Le Mecaniche

Galileo comienza enfatizando la utilidad de los instrumentos mecánicos, pero señala que los mecánicos a menudo se equivocan al aplicarlos a operaciones que son naturalmente imposibles, como levantar cargas muy pesadas con una fuerza mínima, como si las máquinas pudieran engañar a la naturaleza. Como él mismo indica, la naturaleza no nos permite vencer la resistencia a menos que la fuerza aplicada sea suficiente. Luego se propone demostrar no solo cómo las máquinas permiten mover pesos que de otro modo serían inamovibles con una fuerza menor, sino también ilustrar las ventajas más amplias reveladas por este estudio. ^{[ 41 ]} Con esto en mente, señala que hay cuatro aspectos a considerar para el movimiento mecánico:

1. el peso que se va a transferir de un lugar a otro;
2. la fuerza o potencia que debe mover el peso;
3. la distancia entre el principio y el final de este movimiento; y
4. el tiempo en que debe realizarse el cambio (que llega a significar lo mismo que la rapidez y velocidad de su movimiento, en el que ser "más rápido" significa recorrer la misma distancia en menos tiempo). ^{[ 42 ]}

Dada una resistencia determinada y delimitando una fuerza, y considerando la distancia de su movimiento, un peso será impulsado por una fuerza dada a una distancia determinada. Incluso si la fuerza es pequeña, podemos dividir el peso en muchas partes, cada una de las cuales no es superior a la fuerza. Al transferir estas partes una a una, el peso completo puede finalmente moverse a la ubicación deseada. De esta manera, no decimos que todo el peso fue trasladado por una fuerza pequeña, sino que la fuerza pequeña se aplica a través de muchos movimientos y espacios repetidos, de los cuales el peso completo solo recorre una vez. ^{[ 43 ]}

De esto se desprende que la velocidad de la fuerza es mayor que la resistencia del peso en una proporción igual a la diferencia entre el peso y la fuerza, ya que, en el tiempo que tarda la fuerza en recorrer la misma distancia, el peso total la recorre una sola vez. Por lo tanto, en mecánica, "engañar" a la naturaleza significa que una fuerza menor mueva una resistencia mayor a una velocidad igual a la de esta última, lo cual es imposible para cualquier máquina. ^{[ 44 ]}

Galileo enumera a continuación la utilidad específica de las máquinas, señalando que cualquier otra cosa es simplemente un engaño y empresas imposibles. ^{[ 45 ]}

La primera utilidad de las máquinas radica en la necesidad de mover un gran peso, en su totalidad, a lo largo de una distancia con una fuerza mínima. Estas máquinas requieren la misma fuerza para recorrer la misma distancia tantas veces como el peso la exceda. Por lo tanto, al final del desplazamiento, el único beneficio obtenido de la máquina es haber transportado el peso completo de una sola pieza con la fuerza aplicada, lo cual, si el peso se hubiera dividido en partes, se habría podido transportar sin la máquina con la misma fuerza, en el mismo tiempo y a través de la misma distancia. Sin embargo, esto hace que la máquina sea útil, ya que a menudo necesitamos mover grandes pesos en su totalidad con menos fuerza, aunque a costa de más tiempo. ^{[ 46 ]}

La segunda utilidad de las máquinas depende del lugar donde se realice la operación. Por ejemplo, al extraer agua de un pozo, utilizamos una cuerda y un cubo. Con esto, extraemos una cantidad determinada de agua tras un cierto tiempo con nuestra fuerza limitada; sería erróneo creer que una máquina, por muy compleja que sea, podría extraer una mayor cantidad de agua con la misma fuerza en el mismo tiempo. Sin embargo, existen otros instrumentos capaces de extraer agua, como las bombas de achique que se utilizan para evacuar el agua de los barcos. Estas bombas no se utilizan para transportar grandes cantidades de agua en el mismo tiempo con la misma fuerza que requeriría un simple cubo, sino que se utilizan porque la forma del cubo resultaría inconveniente, ya que se necesitaría una profundidad suficiente para sumergirlo en el agua y extraer el agua. Las mismas bombas se utilizan en bodegas donde el agua solo se puede extraer de forma oblicua, lo que no sería posible con una cuerda y un cubo. ^{[ 47 ]}

