Red reticular

La teoría de filtros se desarrolló inicialmente a partir de estudios previos de líneas de transmisión. ^{[ 8 ] [ 9 ]} En esta teoría, una sección de filtro se especifica en términos de su constante de propagación e impedancia de imagen (o impedancia característica).

Específicamente para la red, la función de propagación, γ , y la impedancia característica, Z _o , se definen por, ^{[ 4 ] : 379 [ 6 ]}

${\displaystyle \gamma =\ln \left(\ {\frac {\ {\sqrt {{\frac {\ Z_{\mathsf {a}}\ }{Z_{\mathsf {b}}}}+1\ }}\ }{\ {\sqrt {\ {\frac {\ Z_{\mathsf {a}}\ }{Z_{\mathsf {b}}}}-1\ }}\ }}\ \right)=2\ \operatorname {artanh} {\sqrt {{\frac {\ Z_{\mathsf {a}}\ }{Z_{\mathsf {b}}}}\ }}\qquad \;}$ y ${\displaystyle \;\qquad Z_{\mathsf {o}}={\sqrt {\ Z_{\mathsf {a}}\cdot Z_{\mathsf {b}}\ }}}$

Una vez elegidos γ y Z _{o , se pueden encontrar soluciones para}${\displaystyle \;{\frac {\ Z_{\mathsf {a}}\ }{Z_{\mathsf {b}}}}\;}$ y ${\displaystyle \;Z_{\mathsf {a}}\cdot Z_{\mathsf {b}}\;}$ A partir de lo cual se pueden determinar las características de Z _a y Z _{b . (En la práctica, las opciones para} γ y z _o se limitan a aquellas que dan como resultado impedancias físicamente realizables para Z _a y Z _b  ). Aunque un circuito de filtro puede tener una o más bandas de paso y posiblemente varias bandas de rechazo (o regiones de atenuación), aquí solo se consideran redes con una única banda de paso.

En la banda de paso del circuito, el producto Z _a × Z _b es real (es decir, Z _o es resistivo) y puede igualarse a R _o , la resistencia de terminación del filtro. Por lo tanto,

${\displaystyle Z_{\mathsf {a}}\ Z_{\mathsf {b}}=R_{\mathsf {o}}^{2}\qquad \;}$ o ${\displaystyle \;\qquad {\frac {\ Z_{\mathsf {a}}\ }{R_{\mathsf {o}}}}={\frac {\ R_{\mathsf {o}}\ }{Z_{\mathsf {b}}}}\qquad \;}$ (para frecuencias en la banda de paso)

Es decir, las impedancias se comportan como duales una de la otra dentro de este rango de frecuencias.

En el rango de atenuación del filtro, la impedancia característica del filtro es puramente imaginaria y

${\displaystyle Z_{\mathsf {a}}=Z_{\mathsf {b}}\qquad \qquad \qquad \;}$(para frecuencias en la banda de atenuación)

En consecuencia, para lograr una característica específica, las reactancias dentro de Z _a y Z _b se eligen de manera que sus frecuencias de resonancia y antirresonancia sean duales entre sí en la banda de paso y coincidan en la banda de rechazo. La región de transición del filtro, donde ocurre un cambio de un conjunto de condiciones a otro, puede hacerse tan estrecha como se requiera aumentando la complejidad de Z _a y Z _b  . La respuesta de fase del filtro en la banda de paso está determinada por las ubicaciones (espaciamientos) de las frecuencias de resonancia y antirresonancia de Z _a y Z _b  .

Para mayor comodidad, los parámetros normalizados y _o y z _o se definen por

${\displaystyle y_{\mathsf {o}}={\sqrt {{\frac {\ Z_{\mathsf {b}}\ }{Z_{\mathsf {a}}}}\ }}={\sqrt {{\frac {\ z_{\mathsf {b}}\ }{z_{\mathsf {a}}}}\ }}\qquad \;}$ y ${\displaystyle \;\qquad z_{\mathsf {o}}={\sqrt {\ z_{\mathsf {a}}\cdot z_{\mathsf {b}}\ }}={\frac {\ Z_{\mathsf {o}}\ }{R_{\mathsf {o}}}}}$

donde valores normalizados${\displaystyle \;z_{\mathsf {a}}={\frac {\ Z_{\mathsf {a}}\ }{R_{\mathsf {o}}}}\;}$y${\displaystyle \;z_{\mathsf {b}}={\frac {\ Z_{\mathsf {b}}\ }{R_{\mathsf {o}}}}\;}$Se han introducido. El parámetro y _o se denomina función índice y z _o es la impedancia característica normalizada de la red. El parámetro y _o es aproximadamente 1 en la región de atenuación; z _o es aproximadamente 1 en la región de transmisión. ^{[ 4 ] : 383}

