Ganancia óptica de semiconductores

Para una comprensión simple y cualitativa de la ganancia óptica y su dependencia espectral, a menudo se utilizan los llamados modelos de portadores libres, que se analizan aquí considerando el ejemplo de un láser de volumen. El término portador libre significa que se desprecian las interacciones entre los portadores. Un modelo de portadores libres proporciona la siguiente expresión para la dependencia espectral.${\displaystyle g(\varepsilon)}$^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle g(\varepsilon )=g_{0}{\sqrt {\varepsilon }}\,[f^{\mathrm {e} }(\varepsilon )+f^{\mathrm {h} }(\varepsilon )-1]~,}$

con la energía de masa reducida${\displaystyle \varepsilon }$, las funciones de distribución cuasi -Fermi para la banda de conducción${\displaystyle f^{\mathrm {e} }}$y para la banda de valencia${\displaystyle f^{\mathrm {h} }}$, respectivamente, y con${\displaystyle g_{0}}$dado por: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle g_{0}(\varepsilon )={\frac {\nu |\mu (\varepsilon )|^{2}}{4\varepsilon _{0}\pi n}}\left({\frac {2m_{\mathrm {r} }}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}~,}$

con${\displaystyle \nu }$siendo la frecuencia,${\displaystyle |\mu (\varepsilon )|^{2}}$el elemento matriz dipolar ,${\displaystyle m_{\mathrm {r} }}$la masa reducida,${\displaystyle \varepsilon _{0}}$la permitividad del vacío y${\displaystyle n}$el índice de refracción .

Por lo tanto, la forma del espectro de ganancia${\displaystyle g(\varepsilon)}$está determinado por la densidad de estados , proporcional a${\displaystyle {\sqrt {\varepsilon }}}$para el material a granel y las funciones de distribución cuasi-Fermi. Esta expresión da una impresión cualitativa de la dependencia de los espectros de ganancia con respecto a las funciones de distribución. Sin embargo, una comparación con datos experimentales muestra inmediatamente que este enfoque no es en absoluto adecuado para dar predicciones cuantitativas sobre los valores exactos de ganancia y la forma correcta de los espectros. Para ello, se requiere un modelo microscópico que incluya interacciones de muchos cuerpos. En los últimos años, el modelo microscópico de muchos cuerpos basado en las ecuaciones de Bloch de semiconductores (SBE) ha tenido mucho éxito. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

El modelo se basa en la ecuación de Schrödinger estimulada (SBE) que describe la dinámica de las polarizaciones microscópicas.${\displaystyle p_{\mathbf {k} }}$entre las bandas de conducción y de valencia, las funciones de distribución${\ Displaystyle n _ {\ mathbf {k}}}$, ^{[ 1 ]} y las correlaciones de muchos cuerpos creadas por las interacciones.

Si solo interesan los espectros de ganancia estacionarios en el régimen lineal, se puede despreciar la dependencia temporal de las funciones de distribución.${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{e}}$y${\displaystyle f_{\mathbf {k} }^{h}}$y simplemente las expresamos mediante distribuciones cuasi-Fermi para una densidad de portadores y una temperatura dadas. Las polarizaciones microscópicas vienen dadas por:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {\partial } }{\mathrm {\partial } t}}p_{\mathbf {k} }=-\mathrm {i} \,\delta _ {k}p_{\mathbf {k} }-\mathrm {i} \,[1-f_{\mathbf {k} }^{e}-f_{\mathbf {k} }^{h}]\Omega _{\mathbf {k} }-\left.{\frac {\mathrm {\partial } }{\mathrm {\partial } t}}p_{\mathbf {k} }\right|_{\mathrm {coll} }}$

dónde${\displaystyle \delta _{\mathbf {k} }}$es la energía de transición renormalizada entre las bandas de conducción y de valencia y${\displaystyle \Omega _ {\mathbf {k} }}$es la frecuencia de Rabi renormalizada .

A diferencia de la descripción de portadores libres, este modelo contiene contribuciones debidas a interacciones de Coulomb de muchos cuerpos, tales como:${\displaystyle \delta _{\mathbf {k} }}$y${\displaystyle \Omega _ {\mathbf {k} }}$y el término de colisión${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {\partial } }{\mathrm {\partial } t}}p_{\mathbf {k} }\right|_{\mathrm {coll} }}$que describe el efecto de las correlaciones que pueden tratarse en diferentes aproximaciones. El enfoque más sencillo es reemplazar el término de colisión por una tasa de relajación fenomenológica (${\displaystyle T_{2}}$-aproximación). ^{[ 1 ]} Sin embargo, aunque esta aproximación se usa a menudo, conduce a resultados algo no físicos como la absorción por debajo de la banda prohibida del semiconductor . Un enfoque más correcto pero también mucho más complejo considera el término de colisión cinéticamente y por lo tanto contiene tasas de dispersión de entrada y salida para las polarizaciones microscópicas. ^{[ 2 ]} En este enfoque cinético cuántico, los cálculos requieren solo los parámetros de entrada básicos (estructura de bandas del material, estructura geométrica y temperatura) y proporcionan los espectros de ganancia e índice de refracción del semiconductor sin parámetros libres adicionales.

