Transformación de Laplace

Cuando se habla de la transformada de Laplace sin especificar si se refiere a ella, generalmente se alude a la transformada unilateral o de un solo lado. La transformada de Laplace también puede definirse como la transformada de Laplace bilateral , extendiendo los límites de integración a todo el eje real. En tal caso, la transformada unilateral común se convierte en un caso especial de la transformada bilateral, donde la definición de la función transformada incluye la multiplicación por la función escalón de Heaviside .

La transformada de Laplace bilateral F ( s ) se define de la siguiente manera:

Una notación alternativa para la transformada de Laplace bilateral es ⁠${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}}$⁠ , en lugar de F .

Dos funciones integrables tienen la misma transformada de Laplace solo si difieren en un conjunto de medida de Lebesgue cero. Esto significa que, en el rango de la transformada, existe una transformada inversa. De hecho, además de para funciones integrables, la transformada de Laplace es una función biyectiva de un espacio de funciones a otro en muchos otros espacios de funciones, aunque generalmente no existe una caracterización sencilla de su rango.

Los espacios funcionales típicos en los que esto se cumple incluyen los espacios de funciones continuas acotadas, el espacio L ^∞ (0, ∞) , o, de forma más general, las distribuciones temperadas en (0, ∞) . La transformada de Laplace también está definida y es inyectiva para espacios adecuados de distribuciones temperadas.

En estos casos, la imagen de la transformada de Laplace reside en un espacio de funciones analíticas en la región de convergencia . La transformada inversa de Laplace viene dada por la siguiente integral compleja, conocida por diversos nombres ( integral de Bromwich , integral de Fourier-Mellin y fórmula inversa de Mellin ):

donde γ es un número real de modo que la trayectoria de integración del contorno se encuentra en la región de convergencia de F ( s ) . En la mayoría de las aplicaciones, el contorno puede cerrarse, lo que permite el uso del teorema de los residuos . Una fórmula alternativa para la transformada inversa de Laplace viene dada por la fórmula de inversión de Post . El límite aquí se interpreta en la topología débil-* .

En la práctica, suele ser más conveniente descomponer una transformada de Laplace en transformadas conocidas de funciones obtenidas de una tabla y construir la inversa por inspección.

En probabilidad pura y aplicada , la transformada de Laplace se define como un valor esperado . Si X es una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad f , entonces la transformada de Laplace de f viene dada por la esperanza. $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right],}$$ dónde${\displaystyle \operatorname {E} [r]}$es la esperanza de una variable aleatoria${\displaystyle r}$.​

Por convención , esto se conoce como la transformada de Laplace de la variable aleatoria X. Aquí, al reemplazar s por −t , se obtiene la función generadora de momentos de X. La transformada de Laplace tiene aplicaciones en toda la teoría de la probabilidad, incluyendo los tiempos de primer paso de procesos estocásticos como las cadenas de Markov y la teoría de la renovación .

De particular utilidad es la capacidad de recuperar la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria continua X mediante la transformada de Laplace de la siguiente manera: ^{[ 23 ]}$${\displaystyle F_{X}(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right]\right\}(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\{f\}(s)\right\}(x).}$$

La transformada de Laplace puede definirse alternativamente de forma puramente algebraica aplicando una construcción de campo de fracciones al anillo de convolución de funciones en la semirrecta positiva. El espacio resultante de operadores abstractos es exactamente equivalente al espacio de Laplace, pero en esta construcción las transformadas directa e inversa nunca necesitan definirse explícitamente (evitando así las dificultades relacionadas con la demostración de la convergencia). ^{[ 24 ]}

La transformada de Laplace puede verse como un análogo continuo de una serie de potencias . ^{[ 30 ]} Si a ( n ) es una función discreta de un entero positivo n , entonces la serie de potencias asociada a a ( n ) es la serie $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a(n)x^{n}}$$ donde x es una variable real (véase la transformada Z ). Reemplazando la suma sobre n por la integración sobre t , una versión continua de la serie de potencias se convierte en $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)x^{t}\,dt}$$ donde la función discreta a ( n ) se reemplaza por la función continua f ( t ) .