Las deficiencias de la teoría de la imagen

Las características del filtro predichas por la teoría de la imagen requieren una red correctamente terminada. Dado que a menudo resulta imposible lograr las terminaciones necesarias, se suelen utilizar resistencias, lo que da como resultado un filtro desadaptado. En consecuencia, las respuestas de amplitud y fase del circuito ya no coincidirán con las predichas por la teoría de la imagen. En el caso de un filtro paso bajo, por ejemplo, donde el desajuste es más pronunciado cerca de la frecuencia de corte, la transición de la banda de paso a la banda de rechazo es mucho menos abrupta de lo esperado.

La siguiente figura ilustra el problema: Se ha derivado un filtro de red, equivalente a dos secciones de filtro paso bajo de k constante, mediante métodos de imagen. (La red está normalizada, con ${\displaystyle \;L=1\;}$y${\displaystyle \;C=1\;,}$ entonces ${\displaystyle \;R_{\mathsf {o}}={\sqrt {\ {\tfrac {\ L\ }{C}}\ }}=1\;}$ y ${\displaystyle \;\omega _{\mathsf {c}}=2\ {\sqrt {\ L\ C\ }}=2~.}$La figura de la izquierda muestra el circuito de celosía y la figura de la derecha muestra la pérdida de inserción con la red terminada (1) resistivamente y (2) en sus impedancias características correctas.

Para minimizar el problema de la discrepancia, Zobel y otros propusieron diversas formas de terminación de los filtros de imagen , pero las inevitables limitaciones hicieron que el método cayera en desuso. Fue reemplazado por los métodos más exactos de análisis y síntesis de redes . ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

Este diagrama muestra el circuito general para la red simétrica:

Mediante el análisis de mallas o el análisis nodal del circuito, se puede encontrar su función de transferencia completa. Es decir,

$${\displaystyle {\frac {v_{\text{out}}}{v_{\text{in}}}}={\frac {Z_{L}(Z_{b}-Z_{a})}{(Z_{a}+Z_{b})(Z_{S}+Z_{L})+2(Z_{a}Z_{b}+Z_{S}Z_{L})}}}$$

Las impedancias de entrada y salida ( Zin y _Zout ) _de la red vienen dadas por

$${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\text{in}}={\frac {2Z_{a}Z_{b}+Z_{L}(Z_{a}+Z_{b})}{Z_{a}+Z_{b}+2Z_{L}}}\\[1ex]Z_{\text{out}}={\frac {2Z_{a}Z_{b}+Z_{S}(Z_{a}+Z_{b})}{Z_{a}+Z_{b}+2Z_{S}}}\end{aligned}}}$$

Estas ecuaciones son exactas para todos los valores de impedancia realizables, a diferencia de la teoría de la imagen, donde la función de propagación solo predice el rendimiento con precisión cuando Z _S y Z _L son las impedancias características coincidentes de la red.

Las ecuaciones se pueden simplificar haciendo una serie de suposiciones. En primer lugar, las redes suelen estar alimentadas y terminadas por resistencias del mismo valor R _0, de modo que Z _S = Z _L = R ₀ y las ecuaciones se convierten en:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {v_{\text{out}}}{v_{\text{in}}}}&={\frac {R_{0}(Z_{b}-Z_{a})}{2(Z_{a}+R_{0})(Z_{b}+R_{0})}}\\[1ex]Z_{\text{in}}=Z_{\text{out}}&={\frac {2Z_{a}\,Z_{b}+R_{0}(Z_{a}+Z_{b})}{Z_{a}+Z_{b}+2R_{0}}}\end{aligned}}}$$

En segundo lugar, si las impedancias Z _a y Z _b son duales entre sí, de modo que Z _a Z _b = R ₀ ² , entonces es posible una mayor simplificación:

$${\displaystyle {\frac {v_{\text{out}}}{v_{\text{in}}}}={\frac {R_{0}-Z_{a}}{2(R_{0}+Z_{a})}}={\frac {Z_{b}-R_{0}}{2(R_{0}+Z_{b})}}\qquad {\text{and}}\qquad Z_{\text{in}}=Z_{\text{out}}=R_{0}}$$

Por lo tanto, dichas redes son redes de resistencia constante.