En detalle, la ecuación de movimiento de la polarización mencionada anteriormente se resuelve numéricamente calculando los dos primeros términos del lado derecho a partir de los parámetros de entrada y calculando las contribuciones de colisión. Luego, la ecuación de movimiento se integra numéricamente en el tiempo y las polarizaciones microscópicas se suman sobre${\displaystyle \mathbf {k} }$Para obtener la polarización macroscópica compleja que luego proporciona la ganancia y los espectros del índice de refracción en la teoría de láseres semiconductores , cabe mencionar que los modelos actuales asumen una estructura semiconductora perfecta para reducir el esfuerzo computacional. Los efectos de desorden, como las variaciones de composición o las fluctuaciones de espesor del material, no se consideran microscópicamente, pero tales imperfecciones suelen ocurrir en estructuras reales. Estas contribuciones al ensanchamiento inhomogéneo pueden incluirse en la teoría mediante la convolución con una función de ensanchamiento gaussiana para una comparación cuantitativa con datos experimentales.

Se pueden utilizar diversos enfoques experimentales para determinar la ganancia óptica de estructuras semiconductoras. Por ejemplo, el método de longitud de franja óptica es ampliamente aplicado. ^{[ 7 ]} Este método utiliza una fuente láser potente para la excitación óptica de la muestra en estudio. El haz láser se enfoca en una franja (por ejemplo, con una lente cilíndrica ) sobre la muestra de manera que la franja la cubra pero se extienda hasta uno de sus bordes. Luego, la intensidad${\displaystyle I_{\mathrm {ASE} }}$La emisión espontánea amplificada (ASE) de la muestra fuera de este borde se mide en función de la longitud de la franja.${\displaystyle l}$La ganancia se puede extraer entonces de un ajuste apropiado de la${\displaystyle I_{\mathrm {ASE} }(l)}$El método de longitud de franja proporciona resultados cualitativos razonables para muestras de semiconductores que aún no han sido procesadas para su uso como estructuras láser con bombeo eléctrico. Sin embargo, se obtienen resultados cuantitativamente más precisos con otros métodos que requieren estructuras láser completamente procesadas que emitan únicamente en el modo lateral fundamental, como por ejemplo, el método de Hakki-Paoli y el método de transmisión.

Para el método Hakki-Paoli, ^{[ 8 ]} el láser semiconductor debe operar por debajo del umbral láser . Entonces, el espectro de la ASE emitida está fuertemente gobernado por los modos Fabry-Pérot del resonador láser de diodo . Si se conocen la longitud del dispositivo y las reflectividades de las facetas, la ganancia puede evaluarse a partir de los máximos y mínimos de los picos Fabry-Pérot en el espectro ASE. Sin embargo, esto requiere que los datos ASE se registren con un espectrómetro de resolución espectral suficiente . Entonces, este método es bastante fácil y directo, pero proporciona datos de ganancia solo en el régimen por debajo del umbral láser, mientras que en muchos casos la ganancia por encima del umbral láser también sería de interés, en particular para una comparación cuantitativa con un modelo teórico.

El método de transmisión ^{[ 3 ]} requiere una fuente de luz de banda ancha débil que cubra espectralmente la región de interés para los espectros de ganancia. Esta fuente de luz se transmite a través del dispositivo de interés y la relación de las intensidades antes y después del dispositivo láser proporciona los espectros de ganancia. ^{[ 3 ]} Para este método, el dispositivo debe operar en el modo lateral fundamental y la aparición de modos Fabry-Pérot debe suprimirse mediante la deposición de al menos un recubrimiento antirreflectante en la faceta de salida del dispositivo. En comparación con el método de longitud de franja y el método de Hakki-Paoli, el método de transmisión proporciona los datos de ganancia más precisos para el rango más amplio de corrientes de inyección. El método de Hakki-Paoli se puede comparar directamente con los cálculos dentro de las ecuaciones de Bloch de semiconductores.