Cambiar la base de la potencia de x a e da como resultado $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)\left(e^{\ln {x}}\right)^{t}\,dt}$$

Para que esto converja para, digamos, todas las funciones acotadas f , es necesario exigir que ln x < 0. Haciendo la sustitución − s = ln x obtenemos simplemente la transformada de Laplace: $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$$

En otras palabras, la transformada de Laplace es un análogo continuo de una serie de potencias, en la que el parámetro discreto n se reemplaza por el parámetro continuo t , y x se reemplaza por e ^{− s} .

De forma análoga a una serie de potencias, si${\displaystyle a(n)=O(\rho ^{-n})}$⁠ , entonces la serie de potencias converge a una función analítica en ⁠${\displaystyle \vert x\vert <\rho }$, si​${\displaystyle f(t)=O(e^{-\sigma t})}$⁠ , la transformada de Laplace converge a una función analítica para ⁠${\displaystyle \Re (s)>\sigma }$⁠ . ^{[ 31 ]}

Las cantidades $${\displaystyle \mu _{n}=\int _{0}^{\infty }t^{n}f(t)\,dt}$$ son los momentos de la función f . Si los primeros n momentos de f convergen absolutamente, entonces mediante diferenciación repetida bajo la integral , $${\displaystyle (-1)^{n}({\mathcal {L}}f)^{(n)}(0)=\mu _{n}.}$$ Esto tiene una importancia especial en la teoría de la probabilidad, donde los momentos de una variable aleatoria X vienen dados por los valores esperados .${\displaystyle \mu _{n}=\operatorname {E} [X^{n}]}$⁠ . Entonces, la relación se cumple $${\displaystyle \mu _{n}=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right](0).}$$

A menudo resulta conveniente utilizar la propiedad de diferenciación de la transformada de Laplace para hallar la transformada de la derivada de una función. Esto se puede obtener a partir de la expresión básica de la transformada de Laplace de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}&=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\[6pt]&=\left[{\frac {f(t)e^{-st}}{-s}}\right]_{0^{-}}^{\infty }-\int _{0^{-}}^{\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}f'(t)\,dt\quad {\text{(by parts)}}\\[6pt]&=\left[-{\frac {f(0^{-})}{-s}}\right]+{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\},\end{aligned}}}$$ flexible $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0^{-}),}$$ y en el caso bilateral, $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}.}$$

El resultado general $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^{n}\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-}),}$$ dónde${\displaystyle f^{(n)}}$denota la n -ésima derivada de f , que puede establecerse mediante un argumento inductivo.

Una propiedad útil de la transformada de Laplace es la siguiente: $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(s)\cdot ({\mathcal {L}}^{-1}g)(s)\,ds}$$ bajo supuestos adecuados sobre el comportamiento de${\displaystyle f}$y​​${\displaystyle g}$en un barrio justo de${\displaystyle 0}$y sobre la tasa de decaimiento de${\displaystyle f}$y​​${\displaystyle g}$en un barrio izquierdo de${\displaystyle \infty }$⁠ . La fórmula anterior es una variación de la integración por partes, con los operadores ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$y${\displaystyle \int \,dx}$siendo reemplazado por${\displaystyle {\mathcal {L}}}$y​${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}}$⁠ . Demostremos la formulación equivalente: $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }f(s)({\mathcal {L}}g)(s)\,ds.}$$

Al enchufar${\displaystyle ({\mathcal {L}}f)(x)=\int _{0}^{\infty }f(s)e^{-sx}\,ds}$El lado izquierdo se convierte en: $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(s)g(x)e^{-sx}\,ds\,dx,}$$ Pero suponiendo que el teorema de Fubini sea válido, al invertir el orden de integración obtenemos el lado derecho deseado.

