Anillo universal de Lazard

En matemáticas, el anillo universal de Lazard es un anillo introducido por Michel Lazard en Lazard (1955) sobre el cual se define la ley de grupo formal unidimensional conmutativa universal .

Existe una ley de grupo formal unidimensional conmutativa universal sobre un anillo conmutativo universal definida de la siguiente manera. Sea

${\displaystyle F(x,y)}$

ser

${\displaystyle x+y+\sum _{i,j}c_{i,j}x^{i}y^{j}}$

para indeterminados${\displaystyle c_{i,j}}$y definimos el anillo universal R como el anillo conmutativo generado por los elementos${\displaystyle c_{i,j}}$, con las relaciones que imponen las leyes de asociatividad y conmutatividad para las leyes de grupos formales. Más o menos por definición, el anillo R tiene la siguiente propiedad universal:

Para cada anillo conmutativo S , las leyes de grupo formales unidimensionales sobre S corresponden a homomorfismos de anillos de R a S. 

El anillo conmutativo R construido arriba se conoce como el anillo universal de Lazard . A primera vista parece increíblemente complicado: las relaciones entre sus generadores son muy desordenadas. Sin embargo, Lazard demostró que tiene una estructura muy simple: es simplemente un anillo de polinomios (sobre los enteros) en generadores de grado 1, 2, 3, ..., donde${\displaystyle c_{i,j}}$tiene título${\displaystyle (i+j-1)}$Daniel Quillen ( 1969 ) demostró que el anillo de coeficientes del cobordismo complejo es naturalmente isomorfo como anillo graduado al anillo universal de Lazard. Por lo tanto, los topólogos suelen regradar el anillo de Lazard de modo que ${\displaystyle c_{i,j}}$tiene título${\displaystyle 2(i+j-1)}$, porque el anillo de coeficientes del cobordismo complejo está graduado uniformemente.

• Adams, J. Frank (1974), Homotopía estable y homología generalizada , University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-00524-9
• Lazard, Michel (1955), "Sur les groupes de Lie formels à un paramètre", Bulletin de la Société Mathématique de France , 83 : 251– 274, doi : 10.24033/bsmf.1462 , MR 0073925 
• Lazard, Michel (1975), Grupos formales conmutativos , Lecture Notes in Mathematics, vol.  443, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0070554 , ISBN 978-3-540-07145-7, MR 0393050 
• Quillen, Daniel (1969), "Sobre las leyes de grupo formales de la teoría del cobordismo complejo y no orientado", Bulletin of the American Mathematical Society , 75 (6): 1293–1298 , doi : 10.1090/S0002-9904-1969-12401-8 , MR 0253350