Finalmente, para redes normalizadas, con R ₀ = 1 ,

$${\displaystyle {\frac {v_{\text{out}}}{v_{\text{in}}}}={\frac {(1-z_{a})}{2(1+z_{a})}}={\frac {(z_{b}-1)}{2(1+z_{b})}}\qquad \qquad {\text{and}}\qquad z_{\text{in}}=z_{\text{out}}=1}$$

Si las impedancias Z _a y Z _b (o las impedancias normalizadas z _a y z _b ) son reactancias puras, entonces las redes se convierten en filtros paso todo, de resistencia constante, con una respuesta en frecuencia plana pero una respuesta de fase variable. Esto las hace ideales como redes de retardo y ecualizadores de fase.

Cuando hay resistencias entre Z _a y Z _b , siempre que se cumpla la condición de dualidad, el circuito tendrá una resistencia constante pero una respuesta de amplitud variable. Una aplicación de estos circuitos es como ecualizadores de amplitud.

Esta conversión de red a T solo proporciona un circuito realizable cuando la evaluación de ( Z _b − Z _a ) / 2 da componentes de valor positivo. Para otras situaciones, la T puenteada puede proporcionar una solución, como se analiza en la siguiente sección.

Los parámetros z, o parámetros de impedancia , son un conjunto de la familia de parámetros que definen una red de dos puertos, con valores de entrada y salida definidos por I ₁ , I ₂ , V ₁ y V ₂ , ^{[ 12 ] : 254 [ 25 ] : 29} como se muestra en la figura.

Las ecuaciones que definen el comportamiento de la red en términos de parámetros z son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}=z_{11}I_{1}+z_{12}I_{2}\\E_{2}=z_{21}I_{1}+z_{22}I_{2}\end{aligned}}}$$

donde los parámetros z se definen en condiciones de circuito abierto (véase Parámetros de impedancia ), por lo que a veces se les denomina "parámetros de circuito abierto". ^{[ 26 ]} Se definen así ^{[ 4 ] : 136}

$${\displaystyle z_{11}=\left[{\frac {V_{1}}{I_{1}}}\right]{\text{ with }}I_{2}=0\qquad \qquad z_{12}=\left[{\frac {V_{1}}{I_{2}}}\right]{\text{ with }}I_{1}=0}$$

$${\displaystyle z_{21}=\left[{\frac {V_{2}}{I_{1}}}\right]{\text{ with }}I_{2}=0\qquad \qquad z_{22}=\left[{\frac {V_{2}}{I_{2}}}\right]{\text{ with }}I_{1}=0}$$

Para la red simétrica, las relaciones entre los parámetros z y las impedancias de la red se encuentran fácilmente y son

$${\displaystyle z_{11}=z_{22}={\frac {Z_{a}+Z_{b}}{2}}\qquad z_{12}=z_{21}={\frac {Z_{b}-Z_{a}}{2}}}$$

$${\displaystyle Z_{I}={\sqrt {Z_{a}Z_{b}}}}$$

Entonces,$${\displaystyle Z_{a}=z_{11}-z_{12}\,,\quad Z_{b}=z_{11}+z_{12}}$$

A veces, la síntesis de una red se puede lograr simplemente asignando partes de una expresión en z ₁₂ , o en z ₁₁ y z ₁₂ , directamente a las impedancias Z _a y Z _b , como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1

Consideremos que z ₁₂ viene dado por ^{[ 21 ] : 229}

$${\displaystyle z_{12}={\frac {p^{5}}{(p^{2}+1)(p^{2}+2)}}}$$

Esto se puede expandir en fracciones parciales, para dar

$${\displaystyle z_{12}={\frac {p}{p^{2}+1}}-{\frac {4p}{p^{2}+2}}+p}$$

Asigne términos a Z _a y Z _b , respectivamente, de modo que se obtenga

$${\displaystyle Z_{a}={\frac {8p}{p^{2}+2}}}$$y${\displaystyle Z_{b}={\frac {2p}{p^{2}+1}}+2p={\frac {2p^{3}+4p}{p^{2}+1}}}$

La red reticular que contiene estas soluciones para Z _a y Z _b se muestra en el circuito de la izquierda, a continuación. Se puede convertir a una forma desequilibrada extrayendo, primero, los inductores paralelos comunes y, segundo, los condensadores en serie comunes. Esto da como resultado la red en escalera que se muestra en el circuito de la derecha.

