Secuencia del proveedor de catering perezoso

La secuencia del proveedor de catering perezoso, conocida formalmente como números poligonales centrales , describe el número máximo de piezas de un disco (generalmente se usa un panqueque o una pizza para describir la situación) que se pueden hacer con un número determinado de cortes rectos. Por ejemplo, tres cortes transversales a un panqueque producirán seis piezas si todos los cortes convergen en un punto común dentro del círculo, pero hasta siete si no convergen. Este problema se puede formalizar matemáticamente como el conteo de las celdas en una disposición de líneas ; para generalizaciones a dimensiones superiores, véase la disposición de hiperplanos .

El análogo de esta secuencia en tres dimensiones son los números de pastel .

El número máximo p de piezas que se pueden crear con un número dado de cortes n (donde n ≥ 0 ) viene dado por la fórmula

${\displaystyle p={\frac {n^{2}+n+2}{2}}.}$

Utilizando coeficientes binomiales , la fórmula se puede expresar como

${\displaystyle p=1+{\dbinom {n+1}{2}}={\dbinom {n}{0}}+{\dbinom {n}{1}}+{\dbinom {n}{2}}.}$

En pocas palabras, cada número es igual a un número triangular más 1. Estos son los primeros números de cada fila del triángulo de Floyd .

Como la tercera columna del triángulo de Bernoulli ( k = 2) es un número triangular más uno, forma la secuencia del proveedor perezoso para n cortes, donde n ≥ 2.

La secuencia puede derivarse alternativamente de la suma de hasta los primeros 3 términos de cada fila del triángulo de Pascal : ^{[ 1 ]}

Esta secuencia (secuencia A000124 en el OEIS ) , que comienza con n = 0 , resulta en:

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, 232, 254, 277, 301, 326, 352, 379, 407, 436, 466, 497, 529, ...

Su análogo tridimensional se conoce como los números de pastel . La diferencia entre números de pastel sucesivos da la secuencia del proveedor perezoso. ^{[ 2 ]}

Cuando se corta un círculo n veces para producir el número máximo de piezas, representado como p = f ( n ) , se debe considerar el n -ésimo corte; el número de piezas antes del último corte es f ( n  − 1) , mientras que el número de piezas añadidas por el último corte es n .

Para obtener el máximo número de piezas, la enésima línea de corte debe cruzar todas las demás líneas de corte anteriores dentro del círculo, pero no cruzar ninguna intersección de líneas de corte anteriores. Por lo tanto, la enésima línea se corta en n  − 1 lugares y en n segmentos de línea. Cada segmento divide una pieza del panqueque cortado en ( n  − 1) partes en 2 partes, lo que añade exactamente n al número de piezas. La nueva línea no puede tener más segmentos, ya que solo puede cruzar cada línea anterior una vez. Una línea de corte siempre puede cruzar todas las líneas de corte anteriores, ya que al girar el cuchillo en un ángulo pequeño alrededor de un punto que no es una intersección existente, si el ángulo es lo suficientemente pequeño, intersecará todas las líneas anteriores, incluida la última añadida.

Por lo tanto, el número total de piezas después de n cortes es

${\displaystyle f(n)=n+f(n-1).}$

Esta relación de recurrencia se puede resolver. Si f ( n  − 1) se expande un término, la relación se convierte en

${\displaystyle f(n)=n+(n-1)+f(n-2).}$

La expansión del término f ( n − 2) puede continuar hasta que el último término se reduzca a f (0) , por lo tanto,

${\displaystyle f(n)=n+(n-1)+(n-2)+\cdots +1+f(0).}$

Dado que f (0) = 1 , porque hay una pieza antes de que se realicen los cortes, esto se puede reescribir como

${\displaystyle f(n)=1+(1+2+3+\cdots +n).}$

Esto se puede simplificar utilizando la fórmula para la suma de una progresión aritmética :

${\displaystyle f(n)=1+{\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n^{2}+n+2}{2}}.}$

• Número de pastel
• Dividir un círculo en áreas , donde n es el número de lados de un polígono inscrito.
• Triángulo de Floyd
• Teorema de la pizza

• Moore, TL (1991), "Uso de la fórmula de Euler para resolver problemas de separación de planos", The College Mathematics Journal , 22 (2), Mathematical Association of America: 125–130 , doi : 10.2307/2686448 , JSTOR 2686448 .

• Steiner, J. (1826), "Einige Gesetze über die Theilung der Ebene und des Raumes ("Algunas declaraciones sobre la división del plano y del espacio")", J. Reine Angew. Matemáticas. , 1 : 349-364​.

• Wetzel, JE (1978), "Sobre la división del plano por líneas" (PDF) , American Mathematical Monthly , 85 (8), Mathematical Association of America: 647–656 , doi : 10.2307/2320333 , JSTOR 2320333 , archivado del original (PDF) el 21-07-2011 , recuperado el 15-12-2008. .

• Weisstein, Eric W. "División de círculos por líneas" . MathWorld .