, debido a algunos errores de cálculo y una descripción incompleta de la corriente de desplazamiento , Thomson incluyó un factor de escala incorrecto de un medio en la fórmula, llegando a [ 5 ] [ 40 ].F=q2v×B.{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {q}{2}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}Oliver Heaviside inventó la notación vectorial moderna y la aplicó a las ecuaciones de campo de Maxwell; también (en 1885 y 1889) corrigió los errores de la derivación de Thomson y llegó a la forma correcta de la fuerza magnética sobre un objeto cargado en movimiento. [ 5 ] [ 41 ] [ 42 ] Finalmente, en 1895, [ 4 ] [ 43 ] Hendrik Lorentz derivó la forma moderna de la fórmula para la fuerza electromagnética que incluye las contribuciones a la fuerza total de los campos eléctrico y magnético. Lorentz comenzó abandonando las descripciones maxwellianas del éter y la conducción. En cambio, Lorentz hizo una distinción entre la materia y el éter luminífero y buscó aplicar las ecuaciones de Maxwell a escala microscópica. Usando la versión de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell para un éter estacionario y aplicando la mecánica lagrangiana (ver más abajo), Lorentz llegó a la forma correcta y completa de la ley de fuerza que ahora lleva su nombre. [ 44 ] [ 45 ]

Fuerza de Lorentz en términos de potenciales

Los campos E y B pueden ser reemplazados por el potencial vectorial magnético A y el potencial electrostático ( escalar ) ϕ por mi=−∇ϕ−∂A∂tB=∇×A{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\[1ex]\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}} donde ∇ es el gradiente, ∇⋅ es la divergencia y ∇× es el rotacional .

La fuerza se convierte F=q[−∇ϕ−∂A∂t+v×(∇×A)].{\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right].}

Utilizando una identidad para el triple producto, esto se puede reescribir como F=q[−∇ϕ−∂A∂t+∇(v⋅A)−(v⋅∇)A].{\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\nabla \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)-\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \right].}

(Nótese que las coordenadas y los componentes de velocidad deben tratarse como variables independientes, por lo que el operador del actúa solo sobreA{\displaystyle \mathbf {A} }, no env{\displaystyle \mathbf {v} }; por lo tanto, no es necesario utilizar la notación de subíndices de Feynman en la ecuación anterior.) Usando la regla de la cadena, la derivada convectiva deA{\displaystyle \mathbf {A} }es: [ 46 ]dAdt=∂A∂t+(v⋅∇)A{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A} } de modo que la expresión anterior se convierte en: F=q[−∇(ϕ−v⋅A)−dAdt].{\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla (\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\right].}

Con v = ẋ y ddt[∂∂incógnita˙(ϕ−incógnita˙⋅A)]=−dAdt,{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}\left(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} \right)\right]=-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}},} podemos poner la ecuación en la forma conveniente de Euler-Lagrange [ 47 ]

F=q[−∇incógnita(ϕ−incógnita˙⋅A)+ddt∇incógnita˙(ϕ−incógnita˙⋅A)]{\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla _{\mathbf {x} }(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\nabla _{\dot {\mathbf {x} }}(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )\right]}

dónde∇incógnita=incógnita^∂∂incógnita+y^∂∂y+z^∂∂z{\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial z}}}y∇incógnita˙=incógnita^∂∂incógnita˙+y^∂∂y˙+z^∂∂z˙.{\displaystyle \nabla _{\dot {\mathbf {x} }}={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {x}}}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {y}}}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {z}}}}.}

Fuerza de Lorentz y mecánica analítica

El lagrangiano para una partícula cargada de masa m y carga q en un campo electromagnético describe de forma equivalente la dinámica de la partícula en términos de su energía , en lugar de la fuerza ejercida sobre ella. La expresión clásica viene dada por: [ 47 ]L=metro2r˙⋅r˙+qA⋅r˙−qϕ{\displaystyle L={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi } donde A y ϕ son los campos potenciales como se indicó anteriormente. La cantidadV=q(ϕ−A⋅r˙){\displaystyle V=q(\phi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} )}puede identificarse como una energía potencial generalizada dependiente de la velocidad y, en consecuencia,F{\displaystyle \mathbf {F} }como una fuerza no conservativa . [ 48 ] Usando el lagrangiano, se puede obtener nuevamente la ecuación para la fuerza de Lorentz dada anteriormente.