La función de transferencia de relación de voltaje en circuito abierto T se puede obtener en términos de z ₁₁ y z ₁₂ , ^{[ 22 ] : 43} ya que con I ₂ = 0

$${\displaystyle T={\frac {V_{2}}{V_{1}}}={\frac {z_{12}}{z_{11}}}}$$

Entonces, a partir de una expresión para T , que da la relación de z ₁₂ y z ₁₁ , puede ser posible obtener circuitos para Z _a y Z _b .

En la práctica, T puede expresarse de la forma

$${\displaystyle T(p)=K\cdot {\frac {N(p)}{D{p}}}}$$

donde N ( p ) y D ( p ) son polinomios en p , la variable de frecuencia compleja, y K es un factor constante menor o igual a la unidad.

Para una expresión dada de T, a menudo es posible encontrar expresiones (y por lo tanto circuitos para Z _a y Z _b ), siempre que el valor elegido para K sea lo suficientemente pequeño.

Ahora, para la celosía,${\displaystyle T={\frac {z_{11}}{z_{12}}}={\frac {Z_{b}-Z_{a}}{Z_{b}+Z_{a}}}={\frac {1-{\frac {Z_{a}}{Z_{b}}}}{1+{\frac {Z_{a}}{Z_{b}}}}}}$

Reorganización${\displaystyle {\frac {Z_{a}}{Z_{b}}}={\frac {1-T}{1+T}}={\frac {D-KN}{D+KN}}}$

El procedimiento ^{[ 24 ]} evalúa el numerador y el denominador de la expresión como polinomios en p y luego distribuye factores a Z _a y Z _b . Puede ser necesario un término de pérdida K, con K < 1, para facilitar la realización.

Ejemplo 2

Derive una red reticular con función de transferencia de relación de voltaje T ₂ dada por ^{[ 22 ] : 345}

$${\displaystyle T_{2}=K\cdot {\frac {p^{2}+1}{p^{2}+5p+4}}}$$ con${\displaystyle K=1}$y$${\displaystyle {\begin{aligned}D-KN&=p^{2}+5p+4-p^{2}-1=5p+3\\D+KN&=p^{2}+5p+4+p^{2}+1=2p^{2}+5p+5\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\frac {Z_{a}}{Z_{b}}}={\frac {5p+3}{2p^{2}+5p+5}}={\frac {1+3/5p}{1+(2p^{2}+5)/5p}}}$$

Elegir${\displaystyle Z_{a}=1+{\frac {3}{5p}}}$y${\displaystyle Z_{b}=1+{\frac {2p}{5}}+{\frac {1}{p}}}$

La representación en red de _T2 se muestra a continuación, a la izquierda. La red desequilibrada, a la derecha, se obtiene extrayendo primero las resistencias en serie comunes y luego la capacitancia.

Ejemplo 3

Un circuito LC tiene una función de transferencia T ₃ dada por

$${\displaystyle T_{3}=K\cdot {\frac {(p^{4}+1)}{(p^{2}+1)(p^{2}+2)}}}$$

Esto es realizable con K = 0,05, ^{[ 24 ]} así que

$${\displaystyle {\frac {D-KN}{D+KN}}={\frac {0.95(p^{4}+3.1579p^{2}+2.0526}{1.05(p^{4}+2.8571p^{2}+1.9524}}={\frac {Z_{a}}{Z_{b}}}}$$

Factorizar la parte superior e inferior da como resultado

$${\displaystyle {\frac {Z_{a}}{Z_{b}}}={\frac {0.95(p^{2}+0.9153)(p^{2}+2.2426)}{11.05(p^{2}+1.1312)(p^{2}+1.7259)}}}$$

Elige, por ejemplo,

$${\displaystyle Z_{a}={\frac {0.9048(p^{2}+2.2426)}{(p^{+}1.1312)}}\qquad {\text{and}}\qquad Z_{b}={\frac {p(p+1.7259)}{p^{2}+0.9153}}}$$

Z _a y Z _b pueden implementarse como redes en escalera LC, donde Z _a tiene un inductor en paralelo como primer elemento y Z _b tiene un inductor en serie como primer elemento, como se muestra en la figura de la izquierda. Esta red puede convertirse a una forma desequilibrada, mediante los métodos descritos anteriormente, para obtener los valores de los componentes de la figura de la derecha.

