Ecuaciones de velocidad del diodo láser

Las ecuaciones de velocidad del diodo láser modelan el rendimiento eléctrico y óptico de un diodo láser. Este sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias relaciona el número o la densidad de fotones y portadores de carga ( electrones ) en el dispositivo con la corriente de inyección y con parámetros del dispositivo y del material, como el tiempo de vida de los portadores , el tiempo de vida de los fotones y la ganancia óptica .

Las ecuaciones de velocidad se pueden resolver mediante integración numérica para obtener una solución en el dominio del tiempo , o utilizarse para derivar un conjunto de ecuaciones de estado estacionario o de pequeña señal para ayudar a comprender mejor las características estáticas y dinámicas de los láseres semiconductores .

Las ecuaciones de velocidad del diodo láser se pueden formular con mayor o menor complejidad para modelar diferentes aspectos del comportamiento del diodo láser con distinta precisión.

En la formulación multimodo, las ecuaciones de velocidad ^{[ 1 ]} modelan un láser con múltiples modos ópticos . Esta formulación requiere una ecuación para la densidad de portadores y una ecuación para la densidad de fotones en cada uno de los modos de la cavidad óptica :

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}={\frac {I}{eV}}-{\frac {N}{\tau _{n}}}-\sum _{\mu =1}^{\mu =M}\Gamma _{\mu }G_{\mu }P_{\mu }}$

${\displaystyle {\frac {dP_{\mu }}{dt}}=(\Gamma _{\mu }G_{\mu }-{\frac {1}{\tau _{p}}})P_{\mu }+\beta _{\mu }{\frac {N}{\tau _{r}}}}$

donde: es la densidad de portadores, es la densidad de fotones, es la corriente aplicada, es la carga elemental , es el volumen de la región activa , es la vida útil del portador, es el coeficiente de ganancia (s ⁻¹ ), es el factor de confinamiento, es la vida útil del fotón, es el factor de emisión espontánea, es la constante de tiempo de recombinación radiativa, es el número de modos modelados, μ es el número de modo, y se ha añadido un subíndice a , , y para indicar que estas propiedades pueden variar para los diferentes modos. ${\displaystyle {N}}$${\displaystyle {P}}$${\displaystyle {I}}$${\displaystyle {e}}$${\displaystyle {V}}$${\displaystyle {\tau _{n}}}$${\displaystyle {G}}$${\displaystyle {\Gamma }}$${\displaystyle {\tau _{p}}}$${\displaystyle {\beta }}$${\displaystyle {\tau _{r}}}$${\displaystyle {M}}$${\displaystyle {\mu }}$${\displaystyle {G}}$${\displaystyle {\Gamma }}$${\displaystyle {\beta }}$

El primer término del lado derecho de la ecuación de la tasa de portadores es la tasa de electrones inyectados ( ), el segundo término es la tasa de agotamiento de portadores debido a todos los procesos de recombinación (descritos por el tiempo de decaimiento ) y el tercer término es el agotamiento de portadores debido a la recombinación estimulada , que es proporcional a la densidad de fotones y a la ganancia del medio. ${\displaystyle {I/eV}}$${\displaystyle {\tau _{n}}}$

En la ecuación de la tasa de densidad de fotones, el primer término es la tasa a la que aumenta la densidad de fotones debido a la emisión estimulada (el mismo término en la ecuación de la tasa de portadores, con signo positivo y multiplicado por el factor de confinamiento ), el segundo término es la tasa a la que los fotones abandonan la cavidad, por absorción interna o al salir de los espejos, expresada a través de la constante de tiempo de decaimiento y el tercer término es la contribución de la emisión espontánea de la recombinación radiativa de portadores en el modo láser. ${\displaystyle {\Gamma _{\mu }G_{\mu }P_{\mu }}}$${\displaystyle {\Gamma }}$${\displaystyle {\tau _{p}}}$