La tercera utilidad de las máquinas (que, en opinión de Galileo, es la más útil) reside en que pueden ser impulsadas por una fuerza inanimada o una fuerza animada barata en comparación con la fuerza humana. Por ejemplo, usar el flujo de un río para hacer girar un molino, o la fuerza de un caballo, para lo cual varios hombres no serían suficientes: la fuerza del río cuesta poco o nada, y mantener un caballo cuya fuerza supera la de ocho o más hombres es mucho más barato que mantener y sostener a tantos hombres. ^{[ 48 ]}

Galileo introduce entonces términos especiales utilizados para su análisis de la mecánica, junto con sus supuestos básicos. ^{[ 49 ]}

La pesadez ( gravità ) es la tendencia de los cuerpos pesados ​​a moverse hacia abajo de forma natural. En los cuerpos sólidos, la pesadez se debe a la mayor o menor abundancia de materia ( materia ). ^{[ 50 ]} Es interesante notar que Galileo no reduce la pesadez al peso ( peso ) ni afirma que deba medirse por peso. ^{[ 51 ]}

El momento es la tendencia de los cuerpos pesados ​​a moverse hacia abajo, causada no solo por el peso del móvil, sino también por la disposición que tienen entre sí los diferentes cuerpos pesados. Es a través del momento que se puede observar que un cuerpo menos pesado contrarresta a otro de mayor peso. Por ejemplo, en la balanza de acero , un pequeño contrapeso puede levantar un peso muy pesado, no por su mayor peso (del que carece), sino por la distancia de suspensión del contrapeso. Esta disposición, en combinación con su peso, contribuye a su momento e ímpetu (es decir, impulso, propensión o tendencia; que no debe confundirse con el ímpetu buridanista ) a ir hacia abajo, lo que puede superar el momento del otro peso más pesado. Así pues, el momento es ese ímpetu para ir hacia abajo, basado en el peso, la posición y cualquier otro factor que pueda causar esta tendencia (Galileo demostrará más adelante que la velocidad también es un factor cuando haga girar virtualmente la palanca, como se demuestra en la siguiente sección de Observaciones). ^{[ 52 ]}

En la época de Galileo, la palabra «momento» ( momento ), que ya se había empleado en escritos latinos sobre estática ( momentum ), era nueva en su sentido técnico en la literatura italiana y sería criticada posteriormente por su uso en la obra de Galileo sobre hidrostática ( Discurso sobre los cuerpos que permanecen sobre el agua o se mueven en ella), a lo que Galileo respondería proporcionando una definición mecánica de momento en la segunda edición del Discurso , y añadiría además su sentido técnico junto con los usos fraseológicos y metafóricos del término en la segunda edición del Vocabulario Crusca de 1623. ^{[ 53 ]} La definición mecánica de momento de Galileo persistió junto con las definiciones fraseológicas y metafóricas en los diccionarios hasta la quinta edición, impresa en 1910. ^{[ 54 ]}

El centro de gravedad es el punto en todo cuerpo pesado alrededor del cual se disponen partes de igual momento. Así, al suspender un cuerpo de dicho punto, las partes a la derecha equilibran las de la izquierda, las partes delanteras equilibran las traseras, y las superiores equilibran las inferiores. Por lo tanto, el cuerpo suspendido de dicho punto no se inclinará en ninguna dirección y permanecerá estable independientemente de su ubicación o posición. Este es el punto que se uniría con el centro general de todas las cosas pesadas, es decir, el centro de la Tierra, si el cuerpo pudiera descender en algún medio libre. ^{[ 55 ]}