El método Darlington constituye la base para la síntesis de redes de dos pares terminales sin pérdidas con terminación resistiva para características de transferencia prescritas. ^{[ 27 ] [ 10 ]}

La figura muestra la configuración básica de la red. La impedancia de transferencia asociada es

$${\displaystyle T={\frac {E_{2}}{I_{1}}}}$$

El primer paso es expresar la impedancia de entrada Z _I de una red terminada en términos de sus parámetros z. Esto es ^{[ 21 ]}

$${\displaystyle Z_{I}={\frac {(z_{11}z_{22}-z_{12}^{2})+z_{11}R}{z_{22}+R}}}$$

donde z ₁₁ , z ₂₂ y z ₁₂ son parámetros z de la red, como se definió anteriormente. Para una red normalizada, establezca R = 1 y reordene la expresión de la siguiente manera:

$${\displaystyle Z_{I}=z_{11}\cdot {\frac {(z_{11}z_{22}-z_{12}^{2})/z_{11}+1}{z_{22}+1}}}$$

En la práctica, Z _I consiste en una razón de dos polinomios en p:

$${\displaystyle Z_{I}={\frac {N(p)}{D(p)}}={\frac {m_{1}+n_{1}}{m_{2}+n_{2}}}}$$

donde m ₁ y n ₁ son las partes par e impar del polinomio numerador, respectivamente, y m ₂ y n ₂ son las partes par e impar del polinomio denominador, respectivamente.

Reorganización${\displaystyle Z_{I}={\frac {m_{1}}{n_{2}}}\cdot {\frac {(n_{1}/m_{1})+1}{(m_{2}/n_{2})+1}}}$

Al comparar las dos expresiones para Z _I , se sugieren las siguientes relaciones.

$${\displaystyle z_{11}={\frac {m_{1}}{n_{2}}}\qquad \qquad z_{22}={\frac {m_{2}}{n_{2}}}\qquad \qquad z_{12}={\frac {\sqrt {m_{1}m_{2}-n_{1}n_{2}}}{n_{2}}}}$$

Ejemplo 4

Consideremos una red con Z _I dada por

$${\displaystyle Z_{I}={\frac {2.1351p^{3}+1.915p^{2}+2.4969p+1}{1.327p^{2}+1.18p+1}}}$$ Entonces,$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=1.915p^{2}+1&n_{1}&=2.1351p^{3}+1\\m_{2}&=1.327p^{2}+1&n_{2}&=1.18p\end{aligned}}}$$

Entonces, las soluciones para z ₁₁ , z ₂₂ y z ₁₂ son $${\displaystyle z_{11}={\frac {1.915p^{2}+1}{1.18p}}=1.6229p+{\frac {1}{1.18p}}}$$

es decir, z ₁₁ es un inductor de 1,6229H en serie con un condensador de 1,18F.

$${\displaystyle z_{22}={\frac {1.327p^{2}+1}{1.18p}}=1.1246p+{\frac {1}{1.18}}}$$

Por ejemplo, z ₂₂ es un inductor de 1,1246 H en serie con un condensador de 1,18 F.

$${\displaystyle {\begin{aligned}z_{12}&={\frac {\sqrt {(1.915p^{2}+1)(1.327p^{2}+1)-(2.1351p^{3}+2.4969p)}}{1.18p}}\\&={\frac {\sqrt {0.0218p^{4}+0.2957p^{2}+1}}{1.18p}}\quad ={\frac {0.1479p^{2}+1}{1.18p}}\quad =0.1253p+{\frac {1}{1.18p}}\end{aligned}}}$$

Al extraer una inductancia en serie de 0,4983 p = (1,6229 p – 1,1246 p ) de z ₁₁ , la red restante se vuelve simétrica con

$${\displaystyle {\begin{aligned}z_{11}^{\text{(new)}}=z_{22}=1.1246p+{\frac {1}{1.18p}}\\z_{12}=0.1253p+{\frac {1}{1.18p}}\end{aligned}}}$$

Los componentes de una red simétrica se pueden calcular a partir de Z _a = z ₁₁ − z ₁₂ y Z _b = z ₁₁ + z ₁₂ .