${\displaystyle {G_{\mu }}}$La ganancia del modo ⁿ se puede modelar mediante una dependencia parabólica de la ganancia con respecto a la longitud de onda de la siguiente manera: ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle G_{\mu }={\frac {\alpha N[1-(2{\frac {\lambda (t)-\lambda _{\mu }}{\delta \lambda _{g}}})^{2}]-\alpha N_{0}}{1+\epsilon \sum _{\mu =1}^{\mu =M}P_{\mu }}}}$

donde: es el coeficiente de ganancia y ε es el factor de compresión de ganancia (véase más abajo). es la longitud de onda del modo ^-ésimo , es el ancho completo a media altura (FWHM) de la curva de ganancia, cuyo centro viene dado por ${\displaystyle {\alpha }}$${\displaystyle {\lambda _ {\mu }}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \delta \lambda _{g}}$

${\displaystyle \lambda (t)=\lambda _{0}+{\frac {k(N_{th}-N(t))}{N_{th}}}}$

donde es la longitud de onda central para y k es la constante de desplazamiento espectral (véase más abajo). es la densidad de portadores en el umbral y viene dada por ${\displaystyle \lambda _{0}}$${\displaystyle {N=N_{th}}}$${\displaystyle N_{th}}$

${\displaystyle N_{th}=N_{tr}+{\frac {1}{\alpha \tau _{p}\Gamma }}}$

¿Dónde se encuentra la densidad de portadores en el punto de transparencia? ${\displaystyle N_{tr}}$

${\displaystyle \beta _{\mu }}$es dado por

${\displaystyle \beta _{\mu }={\frac {\beta _{0}}{1+(2(\lambda _{s}-\lambda _{\mu })/\delta \lambda _{s})^{2}}}}$

dónde

${\displaystyle \beta _{0}}$es el factor de emisión espontánea, es la longitud de onda central para la emisión espontánea y es el FWHM de la emisión espontánea. Finalmente, es la longitud de onda del ^-ésimo modo y viene dada por ${\displaystyle \lambda _{s}}$${\displaystyle \delta \lambda _{s}}$${\displaystyle \lambda _{}}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \lambda _{\mu }=\lambda _{0}-\mu \delta \lambda +{\frac {(n-1)\delta \lambda }{2}}}$

¿Dónde está el espaciado modal? ${\displaystyle \delta \lambda }$

El término de ganancia, , no puede ser independiente de las altas densidades de potencia que se encuentran en los diodos láser semiconductores. Hay varios fenómenos que hacen que la ganancia se "comprima" y que dependen de la potencia óptica. Los dos fenómenos principales son el saturación espacial y el saturación espectral . ${\displaystyle G}$

La quema espacial de huecos se produce como resultado de la naturaleza de onda estacionaria de los modos ópticos. El aumento de la potencia láser conlleva una disminución de la eficiencia de difusión de portadores, lo que significa que el tiempo de recombinación estimulada se acorta en relación con el tiempo de difusión de portadores. Por lo tanto, los portadores se agotan más rápidamente en la cresta de la onda, lo que provoca una disminución de la ganancia modal.

La quema de agujeros espectrales está relacionada con los mecanismos de ensanchamiento del perfil de ganancia, como la dispersión intrabanda corta, que a su vez está relacionada con la densidad de potencia.

Para tener en cuenta la compresión de ganancia debida a las altas densidades de potencia en los láseres semiconductores, la ecuación de ganancia se modifica de manera que se relaciona con el inverso de la potencia óptica. Por lo tanto, el siguiente término en el denominador de la ecuación de ganancia:

${\displaystyle 1+\epsilon \sum _{\mu =1}^{\mu =M}P_{\mu }}$

El desplazamiento dinámico de la longitud de onda en los láseres semiconductores se produce como resultado del cambio en el índice de refracción de la región activa durante la modulación de intensidad. Es posible evaluar este desplazamiento determinando la variación del índice de refracción de la región activa debido a la inyección de portadores. Un análisis completo del desplazamiento espectral durante la modulación directa reveló que el índice de refracción de la región activa varía proporcionalmente a la densidad de portadores y, por lo tanto, la longitud de onda varía proporcionalmente a la corriente inyectada.

Experimentalmente, un buen ajuste para el desplazamiento de la longitud de onda viene dado por:

${\displaystyle \delta \lambda =k\left({\sqrt {\frac {I_{0}}{I_{th}}}}-1\right)}$

donde es la corriente inyectada y es la corriente umbral de láser. ${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle I_{th}}$