Conjunto grande (combinatoria)

En matemáticas combinatorias , un gran conjunto de enteros positivos

${\displaystyle S=\{s_{0},s_{1},s_{2},s_{3},\dots \}}$

es uno tal que la suma infinita de los recíprocos

${\displaystyle {\frac {1}{s_{0}}}+{\frac {1}{s_{1}}}+{\frac {1}{s_{2}}}+{\frac {1}{s_{3}}}+\cdots }$

diverge . Un conjunto pequeño es cualquier subconjunto de los enteros positivos que no es grande; es decir, uno cuya suma de recíprocos converge.

Los conjuntos grandes aparecen en el teorema de Müntz-Szász y en la conjetura de Erdős sobre progresiones aritméticas .

• Todo subconjunto finito de los enteros positivos es pequeño.
• El conjunto${\displaystyle \{1,2,3,4,5,\dots \}}$El conjunto de todos los enteros positivos es un conjunto grande; esta afirmación es equivalente a la divergencia de la serie armónica . De manera más general, cualquier progresión aritmética (es decir, un conjunto de todos los enteros de la forma an  + b con a ≥ 1, b ≥ 1 y n = 0, 1, 2, 3, ... ) es un conjunto grande.     
• El conjunto de los números cuadrados es pequeño (véase el problema de Basilea, sección «  La función zeta de Riemann »). Lo mismo ocurre con el conjunto de los números cúbicos , el conjunto de las cuartas potencias, etc. En términos más generales, el conjunto de los valores enteros positivos de cualquier polinomio de grado 2 o superior forma un conjunto pequeño.
• El conjunto {1, 2, 4, 8, ...} de potencias de 2 es un conjunto pequeño, al igual que cualquier progresión geométrica (es decir, un conjunto de números de la forma ab ⁿ con a  ≥  1, b  ≥  2 y n  =  0,  1,  2,  3,  ...).
• El conjunto de números primos es grande . El conjunto de primos gemelos es pequeño (véase la constante de Brun ).
• El conjunto de potencias primas que no son primas (es decir, todos los números de la forma p ⁿ con n  ≥  2 y p primo) es pequeño, aunque los números primos sean grandes. Esta propiedad se utiliza frecuentemente en la teoría analítica de números . En términos más generales, el conjunto de potencias perfectas es pequeño; incluso el conjunto de números poderosos es pequeño.
• El conjunto de números cuyas expansiones en una base dada excluyen un dígito dado es pequeño. Por ejemplo, el conjunto$${\displaystyle \{1,2,\dots ,5,6,8,9,\dots ,15,16,18,19,\dots ,65,66,68,69,80,81,\dots \}}$$de enteros cuya expansión decimal no incluye el dígito 7 es pequeño. Dichas series se denominan series de Kempner .
• Cualquier conjunto cuya densidad asintótica superior sea distinta de cero es grande.
• El conjunto de todos los números primos en una progresión aritmética an + b , donde a y b son coprimos, es grande (véase el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas ).

• Todo subconjunto de un conjunto pequeño es pequeño.
• La unión de un número finito de conjuntos pequeños es pequeña, porque la suma de dos series convergentes es una serie convergente. (Por lo tanto, los conjuntos pequeños forman un ideal en el conjunto de los enteros positivos).
• El complemento de cada conjunto pequeño es grande.
• El teorema de Müntz-Szász establece que un conjunto${\displaystyle S=\{s_{1},s_{2},s_{3},\dots \}}$es grande si y solo si el conjunto de polinomios generado por$${\displaystyle \{1,x^{s_{1}},x^{s_{2}},x^{s_{3}},\dots \}}$$es denso en la topología de norma uniforme de funciones continuas en un intervalo cerrado en los números reales positivos. Esta es una generalización del teorema de Stone-Weierstrass .

Paul Erdős conjeturó que todos los conjuntos grandes contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas . Ofreció un premio de 3000 dólares por una demostración, más que por cualquiera de sus otras conjeturas , y bromeó diciendo que esta oferta de premio violaba la ley del salario mínimo. ^{[ 1 ]} La cuestión sigue abierta.

En general, se desconoce cómo determinar si un conjunto dado es grande o pequeño. Por consiguiente, existen muchos conjuntos cuyo tamaño se desconoce.

• Lista de sumas de recíprocos

• Wadhwa, AD (1975). "Una interesante subserie de la serie armónica". American Mathematical Monthly . 82 (9): 931– 933. JSTOR 2318503 .