Entonces$${\displaystyle Z_{a}=1.1246p+{\frac {1}{1.18p}}-0.1253p-{\frac {1}{1.18p}}=0.9993p,}$$es decir, un inductor de 0,9993H.

y$${\displaystyle Z_{b}=1.1246p+{\frac {1}{1.18p}}+0.1253p+{\frac {1}{1.18p}}=1.2499p+{\frac {2}{1.18p}},}$$es decir, un inductor de 1,2499 H en serie con un condensador de 0,59 F

El circuito se muestra en la figura de la izquierda. Se puede convertir fácilmente a la forma desequilibrada que se muestra en la figura de la derecha. Se trata de un filtro paso bajo con una ondulación en la banda de paso de 1,25  dB, con -3  dB a 0,169  Hz, un punto nulo en la banda de rechazo a 0,414 Hz y una atenuación en la banda de rechazo inferior a -40 dB  más allá de la frecuencia nula . 

Si las impedancias Z _a y Z _b son duales y están normalizadas, de modo que

$${\displaystyle Z_{a}Z_{b}=1}$$

Entonces, la impedancia de imagen Z _I se convierte en una resistencia pura. Una red simétrica que cumple esta condición es una "red de resistencia constante".

Dicha red, terminada en 1 ohmio, se muestra a continuación.

Esto tiene la función de transferencia

$${\displaystyle {\frac {E_{2}}{E_{1}}}={\frac {E_{2}}{I_{1}}}=T={\frac {1-Z_{a}}{1+Z_{a}}}}$$

donde T es la impedancia de transferencia con una carga de 1 ohmio en contraste con la impedancia de transferencia en circuito abierto z ₂₁ . Reordenando esto, se obtiene

$${\displaystyle Z_{a}={\frac {1-T}{1+T}}}$$

Por lo tanto, se considera que la red de resistencia constante ofrece un posible enfoque para la síntesis de funciones de transferencia.

Es cierto que una red de resistencia constante no es menos general que cualquier otra red, lo que significa que cualquier impedancia de transferencia realizable puede realizarse en forma de una red de resistencia constante. ^{[ 20 ] : 233 [ 21 ] : 480} Estas redes son muy convenientes, porque no hay desajuste entre secciones o con terminaciones resistivas. En consecuencia, la pérdida de inserción total de una cascada de secciones de resistencia constante es simplemente la suma total de las secciones individuales. Por el contrario, una impedancia de transferencia compleja dada puede descomponerse en factores multiplicativos, cuyas realizaciones de red individuales, cuando se conectan en cascada, representan una síntesis de esa impedancia de transferencia. Así pues, aunque es posible sintetizar una sola red con impedancias complejas Z _a y Z _b , en la práctica es más fácil construir y alinear una cascada de circuitos más simples.

Ejemplo 6

La respuesta de paso total de segundo orden es

$${\displaystyle T_{6}={\frac {p^{2}-ap+b}{p^{2}+ap+b}}}$$

Esto tiene dos ceros ubicados en${\displaystyle x\pm y}$y dos postes en${\displaystyle -x\pm y}$donde a = 2 x y b = x ² + y ² . Para tal respuesta, la fase varía con la frecuencia, pero la magnitud de T ₆ es unitaria en todas las frecuencias.

Para esta característica, Z _a se encuentra a partir de

$${\displaystyle Z_{a}={\frac {1-T_{6}}{1+T_{6}}}={\frac {ap}{p^{2}+b}}}$$

Así, Z _a es una combinación en paralelo de una capacitancia 1/a y una inductancia de valor a / b . De manera similar, Z _b es un inductor 1/ a en serie con un condensador de valor a / b , y la red se muestra en el lado derecho a continuación.