Este método puede utilizarse para calcular integrales que, de otro modo, serían difíciles de calcular mediante métodos elementales de cálculo real. Por ejemplo, la integral de Dirichlet puede evaluarse utilizando la transformada de Laplace: $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathop {} \!dx=\int _{0}^{\infty }{\mathcal {L}}(1)(x)\sin x\mathop {} \!dx=\int _{0}^{\infty }1\cdot {\mathcal {L}}(\sin )(x)\mathop {} \!dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}+1}}={\frac {\pi }{2}}.}$$

La transformada (unilateral) de Laplace-Stieltjes de una función g  : ℝ → ℝ está definida por la integral de Lebesgue-Stieltjes$${\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\,g(t)~.}$$

Se supone que la función g es de variación acotada . Si g es la antiderivada de f : $${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,d\,t}$$

Entonces, la transformada de Laplace-Stieltjes de g y la transformada de Laplace de f coinciden. En general, la transformada de Laplace-Stieltjes es la transformada de Laplace de la medida de Stieltjes asociada a g . Así pues, en la práctica, la única distinción entre ambas transformadas es que la transformada de Laplace se considera que opera sobre la función de densidad de la medida, mientras que la transformada de Laplace-Stieltjes se considera que opera sobre su función de distribución acumulativa . ^{[ 32 ]}

Dejar${\displaystyle f}$sea ​​una función integrable de Lebesgue de valor complejo soportada en ⁠${\displaystyle [0,\infty )}$y dejar${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}f(s)}$sea ​​su transformada de Laplace. Entonces, dentro de la región de convergencia, tenemos $${\displaystyle F(\sigma +i\tau )=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-\sigma t}e^{-i\tau t}\,dt,}$$que es la transformada de Fourier de la función${\displaystyle f(t)e^{-\sigma t}}$⁠ . ^{[ 33 ]}

De hecho, la transformada de Fourier es un caso especial (bajo ciertas condiciones) de la transformada de Laplace bilateral. La principal diferencia es que la transformada de Fourier de una función es una función compleja de una variable real (frecuencia ⁠${\displaystyle \tau }$⁠ ), la transformada de Laplace de una función es una función compleja de una variable compleja (factor de amortiguación).${\displaystyle \sigma }$y frecuencia${\displaystyle \tau }$La transformada de Laplace se limita generalmente a la transformación de funciones de t con t ≥ 0. Una consecuencia de esta restricción es que la transformada de Laplace de una función es una función holomorfa de la variable s . A diferencia de la transformada de Fourier, la transformada de Laplace de una distribución es generalmente una función bien comportada . También se pueden utilizar técnicas de variables complejas para estudiar directamente las transformadas de Laplace. Como función holomorfa, la transformada de Laplace tiene una representación en serie de potencias . Esta serie de potencias expresa una función como una superposición lineal de momentos de la función. Esta perspectiva tiene aplicaciones en la teoría de la probabilidad.

Formalmente, la transformada de Fourier es equivalente a evaluar la transformada de Laplace bilateral con argumento imaginario s = iω ^{[ 34 ] [ 35 ]} cuando se cumple la condición que se explica a continuación, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\{f(t)\}\\[4pt]&={\mathcal {L}}\{f(t)\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,dt~.\end{aligned}}}$$

Esta convención de la transformada de Fourier ( ⁠${\displaystyle {\hat {f}}_{3}(\omega )}$En la transformada de Fourier (véase  Otras convenciones ) , se requiere un factor de 1 / 2π en la transformada inversa de Fourier. Esta relación entre las transformadas de Laplace y Fourier se utiliza a menudo para determinar el espectro de frecuencia de una señal o sistema dinámico.

La relación anterior es válida como se indica si y solo si la región de convergencia (ROC) de F ( s ) contiene el eje imaginario, σ = 0 .