El hamiltoniano se puede derivar del lagrangiano mediante una transformación de Legendre . El momento canónico es pagi=∂L∂r˙i=metror˙i+qAi(r).{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}_{i}}}=m{\dot {r}}_{i}+qA_{i}(\mathbf {r} ).} Aplicando la transformación de Legendre se obtiene [ 49 ]H=r˙⋅pag−L=[pag−qA(r)]22metro+qϕ.{\displaystyle H={\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} -L={\frac {[\mathbf {p} -q\mathbf {A} (\mathbf {r} )]^{2}}{2m}}+q\phi .}Este hamiltoniano clásico se generaliza directamente a la mecánica cuántica , dondepag{\displaystyle \mathbf {p} }yr{\displaystyle \mathbf {r} }convertirse en operadores que no se desplazan diariamente.

Derivación de la fuerza de Lorentz a partir del lagrangiano clásico (unidades del SI)

Para un campo A , una partícula que se mueve con velocidad v = ṙ tiene momento potencialqA(r,t){\displaystyle q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}, por lo que su energía potencial esqA(r,t)⋅r˙{\displaystyle q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {\dot {r}} }Para un campo ϕ , la energía potencial de la partícula esqϕ(r,t){\displaystyle q\phi (\mathbf {r} ,t)}.

La energía potencial total es entonces: V=qϕ−qA⋅r˙{\displaystyle V=q\phi -q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} } y la energía cinética es: T=metro2r˙⋅r˙{\displaystyle T={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} } de ahí el lagrangiano: L=T−V=metro2r˙⋅r˙+qA⋅r˙−qϕ=metro2(incógnita˙2+y˙2+z˙2)+q(incógnita˙Aincógnita+y˙Ay+z˙Az)−qϕ{\displaystyle {\begin{aligned}L&=T-V\\[1ex]&={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi \\[1ex]&={\frac {m}{2}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)+q\left({\dot {x}}A_{x}+{\dot {y}}A_{y}+{\dot {z}}A_{z}\right)-q\phi \end{aligned}}}

Las ecuaciones de Lagrange son ddt∂L∂incógnita˙=∂L∂incógnita{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}}} (lo mismo para y y z ). Entonces, calculando las derivadas parciales: ddt∂L∂incógnita˙=metroincógnita¨+qdAincógnitadt=metroincógnita¨+q[∂Aincógnita∂t+∂Aincógnita∂incógnitadincógnitadt+∂Aincógnita∂ydydt+∂Aincógnita∂zdzdt]=metroincógnita¨+q[∂Aincógnita∂t+∂Aincógnita∂incógnitaincógnita˙+∂Aincógnita∂yy˙+∂Aincógnita∂zz˙]{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}&=m{\ddot {x}}+q{\frac {\mathrm {d} A_{x}}{\mathrm {d} t}}\\&=m{\ddot {x}}+q\left[{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}{\frac {dz}{dt}}\right]\\[1ex]&=m{\ddot {x}}+q\left[{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}{\dot {z}}\right]\\\end{aligned}}}∂L∂incógnita=−q∂ϕ∂incógnita+q(∂Aincógnita∂incógnitaincógnita˙+∂Ay∂incógnitay˙+∂Az∂incógnitaz˙){\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=-q{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}{\dot {z}}\right)} equiparar y simplificar: metroincógnita¨+q(∂Aincógnita∂t+∂Aincógnita∂incógnitaincógnita˙+∂Aincógnita∂yy˙+∂Aincógnita∂zz˙)=−q∂ϕ∂incógnita+q(∂Aincógnita∂incógnitaincógnita˙+∂Ay∂incógnitay˙+∂Az∂incógnitaz˙){\displaystyle m{\ddot {x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}{\dot {z}}\right)=-q{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}{\dot {z}}\right)}Fincógnita=−q(∂ϕ∂incógnita+∂Aincógnita∂t)+q[y˙(∂Ay∂incógnita−∂Aincógnita∂y)+z˙(∂Az∂incógnita−∂Aincógnita∂z)]=qmiincógnita+q[y˙(∇×A)z−z˙(∇×A)y]=qmiincógnita+q[r˙×(∇×A)]incógnita=qmiincógnita+q(r˙×B)incógnita{\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=-q\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}\right)+q\left[{\dot {y}}\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)+{\dot {z}}\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)\right]\\[1ex]&=qE_{x}+q[{\dot {y}}(\nabla \times \mathbf {A} )_{z}-{\dot {z}}(\nabla \times \mathbf {A} )_{y}]\\[1ex]&=qE_{x}+q[\mathbf {\dot {r}} \times (\nabla \times \mathbf {A} )]_{x}\\[1ex]&=qE_{x}+q(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {B} )_{x}\end{aligned}}} y de forma similar para las direcciones y y z . Por lo tanto, la ecuación de fuerza es: F=q(mi+r˙×B){\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {B} )}

