Autómata de gas reticular

Los autómatas de gas reticular ( LGCA ), o autómatas celulares de gas reticular , son un tipo de autómata celular utilizado para simular flujos de fluidos, desarrollados por Hardy-Pomeau-de Pazzis y Frisch - Hasslacher - Pomeau . Fueron precursores de los métodos de Boltzmann reticular . A partir de los autómatas de gas reticular, es posible derivar las ecuaciones macroscópicas de Navier-Stokes . ^{[ 1 ]} El interés en los métodos de autómatas de gas reticular se estabilizó a principios de la década de 1990, cuando el interés en el Boltzmann reticular comenzó a aumentar. ^{[ 2 ]} Sin embargo, una variante de LGCA, denominada BIO-LGCA , todavía se utiliza ampliamente ^{[ 3 ]} para modelar la migración colectiva en biología.

Como autómata celular, estos modelos constan de una red, donde los nodos pueden adoptar diversos estados. En el gas reticular, los distintos estados corresponden a partículas con velocidades específicas. La simulación se desarrolla en pasos de tiempo discretos. Tras cada paso, el estado de un nodo determinado se conoce a partir del estado del propio nodo y de los nodos vecinos antes del paso de tiempo.

El estado en cada sitio es puramente booleano . En un sitio dado, hay o no hay una partícula moviéndose en cada dirección.

En cada paso de tiempo, se llevan a cabo dos procesos: propagación y colisión. ^{[ 4 ]}

En la etapa de propagación, cada partícula se desplaza a un sitio vecino determinado por su velocidad. Salvo colisiones, una partícula con velocidad ascendente mantendrá dicha velocidad tras el paso de tiempo, pero se desplazará al sitio vecino situado por encima del sitio original. El principio de exclusión impide que dos o más partículas se desplacen por el mismo enlace en la misma dirección.

En la etapa de colisión, se utilizan reglas de colisión para determinar qué sucede si varias partículas llegan al mismo sitio. Estas reglas de colisión son necesarias para mantener la conservación de la masa y conservar el momento total ; el modelo de autómata celular de bloques puede utilizarse para lograr estas leyes de conservación. ^{[ 5 ]} Cabe señalar que el principio de exclusión no impide que dos partículas viajen por el mismo enlace en direcciones opuestas ; cuando esto ocurre, las dos partículas se cruzan sin colisionar.

En artículos publicados en 1973 y 1976, Jean Hardy, Yves Pomeau y Olivier de Pazzis introdujeron el primer modelo de Boltzmann en red, conocido como modelo HPP en honor a sus autores. El modelo HPP es un modelo bidimensional de interacciones entre partículas de fluidos. En este modelo, la red es cuadrada y las partículas se desplazan independientemente a velocidad unitaria en un instante de tiempo discreto. Las partículas pueden moverse a cualquiera de los cuatro nodos cuyas celdas comparten una arista común. No pueden moverse en diagonal.

Si dos partículas chocan de frente, por ejemplo una partícula que se mueve hacia la izquierda se encuentra con una partícula que se mueve hacia la derecha, el resultado será que dos partículas abandonarán el sitio en ángulo recto con respecto a la dirección en la que llegaron. ^{[ 6 ]}

El modelo HPP carecía de invariancia rotacional , lo que lo hacía altamente anisotrópico . Esto significa, por ejemplo, que los vórtices producidos por el modelo HPP tienen forma cuadrada. ^{[ 7 ]}

El modelo de cuadrícula hexagonal se introdujo por primera vez en 1986 en un artículo de Uriel Frisch , Brosl Hasslacher y Pomeau, y se le conoce como modelo FHP en honor a sus inventores. El modelo tiene seis o siete velocidades, según la variante utilizada. En cualquier caso, seis de las velocidades representan el movimiento hacia cada uno de los sitios vecinos. En algunos modelos (denominados FHP-II y FHP-III), se introduce una séptima velocidad que representa partículas "en reposo". Estas partículas "en reposo" no se propagan a sitios vecinos, pero pueden colisionar con otras partículas. El modelo FHP-III permite todas las colisiones posibles que conservan la densidad y el momento. ^{[ 8 ]} Al aumentar el número de colisiones, aumenta el número de Reynolds , por lo que los modelos FHP-II y FHP-III pueden simular flujos menos viscosos que el modelo FHP-I de seis velocidades. ^{[ 9 ]}