Por ejemplo, la función f ( t ) = cos( ω ₀ t ) tiene una transformada de Laplace F ( s ) = s /( s ² + ω ₀ ² ) cuya ROC es Re( s ) > 0 . Como s = iω ₀ es un polo de F ( s ) , sustituir s = iω en F ( s ) no produce la transformada de Fourier de f ( t ) u ( t ) , que contiene términos proporcionales a las funciones delta de Dirac δ ( ω ± ω ₀ ) .

Sin embargo, una relación de la forma $${\displaystyle \lim _{\sigma \to 0^{+}}F(\sigma +i\omega )={\hat {f}}(\omega )}$$ Se cumple bajo condiciones mucho más débiles. Por ejemplo, esto se cumple para el ejemplo anterior siempre que el límite se entienda como un límite débil de medidas (véase topología vaga ). Las condiciones generales que relacionan el límite de la transformada de Laplace de una función en la frontera con la transformada de Fourier adoptan la forma de los teoremas de Paley-Wiener .

La transformada de Mellin y su inversa están relacionadas con la transformada de Laplace bilateral mediante un cambio de variables.

Si en la transformación de Mellin $${\displaystyle G(s)={\mathcal {M}}\{g(\theta )\}=\int _{0}^{\infty }\theta ^{s}g(\theta )\,{\frac {d\theta }{\theta }}}$$ Si establecemos θ = e ^{− t,} obtenemos una transformada de Laplace bilateral.

La transformada Z unilateral o de un solo lado es la transformada de Laplace de una señal muestreada idealmente con la sustitución de $${\displaystyle z{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}e^{sT},}$$ donde T = 1/ f _s es el intervalo de muestreo (en unidades de tiempo, por ejemplo, segundos) y f _s es la frecuencia de muestreo (en muestras por segundo o hercios ).

Dejar $${\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)}$$ ser un tren de impulsos de muestreo (también llamado peine de Dirac ) y $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{q}(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(t)\Delta _{T}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)\end{aligned}}}$$ sea ​​la representación muestreada del tiempo continuo x ( t )$${\displaystyle x[n]{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(nT)~.}$$

La transformada de Laplace de la señal muestreada x _q ( t ) es $${\displaystyle {\begin{aligned}X_{q}(s)&=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t)e^{-st}\,dt\\&=\int _{0^{-}}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{\infty }\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]e^{-nsT}~.\end{aligned}}}$$

Esta es la definición precisa de la transformada Z unilateral de la función discreta x [ n ]$${\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}}$$ con la sustitución de z → e ^sT .

Comparando las dos últimas ecuaciones, encontramos la relación entre la transformada Z unilateral y la transformada de Laplace de la señal muestreada, $${\displaystyle X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}.}$$

La similitud entre las transformadas Z y de Laplace se desarrolla con mayor detalle en la teoría del cálculo de escalas de tiempo .

La forma integral de la transformada de Borel$${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(z)e^{-sz}\,dz}$$ es un caso especial de la transformada de Laplace para f una función entera de tipo exponencial, lo que significa que $${\displaystyle |f(z)|\leq Ae^{B|z|}}$$ para ciertas constantes A y B. La transformada de Borel generalizada permite utilizar una función de ponderación diferente a la exponencial para transformar funciones que no son de tipo exponencial. El teorema de Nachbin proporciona condiciones necesarias y suficientes para que la transformada de Borel esté bien definida.

Dado que una transformada de Laplace ordinaria puede expresarse como un caso particular de una transformada bilateral, y que esta última puede expresarse como la suma de dos transformadas unilaterales, la teoría de las transformadas de Laplace, Fourier, Mellin y Z es, en esencia, la misma. Sin embargo, cada una de estas cuatro transformadas integrales principales presenta un punto de vista y problemas característicos diferentes.