El lagrangiano relativista es L=−metrodo21−(r˙do)2+qA(r)⋅r˙−qϕ(r){\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}+q\mathbf {A} (\mathbf {r} )\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q\phi (\mathbf {r} )}

La acción es la longitud de arco relativista de la trayectoria de la partícula en el espaciotiempo , menos la contribución de la energía potencial, más una contribución adicional que, con la mecánica cuántica , puede realizarse como una fase obtenida por una partícula cargada que se mueve a lo largo de un potencial vectorial.

Derivación de la fuerza de Lorentz a partir del lagrangiano relativista (unidades del SI)

Las ecuaciones de movimiento derivadas al extremizar la acción (véase el cálculo matricial para la notación): dPAGdt=∂L∂r=q∂A∂r⋅r˙−q∂ϕ∂r{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {P} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}=q{\partial \mathbf {A} \over \partial \mathbf {r} }\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q{\partial \phi \over \partial \mathbf {r} }}PAG−qA=metror˙1−(r˙do)2{\displaystyle \mathbf {P} -q\mathbf {A} ={\frac {m{\dot {\mathbf {r} }}}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}}} son las mismas que las ecuaciones de movimiento de Hamilton : drdt=∂∂pag((PAG−qA)2+(metrodo2)2+qϕ){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\left({\sqrt {(\mathbf {P} -q\mathbf {A} )^{2}+(mc^{2})^{2}}}+q\phi \right)}dpagdt=−∂∂r((PAG−qA)2+(metrodo2)2+qϕ){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\left({\sqrt {(\mathbf {P} -q\mathbf {A} )^{2}+(mc^{2})^{2}}}+q\phi \right)} ambas son equivalentes a la forma no canónica: ddtmetror˙1−(r˙do)2=q(mi+r˙×B).{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{m{\dot {\mathbf {r} }} \over {\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}}=q\left(\mathbf {E} +{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {B} \right).} Esta fórmula es la fuerza de Lorentz, que representa la velocidad a la que el campo electromagnético añade momento relativista a la partícula.

Forma relativista de la fuerza de Lorentz

Forma covariante de la fuerza de Lorentz

tensor de campo

Utilizando la signatura métrica (1, −1, −1, −1) , la fuerza de Lorentz para una carga q se puede escribir en forma covariante : [ 50 ]

dpagαdτ=qFαβUβ{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{\alpha }}{\mathrm {d} \tau }}=qF^{\alpha \beta }U_{\beta }}

