Grandes desviaciones de funciones aleatorias gaussianas

Una función aleatoria , ya sea de una variable (un proceso aleatorio ) o de dos o más variables (un campo aleatorio ) , se denomina gaussiana si toda distribución de dimensión finita es una distribución normal multivariada . Los campos aleatorios gaussianos en la esfera son útiles (por ejemplo) al analizar

• las anomalías en la radiación cósmica de fondo de microondas (véase, ^{[ 1 ]} pp.  8 – 9);
• imágenes cerebrales obtenidas mediante tomografía por emisión de positrones (véase, ^{[ 1 ]} pp.  9 – 10).

En ocasiones, el valor de una función aleatoria gaussiana se desvía de su valor esperado en varias desviaciones estándar . Esto se considera una desviación grande . Si bien es poco frecuente en un dominio pequeño (de espacio y/o tiempo), las desviaciones grandes pueden ser bastante comunes en un dominio grande.

Dejar${\displaystyle M}$sea ​​el valor máximo de una función aleatoria gaussiana${\displaystyle X}$en la esfera (bidimensional). Suponga que el valor esperado de${\displaystyle X}$es${\displaystyle 0}$(en cada punto de la esfera), y la desviación estándar de${\displaystyle X}$es${\displaystyle 1}$(en cada punto de la esfera). Luego, para grandes${\displaystyle a>0}$,${\displaystyle P(M>a)}$está cerca de${\displaystyle Ca\exp(-a^{2}/2)+2P(\xi >a)}$, dónde${\displaystyle \xi }$se distribuye${\displaystyle N(0,1)}$(la distribución normal estándar ), y${\displaystyle C}$es una constante; no depende de${\displaystyle a}$, pero depende de la función de correlación de${\displaystyle X}$(véase más abajo). El error relativo de la aproximación decae exponencialmente para valores grandes de${\displaystyle a}$.

La constante${\displaystyle C}$es fácil de determinar en el caso especial importante descrito en términos de la derivada direccional de${\displaystyle X}$en un punto dado (de la esfera) en una dirección dada ( tangente a la esfera). La derivada es aleatoria, con esperanza cero y cierta desviación estándar. Esta última puede depender del punto y la dirección. Sin embargo, si no depende, entonces es igual a${\displaystyle (\pi /2)^{1/4}C^{1/2}}$(para la esfera de radio${\displaystyle 1}$).

El coeficiente${\displaystyle 2}$antes${\displaystyle P(\xi >a)}$es, de hecho, la característica de Euler de la esfera (para el toro se desvanece).

Se supone que${\displaystyle X}$es dos veces continuamente diferenciable ( casi con seguridad ) y alcanza su máximo en un solo punto (casi con seguridad).

La clave de la teoría esbozada anteriormente es la característica de Euler.${\displaystyle \chi _{a}}$del conjunto${\displaystyle \{X>a\}}$de todos los puntos${\displaystyle t}$(de la esfera) tal que${\displaystyle X(t)>a}$Su valor esperado (es decir, valor medio)${\displaystyle E(\chi _{a})}$se puede calcular explícitamente:

${\displaystyle E(\chi _{a})=Ca\exp(-a^{2}/2)+2P(\xi >a)}$

(lo cual está lejos de ser trivial e involucra el teorema de Poincaré-Hopf , el teorema de Gauss-Bonnet , la fórmula de Rice, etc.).

El conjunto${\displaystyle \{X>a\}}$es el conjunto vacío siempre${\displaystyle M<a}$; en este caso${\displaystyle \chi _{a}=0}$. En el otro caso, cuando${\displaystyle M>a}$, el conjunto ${\displaystyle \{X>a\}}$no es vacío; su característica de Euler puede tomar varios valores, dependiendo de la topología del conjunto (el número de componentes conexas y posibles agujeros en estas componentes). Sin embargo, si${\displaystyle a}$es grande y${\displaystyle M>a}$luego el conjunto${\displaystyle \{X>a\}}$Suele ser un disco o elipse pequeño y ligeramente deformado (lo cual es fácil de adivinar, pero bastante difícil de demostrar). Por lo tanto, su característica de Euler${\displaystyle \chi _{a}}$suele ser igual a${\displaystyle 1}$(dado que${\displaystyle M>a}$). Por eso${\displaystyle E(\chi _{a})}$está cerca de${\displaystyle P(M>a)}$.

• proceso gaussiano
• campo aleatorio gaussiano
• teoría de grandes desviaciones

La afirmación básica dada anteriormente es un caso especial simple de una teoría mucho más general (y difícil) enunciada por Adler. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Para una presentación detallada de este caso especial, véanse las conferencias de Tsirelson. ^{[ 4 ]}