Las redes reticulares se pueden convertir en circuitos desequilibrados utilizando las propiedades de las redes con elementos comunes tanto en Z _a como en Z _b , mostradas anteriormente, y el teorema de bisección de Bartlett. ^{[ 16 ] : 28}

En el caso de la red de segundo orden, cuando a 2 > b (es decir L 1 > L 2 o C 2 > C 1 o y > √ 3 x ), es necesario utilizar el circuito que contiene bobinas acopladas mutuamente para la red de paso total de segundo orden.

Se puede utilizar una cascada de redes de segundo orden, posiblemente con una única red de primer orden, para obtener una respuesta de orden superior. Por ejemplo, el artículo « Red de retardo reticular» proporciona la ubicación de polos y ceros para diversas funciones de transferencia de paso total que se aproximan a una característica de fase lineal. Dicho artículo también incluye algunos ejemplos.

Una ruta de transmisión típica presenta una pérdida creciente con la frecuencia, lo cual puede corregirse mediante la conexión en cascada del sistema con una red de ecualización que tenga una respuesta creciente con la frecuencia. En este sentido, una configuración de circuito comúnmente utilizada para proporcionar la ecualización necesaria se muestra en la figura titulada "Lattice - circuito ecualizador básico", presentada anteriormente (en la sección sobre "Equivalentes desequilibrados"). Como se indicó allí, la pérdida de inserción del circuito normalizado viene dada por${\displaystyle T={\frac {1}{1+Z_{1}(p)}}}$, por lo que Z ₁ se puede encontrar desde${\displaystyle Z_{1}(p)={\frac {1}{T(p)}}-1}$

Si se permite cierta ondulación residual en la respuesta, una red correctora simple puede ser suficiente para Z ₁ y Z ₂ , pero esta ondulación puede reducirse tanto como se desee mediante la adopción de redes correctoras más complejas. La elección de las ubicaciones de los polos y ceros para Z ₁ y Z ₂ puede facilitarse mediante el método asintótico de línea recta. ^{[ 28 ]}

Ejemplo 7

Una función de transferencia que tiene una respuesta ascendente en un rango de frecuencia limitado es

$${\displaystyle T_{7}(p)={\frac {3.3333+10.3333p+p^{2}}{30.003+31.003p+p^{2}}}={\frac {(0.3333+p)(10+p)}{(1+p)(30.003+p)}}}$$

Nótese que la respuesta se aproxima a la unidad a altas frecuencias. Se puede implementar como una T puenteada o una red en la que Z ₁ es una red RC.

Z ₁ se puede encontrar en${\displaystyle Z_{1}(p)={\frac {1}{T(p)}}-1}$. Entonces${\displaystyle Z_{1}(p)={\frac {26.6697+20.6697p}{3.3333+10.3333p+p^{2}}}}$

La admitancia Y ₁ , donde Y ₁ = 1/ Z ₁ puede expresarse como una fracción continua que contiene cuatro términos, por lo tanto

$${\displaystyle Y_{1}(p)={\frac {p^{2}+10.333p+3.3333}{20.6697p+26.6697}}=0.04838+{\cfrac {1}{2.2857+{\cfrac {1}{0.4747p+{\cfrac {1}{5.7153}}}}}}}$$

Así, Z ₁ puede representarse como una red en escalera RC, al estilo de Cauer ^{[ 21 ]} , y se muestra como parte del circuito en T puenteado que aparece a continuación. Z ₂ es el dual de Z ₁ , y por lo tanto es un circuito RL, como se muestra. El circuito reticular equivalente se muestra en el lado derecho.

Los filtros paso bajo de alto orden se pueden obtener mediante la conexión en cascada de un número apropiado de secciones paso bajo de resistencia constante más simples. ^{[ 21 ] : 484}

La primera de estas secciones de paso bajo, con un solo polo, tiene la respuesta

$${\displaystyle T_{1}={\frac {k_{1}}{p+a}}\qquad so\qquad Z_{a1}={\frac {1-T_{1}}{1+T_{1}}}={\frac {p+(a-k_{1})}{p+(a+k_{1})}}}$$

Proporcionó${\displaystyle k_{1}\leq a}$Esta es una impedancia realizable, donde Z _a1 es una combinación de dos resistencias y un inductor, como se muestra en el circuito de la izquierda a continuación, y Z _b1 es el dual de Z _a1 . Esto se transforma fácilmente en una forma desequilibrada, como se muestra a la derecha.