donde p α es el cuadrimomento , definido como pagα=(pag0,pag1,pag2,pag3)=(γmetrodo,pagincógnita,pagy,pagz),{\displaystyle p^{\alpha }=\left(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right)=\left(\gamma mc,p_{x},p_{y},p_{z}\right),}τ el tiempo propio de la partícula, F αβ el tensor electromagnético contravarianteFαβ=(0−miincógnita/do−miy/do−miz/domiincógnita/do0−BzBymiy/doBz0−Bincógnitamiz/do−ByBincógnita0){\displaystyle F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}} y U es la cuadrivelocidad covariante de la partícula, definida como: Uβ=(U0,U1,U2,U3)=γ(do,−vincógnita,−vy,−vz),{\displaystyle U_{\beta }=\left(U_{0},U_{1},U_{2},U_{3}\right)=\gamma \left(c,-v_{x},-v_{y},-v_{z}\right),} en el cual γ(v)=11−v2do2=11−vincógnita2+vy2+vz2do2{\displaystyle \gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}{c^{2}}}}}}} es el factor de Lorentz .

Los campos se transforman a un sistema de referencia que se mueve con velocidad relativa constante mediante: F′μν=ΛμαΛνβFαβ,{\displaystyle F'^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }F^{\alpha \beta }\,,} donde Λ μ α es el tensor de transformación de Lorentz .

Traducción a notación vectorial

El componente α = 1 ( componente x ) de la fuerza es dpag1dτ=qUβF1β=q(U0F10+U1F11+U2F12+U3F13).{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=qU_{\beta }F^{1\beta }=q\left(U_{0}F^{10}+U_{1}F^{11}+U_{2}F^{12}+U_{3}F^{13}\right).}

Sustituyendo los componentes del tensor electromagnético covariante F se obtiene dpag1dτ=q[U0(miincógnitado)+U2(−Bz)+U3(By)].{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=q\left[U_{0}\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+U_{2}(-B_{z})+U_{3}(B_{y})\right].}

Utilizando los componentes de la cuadrivelocidad covariante se obtienen dpag1dτ=qγ[do(miincógnitado)+(−vy)(−Bz)+(−vz)(By)]=qγ(miincógnita+vyBz−vzBy)=qγ[miincógnita+(v×B)incógnita].{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}&=q\gamma \left[c\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+(-v_{y})(-B_{z})+(-v_{z})(B_{y})\right]\\[1ex]&=q\gamma \left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)=q\gamma \left[E_{x}+\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)_{x}\right]\,.\end{aligned}}}

El cálculo para α = 2, 3 (componentes de fuerza en las direcciones y y z ) arroja resultados similares, por lo que se combinan las tres ecuaciones en una sola: dpagdτ=qγ(mi+v×B),{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} \tau }}=q\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right),} y dado que los diferenciales en el tiempo de coordenadas dt y el tiempo propio dτ están relacionados por el factor de Lorentz, dt=γ(v)dτ,{\displaystyle dt=\gamma (v)\,d\tau ,} esto da, dpagdt=q(mi+v×B).{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).}

Esta es precisamente la ley de la fuerza de Lorentz, sin embargo, p es la expresión relativista, pag=γ(v)metro0v.{\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (v)m_{0}\mathbf {v} \,.}

Fuerza de Lorentz en el álgebra espaciotemporal (STA)

