Teorema de Le Cam

En teoría de la probabilidad , el teorema de Le Cam , que lleva el nombre de Lucien Le Cam , establece lo siguiente: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Suponer:

• ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$son variables aleatorias independientes , cada una con una distribución de Bernoulli (es decir, igual a 0 o 1), no necesariamente idénticamente distribuidas.
• ${\displaystyle \Pr(X_{i}=1)=p_{i},{\text{ para }}i=1,2,3,\ldots .}$
• ${\displaystyle \lambda _{n}=p_{1}+\cdots +p_{n}.}$
• ${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}.}$ (es decir${\displaystyle S_{n}}$sigue una distribución binomial de Poisson )

Entonces

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left|\Pr(S_{n}=k)-{\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}} \over k!}\right|<2\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}\right).}$

En otras palabras, la suma tiene aproximadamente una distribución de Poisson y la desigualdad anterior limita el error de aproximación en términos de la distancia de variación total .

Al establecer p _i = λ _n / n , vemos que esto generaliza el teorema límite de Poisson usual .

Cuando${\displaystyle \lambda _{n}}$Si es grande, es posible una mejor cota:${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left|\Pr(S_{n}=k)-{\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}} \over k!}\right|<2\left(1\wedge {\frac {1}{\lambda }}_{n}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}\right)}$, ^{[ 4 ]} donde${\displaystyle \wedge }$representa el${\displaystyle \min }$operador.

También es posible debilitar el requisito de independencia. ^{[ 4 ]}

• Weisstein, Eric W. "La desigualdad de Le Cam" . MathWorld .