La regla de actualización simple del modelo FHP se desarrolla en dos etapas, elegidas para conservar el número de partículas y el momento. La primera es el manejo de colisiones. Las reglas de colisión en el modelo FHP no son deterministas ; algunas situaciones de entrada producen dos resultados posibles, y cuando esto sucede, se elige uno de ellos al azar. Dado que la generación de números aleatorios no es posible mediante métodos completamente computacionales, generalmente se elige un proceso pseudoaleatorio . ^{[ 10 ]}

Tras la colisión, se considera que una partícula en un enlace abandona el sitio. Si dos partículas se aproximan de frente a un sitio, se dispersan. Se elige aleatoriamente entre las dos posibles direcciones de salida que conservan el momento.

La cuadrícula hexagonal no sufre problemas de anisotropía tan grandes como los que aquejan al modelo de cuadrícula cuadrada HPP, un hecho afortunado que no es del todo obvio y que llevó a Frisch a comentar que "los dioses de la simetría son benevolentes". ^{[ 11 ]}

Para una cuadrícula tridimensional, el único politopo regular que llena todo el espacio es el cubo , mientras que los únicos politopos regulares con un grupo de simetría suficientemente grande son el dodecaedro y el icosaedro (sin la segunda restricción, el modelo sufrirá los mismos inconvenientes que el modelo HPP). Por lo tanto, para crear un modelo que aborde tres dimensiones se requiere un aumento en el número de dimensiones, como en el modelo de 1986 de D'Humières, Lallemand y Frisch, que empleó un modelo de hipercubo centrado en las caras . ^{[ 12 ]}

La densidad en un sitio se puede determinar contando el número de partículas en cada sitio. Si se multiplican las partículas por la velocidad unitaria antes de sumarlas, se puede obtener el momento en el sitio. ^{[ 13 ]}

Sin embargo, el cálculo de la densidad, el momento y la velocidad para sitios individuales está sujeto a una gran cantidad de ruido, y en la práctica, se suele promediar sobre una región más amplia para obtener resultados más razonables. El promedio de conjuntos se utiliza a menudo para reducir aún más el ruido estadístico. ^{[ 14 ]}

Las principales ventajas del modelo de gas reticular son que los estados booleanos implican una computación exacta sin errores de redondeo debidos a la precisión de punto flotante, y que el sistema de autómatas celulares permite ejecutar simulaciones de autómatas de gas reticular con computación paralela . ^{[ 15 ]}

Las desventajas del método del gas reticular incluyen la falta de invariancia galileana y el ruido estadístico . ^{[ 16 ]} Otro problema es la dificultad de expandir el modelo para manejar problemas tridimensionales, lo que requiere el uso de más dimensiones para mantener una malla suficientemente simétrica para abordar tales problemas. ^{[ 12 ]}

Los autómatas celulares de gas reticular se han adaptado y siguen utilizándose ampliamente para modelar la migración colectiva en biología. Debido a la naturaleza activa de los agentes biológicos, así como a los entornos viscosos en los que viven las células, no se requiere la conservación del momento. Además, los agentes pueden morir o reproducirse, por lo que la conservación de la masa también puede estar ausente. Durante la etapa de colisión, las partículas se reorientan estocásticamente siguiendo una distribución de Boltzmann, simulando la interacción local entre individuos.

• Sauro Succi (2001). La ecuación de Boltzmann en red, para la dinámica de fluidos y más allá . Oxford Science Publications. ISBN 0-19-850398-9.(El capítulo 2 trata sobre autómatas celulares de gas reticular)
• James Maxwell Buick (1997). Métodos de Boltzmann en red en el modelado de ondas interfaciales. Tesis doctoral, Universidad de Edimburgo. (El capítulo 3 trata sobre el modelo de gas en red). ( archive.org ) 13 de noviembre de 2008
• Dieter A. Wolf-Gladrow (2000). Autómatas celulares de gas reticular y modelos de Boltzmann reticular . Springer. ISBN 3-540-66973-6.

• (en francés) Tesis de maestría (2000) – Detalles sobre la programación y optimización de la simulación del FHP LGA
• (en polaco e inglés) Tesis de maestría (2010) - Implementación del modelo FHP en la tecnología Nvidia CUDA.