Esta definición se originó con Federico Commandino . Arquímedes también utilizó el centro de gravedad, pero dejó el término sin definir; sin embargo, es más probable que la definición se proporcionara en una obra anterior, ahora perdida. ^{[ 56 ]}

De lo anterior se derivan tres suposiciones:

1. Todos los cuerpos pesados ​​se mueven hacia abajo de tal manera que su centro de gravedad nunca se apartará de la línea recta que va desde este centro hasta el centro de la Tierra;
2. Todo cuerpo pesado es atraído hacia abajo principalmente sobre su centro de pesadez, y recibe allí todo impulso, pesadez y momento; y
3. El centro de gravedad de dos cuerpos de igual masa se encuentra en el punto medio de la línea recta que une sus respectivos centros; o, dicho de otro modo, dos cuerpos iguales suspendidos a distancias iguales tienen un punto de equilibrio en el punto medio entre dichas distancias. ^{[ 57 ]}

Galileo señala entonces que las distancias entre las pesas y su fulcro deben medirse con líneas perpendiculares trazadas desde sus puntos de suspensión hacia abajo (hacia el centro común de los cuerpos pesados) sobre las líneas rectas trazadas entre los centros de masa de las dos pesas iguales. Por ejemplo, en una balanza de dos cuerpos de igual peso, si uno de los brazos de la balanza se doblara hacia arriba desde el fulcro, las pesas dejarían de equilibrarse, ya que, si dejáramos caer una plomada desde el peso del brazo doblado sobre la línea recta previamente trazada, la distancia medida desde el punto de fulcro de los dos cuerpos de igual peso hasta la intersección con la plomada sería menor que la del otro lado. ^{[ 58 ]}

Galileo luego pasa a un principio mecánico importante y bien conocido: que pesos desiguales que cuelgan de distancias desiguales se equilibran cuando dichas distancias son inversamente proporcionales a los pesos , lo cual demuestra en términos de "momentos" iguales utilizando una varilla de densidad uniforme que se divide arbitrariamente en dos partes y se cuelga de cuerdas respectivas en una balanza. ^{[ 59 ]} Galileo volverá a realizar esta demostración el segundo día de sus Dos Nuevas Ciencias . ^{[ 60 ]}

Tras establecer el caso de momentos iguales de la palanca, Galileo señala otra verdad "probable". Como ya se ha establecido, si consideramos una palanca que equilibra pesos desiguales a distancias inversas (es decir, un estado de momentos iguales), pero ahora se le da hipotéticamente a un lado un momento mínimo de pesadez (es decir, una adición imperceptible de peso capaz de romper el equilibrio), este lado descenderá, aunque lentamente, mientras que el otro asciende. Dado que cualquier pesadez mínima (e imperceptible) es suficiente para romper el equilibrio, podemos ignorar esta cantidad, de modo que la fuerza que tiene un peso para sostener un segundo peso, comparada con la fuerza para mover el segundo peso, es esencialmente indistinguible. En otras palabras, el peso mínimo adicional es tan pequeño e insignificante (pero suficiente para poner el sistema en movimiento) que la capacidad de los pesos para producir equilibrio estático en la palanca es también la misma capacidad de los mismos pesos para mantener el movimiento en la palanca. ^{[ 61 ]}

Esta disposición constituye la base del análisis mecánico mediante desplazamientos virtuales y velocidades virtuales (y posteriormente, durante el análisis de planos inclinados, el principio del trabajo virtual ). El análisis mediante velocidades virtuales se originó a partir de Aristóteles. ^{[ 62 ] [ 63 ]}