Dejemos​${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)}$⁠ . Luego (ver la tabla anterior) $${\displaystyle \partial _{s}{\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\partial _{s}\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}e^{-st}\,dt=-\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt=-F(s)}$$

De lo cual se obtiene: $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(p)\,dp.}$$

En el límite${\displaystyle s\rightarrow 0}$⁠ , uno obtiene $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\,dt=\int _{0}^{\infty }F(p)\,dp,}$$ siempre que el intercambio de límites pueda justificarse. Esto suele ser posible como consecuencia del teorema del valor final . Incluso cuando el intercambio no puede justificarse, el cálculo puede ser sugerente. Por ejemplo, con a ≠ 0 ≠ b , procediendo formalmente se tiene $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(at)-\cos(bt)}{t}}\,dt&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {p}{p^{2}+a^{2}}}-{\frac {p}{p^{2}+b^{2}}}\right)\,dp\\[6pt]&=\left[{\frac {1}{2}}\ln {\frac {p^{2}+a^{2}}{p^{2}+b^{2}}}\right]_{0}^{\infty }={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}}{a^{2}}}=\ln \left|{\frac {b}{a}}\right|.\end{aligned}}}$$

En la teoría de circuitos eléctricos , el flujo de corriente en un condensador es proporcional a la capacitancia y a la tasa de cambio del potencial eléctrico (con ecuaciones como las del sistema de unidades SI ). Simbólicamente, esto se expresa mediante la ecuación diferencial. $${\displaystyle i=C{dv \over dt},}$$ donde C es la capacitancia del condensador, i = i ( t ) es la corriente eléctrica a través del condensador en función del tiempo, y v = v ( t ) es el voltaje a través de los terminales del condensador, también en función del tiempo.

Al aplicar la transformada de Laplace a esta ecuación, obtenemos: $${\displaystyle I(s)=C(sV(s)-V_{0}),}$$ dónde $${\displaystyle {\begin{aligned}I(s)&={\mathcal {L}}\{i(t)\},\\V(s)&={\mathcal {L}}\{v(t)\},\end{aligned}}}$$ y $${\displaystyle V_{0}=v(0).}$$

Resolviendo para V ( s ) tenemos $${\displaystyle V(s)={I(s) \over sC}+{V_{0} \over s}.}$$

La definición de la impedancia compleja Z (en ohmios ) es la relación entre el voltaje complejo V dividido por la corriente compleja I mientras se mantiene el estado inicial V ₀ en cero: $${\displaystyle Z(s)=\left.{V(s) \over I(s)}\right|_{V_{0}=0}.}$$

Utilizando esta definición y la ecuación anterior, encontramos: $${\displaystyle Z(s)={\frac {1}{sC}},}$$ que es la expresión correcta para la impedancia compleja de un capacitor. Además, la transformada de Laplace tiene amplias aplicaciones en la teoría de control.

Consideremos un sistema lineal invariante en el tiempo con función de transferencia$${\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}.}$$

La respuesta impulsional es la transformada inversa de Laplace de esta función de transferencia: $${\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}.}$$

Expansión de fracciones parciales

Para evaluar esta transformada inversa, comenzamos expandiendo H ( s ) utilizando el método de expansión en fracciones parciales, $${\displaystyle {\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={P \over s+\alpha }+{R \over s+\beta }.}$$

Las constantes desconocidas P y R son los residuos ubicados en los polos correspondientes de la función de transferencia. Cada residuo representa la contribución relativa de esa singularidad a la forma general de la función de transferencia.

Según el teorema de los residuos , la transformada inversa de Laplace depende únicamente de los polos y sus residuos. Para hallar el residuo P , multiplicamos ambos lados de la ecuación por s + α para obtener $${\displaystyle {\frac {1}{s+\beta }}=P+{R(s+\alpha ) \over s+\beta }.}$$

Entonces, al hacer s = − α , la contribución de R desaparece y todo lo que queda es $${\displaystyle P=\left.{1 \over s+\beta }\right|_{s=-\alpha }={1 \over \beta -\alpha }.}$$

De manera similar, el residuo R viene dado por $${\displaystyle R=\left.{1 \over s+\alpha }\right|_{s=-\beta }={1 \over \alpha -\beta }.}$$