Los campos eléctricos y magnéticos dependen de la velocidad de un observador , por lo que la forma relativista de la ley de la fuerza de Lorentz se puede representar mejor partiendo de una expresión independiente de las coordenadas para los campos electromagnéticos y magnéticos.F{\displaystyle {\mathcal {F}}}y una dirección temporal arbitraria,γ0{\displaystyle \gamma _{0}}Esto se puede resolver mediante el álgebra del espacio-tiempo (o el álgebra geométrica del espacio-tiempo), un tipo de álgebra de Clifford definida en un espacio pseudo-euclidiano , [ 51 ] como mi=(F⋅γ0)γ0{\displaystyle \mathbf {E} =\left({\mathcal {F}}\cdot \gamma _{0}\right)\gamma _{0}} y iB=(F∧γ0)γ0{\displaystyle i\mathbf {B} =\left({\mathcal {F}}\wedge \gamma _{0}\right)\gamma _{0}}F{\displaystyle {\mathcal {F}}}es un bivector espaciotemporal (un segmento de plano orientado, al igual que un vector es un segmento de línea orientado ), que tiene seis grados de libertad correspondientes a transformaciones (rotaciones en planos espaciotemporales) y rotaciones (rotaciones en planos espacio-espacio). El producto escalar con el vectorγ0{\displaystyle \gamma _{0}}extrae un vector (en el álgebra espacial) de la parte traslacional, mientras que el producto cuña crea un trivector (en el álgebra espacial) que es dual a un vector que es el vector de campo magnético usual. La velocidad relativista viene dada por los cambios (de tipo temporal) en un vector de posición-tiempo.v=incógnita˙{\displaystyle v={\dot {x}}}, dónde v2=1,{\displaystyle v^{2}=1,} (lo que muestra nuestra elección de la métrica) y la velocidad es v=dov∧γ0/(v⋅γ0).{\displaystyle \mathbf {v} =cv\wedge \gamma _{0}/(v\cdot \gamma _{0}).}

La forma adecuada de la ley de fuerza de Lorentz (el término "invariante" es inadecuado porque no se ha definido ninguna transformación) es simplemente

F=qF⋅v{\displaystyle F=q{\mathcal {F}}\cdot v}

Nótese que el orden es importante porque entre un bivector y un vector el producto escalar es antisimétrico. Al dividir el espaciotiempo como se muestra, se puede obtener la velocidad y los campos como se indicó anteriormente, lo que da como resultado la expresión habitual.

fuerza de Lorentz en la relatividad general

En la teoría general de la relatividad, la ecuación de movimiento para una partícula con masametro{\displaystyle m}y cobrarmi{\displaystyle e}, moviéndose en un espacio con tensor métricogramoab{\displaystyle g_{ab}}y campo electromagnéticoFab{\displaystyle F_{ab}}, se da como

metrodtúdods−metro12gramoab,dotúatúb=miFdobtúb,{\displaystyle m{\frac {du_{c}}{ds}}-m{\frac {1}{2}}g_{ab,c}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b},}

dóndetúa=dincógnitaa/ds{\displaystyle u^{a}=dx^{a}/ds}(dincógnitaa{\displaystyle dx^{a}}se toma a lo largo de la trayectoria),gramoab,do=∂gramoab/∂incógnitado{\displaystyle g_{ab,c}=\partial g_{ab}/\partial x^{c}}, yds2=gramoabdincógnitaadincógnitab{\displaystyle ds^{2}=g_{ab}dx^{a}dx^{b}}.

La ecuación también se puede escribir como

metrodtúdods−metroΓabdotúatúb=miFdobtúb,{\displaystyle m{\frac {du_{c}}{ds}}-m\Gamma _{abc}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b},}

dóndeΓabdo{\displaystyle \Gamma _{abc}}es el símbolo de Christoffel (de la conexión métrica sin torsión en la relatividad general), o como

metroDtúdods=miFdobtúb,{\displaystyle m{\frac {Du_{c}}{ds}}=eF_{cb}u^{b},}

dóndeD{\displaystyle D}es la diferencial covariante en la relatividad general.

Mecánica cuántica

En mecánica cuántica , las partículas se describen mediante funciones de onda cuya evolución se rige por la ecuación de Schrödinger . Si bien esta formulación no involucra fuerzas explícitamente, extiende el marco de la mecánica hamiltoniana al incorporar interacciones con campos electromagnéticos a través de términos potenciales en el hamiltoniano . Para una partícula no relativista de masametro{\displaystyle m}y cobrarq{\displaystyle q}, el hamiltoniano toma la forma: H^=12metro[pag^−qA(r,t)]2+qΦ(r,t),{\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[{\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\right]^{2}+q\Phi (\mathbf {r} ,t),} Esta expresión es una generalización directa del hamiltoniano clásico que conduce a la ley de la fuerza de Lorentz. La diferencia clave es que en mecánica cuántica, la posiciónr{\displaystyle \mathbf {r} }y el impulsopag^{\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}son operadores que no conmutan . Como resultado, la dinámica cuántica incorpora un comportamiento fundamentalmente diferente, como la interferencia de ondas y la cuantización. [ 52 ]

Configuración de Aharonov-Bohm en la que el campo magnético se confina a una región a la que no acceden los electrones. Sin embargo, el patrón de interferencia en la pantalla se ve afectado por el flujo magnético que atraviesa la región central.