La segunda de las secciones del filtro, con dos polos, tiene la respuesta

$${\displaystyle T_{2}=k_{2}{\frac {(p+a)}{(p^{2}+b_{1}p+b_{0})}}}$$

Por lo tanto, la impedancia de la red Z _a2 viene dada por:

$${\displaystyle Z_{a2}={\frac {p^{2}+(b_{1}-k_{2})p+(b_{0}-a.k_{2})}{p^{2}+(b_{1}+k_{2})p+(b_{0}+a.k_{2})}}}$$

Se deben cumplir ciertas condiciones para asegurar que esta sea una red realizable, ^{[ 21 ] : 486} que son $${\displaystyle a\geq 0;\qquad k_{2}\leq b_{1};\qquad k_{2}\leq {\frac {b_{0}}{a}}.}$$También$${\displaystyle b_{1}-k_{2}\iff k_{2}\leq b_{1}-a.}$$

Las condiciones establecen límites al valor del multiplicador constante k ₂ en la expresión para T ₂ .

El circuito para los elementos reticulares Z _a2 se muestra a la izquierda, abajo, y el de los elementos duales Z _b se muestra a la derecha.

Los valores de los componentes para Z _a son:$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&={\frac {b_{1}-k_{2}-a}{2k_{2}}}&L&={\frac {1}{2k_{2}}}\\C&={\frac {2k_{2}}{b_{0}-ab_{1}+a^{2}}}{2ak_{2}}&R_{2}&={\frac {b_{0}-ab_{1}+a^{2}}{2ak-2}}\end{aligned}}}$$

y las correspondientes a las impedancias Z _b2 son:$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{3}&={\frac {1}{R_{1}}}\\R_{4}&={\frac {1}{R_{2}}}\\C_{2}&=L_{1}\quad {\text{and}}\quad L_{2}+C_{1}\end{aligned}}}$$

La versión desequilibrada de esta red se muestra a continuación:

Al conectar en cascada varios circuitos de primer y segundo orden, del tipo que acabamos de desarrollar, es posible derivar redes de paso bajo de orden superior del tipo:

$${\displaystyle T_{n}(p)={\frac {k}{p^{n}+b_{n-1}p^{n-1}+\cdots +b_{2}p^{2}+b_{1}p+b_{0}}}}$$

Las redes reticulares así obtenidas pueden convertirse a una forma desequilibrada, siempre que el valor de k sea suficientemente pequeño.

Ejemplo 8

Un filtro paso bajo normalizado de tercer orden máximamente plano tiene la función de transferencia

$${\displaystyle T_{8}={\frac {k}{p^{3}+2p^{2}+2p+1}}}$$

Esto se puede ampliar como

$${\displaystyle T_{8}={\frac {k_{1}}{p+a}}\cdot {\frac {k_{2}(p+a)}{p^{2}+p+1}}\cdot {\frac {1}{p+1}}}$$

Por lo tanto, una cascada de tres redes dará el resultado requerido.

Si se requiere un circuito desequilibrado, debemos aceptar cierta pérdida total. Al elegir k ₁ = k ₂ = a = 0,5, se obtiene la red que se muestra a continuación. Este circuito tiene una pérdida total cuatro veces mayor, mientras que la red en escalera LC convencional ^{[ 1 ] : 605} no tiene pérdida (pero no es una red de resistencia constante).

El desarrollo de las computadoras centrales y, posteriormente, de las computadoras personales, en el último cuarto del siglo XX, permitió el rápido desarrollo de las técnicas de procesamiento numérico. Inicialmente, las computadoras se utilizaron como apoyo al análisis de redes ^{[ 29 ],} luego a métodos de optimización como el método minimax ^{[ 30 ]} , en el diseño de ecualizadores de fase ^{[ 31 ]} y filtros ^{[ 32 ]} , antes de aplicarse directamente a la síntesis de redes. Se han presentado resúmenes de los desarrollos de software en el campo de la síntesis en Taylor y Huang ^{[ 33 ]} y Kuo ^{[ 12 ] : 438 .}

Solo unos pocos de los primeros programas de síntesis han tratado con redes reticulares, pero S-Filsyn (un potente programa de síntesis y análisis ^{[ 34 ]} ) proporciona cierta cobertura de circuitos reticulares y en T puenteados.