Tenga en cuenta que $${\displaystyle R={-1 \over \beta -\alpha }=-P}$$ y así la sustitución de R y P en la expresión expandida para H ( s ) da como resultado $${\displaystyle H(s)=\left({\frac {1}{\beta -\alpha }}\right)\cdot \left({1 \over s+\alpha }-{1 \over s+\beta }\right).}$$

Finalmente, utilizando la propiedad de linealidad y la transformada conocida para el decaimiento exponencial (véase el punto n.° 3 de la tabla de transformadas de Laplace , arriba), podemos tomar la transformada inversa de Laplace de H ( s ) para obtener $${\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}={\frac {1}{\beta -\alpha }}\left(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\right),}$$ que es la respuesta impulsional del sistema.

Circunvolución

El mismo resultado se puede lograr utilizando la propiedad de convolución como si el sistema fuera una serie de filtros con funciones de transferencia 1/( s + α ) y 1/( s + β ) . Es decir, la inversa de $${\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={\frac {1}{s+\alpha }}\cdot {\frac {1}{s+\beta }}}$$ es $${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+\alpha }}\right\}*{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+\beta }}\right\}=e^{-\alpha t}*e^{-\beta t}=\int _{0}^{t}e^{-\alpha x}e^{-\beta (t-x)}\,dx={\frac {e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}}{\beta -\alpha }}.}$$

Comenzando con la transformada de Laplace, $${\displaystyle X(s)={\frac {s\sin(\varphi )+\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}}$$ Hallamos la inversa reordenando primero los términos de la fracción: $${\displaystyle {\begin{aligned}X(s)&={\frac {s\sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}+{\frac {\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}\\&=\sin(\varphi )\left({\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right)+\cos(\varphi )\left({\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

Ahora podemos tomar la transformada inversa de Laplace de nuestros términos: $${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=\sin(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}+\cos(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}\\&=\sin(\varphi )\cos(\omega t)+\cos(\varphi )\sin(\omega t).\end{aligned}}}$$

Esto es simplemente el seno de la suma de los argumentos, lo que da como resultado: $${\displaystyle x(t)=\sin(\omega t+\varphi ).}$$

Podemos aplicar una lógica similar para encontrar que $${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s\cos \varphi -\omega \sin \varphi }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}=\cos {(\omega t+\varphi )}.}$$

En mecánica estadística , la transformada de Laplace de la densidad de estados${\displaystyle g(E)}$define la función de partición . ^{[ 44 ]} Es decir, la función de partición canónica${\displaystyle Z(\beta )}$es dado por $${\displaystyle Z(\beta )=\int _{0}^{\infty }e^{-\beta E}g(E)\,dE}$$ y la inversa viene dada por $${\displaystyle g(E)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\beta _{0}-i\infty }^{\beta _{0}+i\infty }e^{\beta E}Z(\beta )\,d\beta }$$

La amplia y general aplicabilidad de la transformada de Laplace y su inversa se ilustra con una aplicación en astronomía que proporciona información sobre la distribución espacial de la materia de una fuente astronómica de radiación térmica de radiofrecuencia demasiado distante para resolverla como más que un punto, dado su espectro de densidad de flujo , en lugar de relacionar el dominio del tiempo con el espectro (dominio de la frecuencia).

Suponiendo ciertas propiedades del objeto, por ejemplo, forma esférica y temperatura constante, los cálculos basados ​​en la aplicación de una transformada inversa de Laplace al espectro del objeto pueden producir el único modelo posible de la distribución de la materia en él (densidad en función de la distancia al centro) que sea consistente con el espectro. ^{[ 45 ]} Cuando se dispone de información independiente sobre la estructura de un objeto, se ha comprobado que el método de la transformada inversa de Laplace ofrece una buena concordancia.