A diferencia de la física clásica, donde solo los campos eléctricos y magnéticos influyen en el movimiento de las partículas, la mecánica cuántica permite que los potenciales electromagnéticos produzcan efectos observables. Esto se ejemplifica con el efecto Aharonov-Bohm , en el que una partícula cargada atraviesa una región con campos eléctricos y magnéticos nulos, pero rodea un flujo magnético confinado a un área inaccesible. Aunque la fuerza de Lorentz clásica es cero a lo largo de la trayectoria de la partícula, el patrón de interferencia observado en una pantalla cambia según el flujo magnético encerrado, lo que revela el significado físico del potencial vectorial en la mecánica cuántica. [ 53 ]

No obstante, la ley de fuerza de Lorentz clásica emerge como una aproximación a la dinámica cuántica: según el teorema de Ehrenfest , el valor esperado del operador de momento evoluciona de acuerdo con una ecuación que se asemeja a la ley de fuerza de Lorentz clásica. Incluso en la configuración de Aharonov-Bohm, el movimiento promedio de un paquete de ondas sigue la trayectoria clásica. [ 54 ]

Las partículas cuánticas, como los electrones, también poseen espín intrínseco , lo que introduce interacciones electromagnéticas adicionales más allá de las descritas por la fuerza de Lorentz clásica. En el límite no relativista, esto se describe mediante la ecuación de Pauli , que incluye un término de acoplamiento espín-campo magnético: H^Pauli=12metro[pag^−qA]2+qΦ+qℏ2metroσ⋅B,{\displaystyle {\hat {H}}_{\text{Pauli}}={\frac {1}{2m}}\left[{\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} \right]^{2}+q\Phi +{\frac {q\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} ,} dóndeσ{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}son las matrices de Pauli . Este término conduce a fuerzas dependientes del espín ausentes en la teoría clásica. Un tratamiento relativista completo viene dado por la ecuación de Dirac , que incorpora interacciones de espín y electromagnéticas a través de un acoplamiento mínimo, y predice correctamente características como la relación giromagnética del electrón . [ 55 ]

Aplicaciones

En muchas aplicaciones prácticas, la fuerza de Lorentz resulta insuficiente para describir con precisión el comportamiento colectivo de las partículas cargadas, tanto en la práctica como a nivel fundamental. Los sistemas reales involucran numerosas partículas que interactúan entre sí y que, además, generan sus propios campos E y B. Para tener en cuenta estos efectos colectivos —como corrientes, flujos y plasmas— se requieren ecuaciones más complejas, como la ecuación de Boltzmann , la ecuación de Fokker-Planck o las ecuaciones de Navier-Stokes . Estos modelos van más allá de la dinámica de partículas individuales, incorporando interacciones entre partículas y la generación de campos autoconsistentes, y son fundamentales para campos como la magnetohidrodinámica , la electrohidrodinámica y la física de plasmas , así como para la comprensión de fenómenos astrofísicos y superconductores .

La fuerza de Lorentz se produce en muchos dispositivos, entre ellos:

En su manifestación como fuerza de Laplace sobre una corriente eléctrica en un conductor, esta fuerza se presenta en muchos dispositivos, entre ellos:

Véase también

Notas

Observaciones

  1. 1 2 En unidades del SI, B se mide en teslas (símbolo: T). En unidades cgs gaussianas , B se mide en gauss (símbolo: G). [ 6 ] H se mide en amperios por metro (A/m) en unidades del SI y en oersteds (Oe) en unidades cgs. [ 7 ]

Citas

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