Consideremos un paseo aleatorio , con pasos${\displaystyle \{+1,-1\}}$que ocurren con probabilidades${\displaystyle p,q=1-p}$⁠ . ^{[ 46 ]} Supongamos también que el paso de tiempo es un proceso de Poisson , con parámetro ⁠${\displaystyle \lambda }$⁠ . Entonces, la probabilidad de que el paseo se encuentre en el punto de la red${\displaystyle n}$en ese momento${\displaystyle t}$es $${\displaystyle P_{n}(t)=\int _{0}^{t}\lambda e^{-\lambda (t-s)}(pP_{n-1}(s)+qP_{n+1}(s))\,ds\quad (+e^{-\lambda t}\quad {\text{when}}\ n=0).}$$ Esto conduce a un sistema de ecuaciones integrales (o equivalentemente un sistema de ecuaciones diferenciales). Sin embargo, debido a que es un sistema de ecuaciones de convolución, la transformada de Laplace lo convierte en un sistema de ecuaciones lineales para $${\displaystyle \pi _{n}(s)={\mathcal {L}}(P_{n})(s),}$$ a saber: $${\displaystyle \pi _{n}(s)={\frac {\lambda }{\lambda +s}}(p\pi _{n-1}(s)+q\pi _{n+1}(s))\quad (+{\frac {1}{\lambda +s}}\quad {\text{when}}\ n=0)}$$ que ahora pueden resolverse mediante métodos estándar.

La transformada de Laplace de la medida${\displaystyle \mu }$en${\displaystyle [0,\infty )}$es dado por $${\displaystyle {\mathcal {L}}\mu (s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}d\mu (t).}$$ Es intuitivamente claro que, para valores pequeños de ⁠${\displaystyle s>0}$⁠ , el integrando de decaimiento exponencial se volverá más sensible a la concentración de la medida.${\displaystyle \mu }$en subconjuntos más grandes del dominio. Para ser más precisos, introducimos la función de distribución: $${\displaystyle M(t)=\mu ([0,t)).}$$ Formalmente, esperamos un límite del siguiente tipo: $${\displaystyle \lim _{s\to 0^{+}}{\mathcal {L}}\mu (s)=\lim _{t\to \infty }M(t).}$$Los teoremas tauberianos son teoremas que relacionan la asintótica de la transformada de Laplace, como${\displaystyle s\to 0^{+}}$⁠ , a aquellos de la distribución de${\displaystyle \mu }$como​${\displaystyle t\to \infty }$Por lo tanto, son importantes en las fórmulas asintóticas de probabilidad y estadística , donde a menudo el lado espectral tiene asintóticas que son más sencillas de inferir. ^{[ 46 ]}

Dos teoremas tauberianos destacables son el teorema tauberiano de Hardy-Littlewood y el teorema tauberiano de Wiener . El teorema de Wiener generaliza el teorema tauberiano de Ikehara , que es la siguiente afirmación:

Dejemos​${\displaystyle A(x)}$Sea una funciónno negativa, monótona y no decreciente de${\displaystyle x}$⁠ , definido para ⁠${\displaystyle 0\leq x<\infty }$⁠ . Supongamos que $${\displaystyle f(s)=\int _{0}^{\infty }A(x)e^{-xs}\,dx}$$converge para${\displaystyle \Re (s)>1}$a la función${\displaystyle f(s)}$y que, para algún número no negativo${\displaystyle c}$⁠ , $${\displaystyle f(s)-{\frac {c}{s-1}}}$$ tiene una extensión como función continua para ⁠${\displaystyle \Re (s)\geq 1}$⁠ . Entonces el límite como ⁠${\displaystyle x}$va al infinito de${\displaystyle e^{-x}A(x)}$es igual a ${\displaystyle c}$.​

Esta afirmación puede aplicarse en particular a la derivada logarítmica de la función zeta de Riemann y, por lo tanto, proporciona una forma extremadamente corta de demostrar el teorema de los números primos . ^{[ 47 ]}

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• Grattan-Guinness, I (1997), «Soluciones integrales de Laplace para ecuaciones diferenciales parciales», en Gillispie, CC (ed.), Pierre Simon Laplace 1749–1827: Una vida en la ciencia exacta , Princeton: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-01185-1
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