Ahora bien, a medida que un peso desciende y el otro asciende, las longitudes de arco descritas por los respectivos pesos (y, asimismo, sus velocidades, tras un cierto intervalo de tiempo) siempre guardan la misma proporción que la proporción de sus distancias al punto de apoyo. Por lo tanto, dado que los pesos son inversamente proporcionales a sus distancias, podemos concluir que también son inversamente proporcionales a sus velocidades. En consecuencia, se puede afirmar que la resistencia del peso más pesado, con su menor velocidad, se compensa con la mayor velocidad del peso más ligero, y viceversa. Galileo concluye entonces que este razonamiento demuestra que un aumento en la velocidad del movimiento es proporcional a un aumento en el momento. ^{[ 64 ]}

El concepto de momento , en el sentido moderno, se deriva directamente de esta construcción; sin embargo, Galileo nunca disoció completamente su análisis del momento de los sistemas conectados. ^{[ 65 ]}

Galileo señala que es importante saber cómo se entienden y miden las distancias iguales y desiguales. En una balanza recta con dos pesas iguales en sus extremos, el equilibrio se encuentra en el punto medio de estos extremos porque los brazos de la balanza tienen la misma longitud. Sin embargo, si uno de los brazos de palanca se dobla en el punto medio, la balanza no estará en equilibrio porque la distancia efectiva de la pesa sobre el brazo doblado es menor que la del otro. Así, si consideramos las líneas (verticales) a lo largo de las cuales las pesas generan su impulso y a lo largo de las cuales descenderían si no estuvieran sujetas, Galileo indica que las distancias medidas no deben medirse en el punto de conexión o suspensión, sino la distancia horizontal que va desde las líneas verticales trazadas desde la pesa hasta el punto de apoyo. Además, debe asegurarse que estas líneas formen ángulos rectos en sus intersecciones. ^{[ 66 ]}

Galileo observa que todos los cuerpos pesados, cuando están libres, tienden a moverse hacia el centro de la Tierra en línea recta. Sin embargo, cuando encuentran una obstrucción en cualquier otra línea inclinada hacia el centro de la Tierra, seguirán moviéndose hacia abajo, aunque más lentamente. Por ejemplo, el agua fluye sobre la superficie de la Tierra siguiendo líneas inclinadas, como se observa en los ríos, incluso cuando la inclinación del lecho fluvial es mínima. ^{[ 79 ]}

Los sólidos se comportan de la misma manera, siempre que su forma y otros impedimentos externos no impidan su movimiento. Así, si tenemos una superficie lisa y pulida, como un espejo, y colocamos una bola lisa y redonda de mármol, vidrio u otro material pulible sobre ella, la bola se moverá, siempre que la superficie tenga al menos una ligera inclinación; sin embargo, si la superficie está perfectamente nivelada, equidistante del plano del horizonte, la bola permanecerá inmóvil. Por ejemplo, una bola se mantendrá inmóvil sobre un lago o estanque congelado, que de otro modo se movería con una fuerza extremadamente pequeña. Si el plano sobre el que descansa la bola estuviera ligeramente inclinado, la bola se movería espontáneamente hacia el extremo inferior del plano, y de igual modo, encontraría resistencia al movimiento hacia el extremo superior. Por lo tanto, es evidente que una bola colocada sobre una superficie exactamente horizontal permanecería indiferente entre el movimiento y el reposo, de modo que cualquier fuerza mínima sería suficiente para moverla, al igual que cualquier resistencia mínima, como el aire que la rodea, sería capaz de mantenerla inmóvil. ^{[ 80 ]}

De esto, Galileo concluye que tenemos un axioma: sin ningún impedimento externo, los cuerpos pesados ​​pueden moverse en el plano horizontal con cualquier fuerza mínima . Si el mismo cuerpo pesado debe ser impulsado hacia arriba en un plano, se requerirían fuerzas mayores para mayores elevaciones verticales del mismo plano (es decir, mayores alturas para mayores inclinaciones, por rotación, del mismo plano). Luego proporciona un diagrama que ilustra varias inclinaciones de la misma longitud de plano, mostrando que un cuerpo pesado tiene mayor impulso para descender a lo largo de pendientes más pronunciadas, lo que, a su vez, requiere una mayor fuerza para impulsarlo hacia arriba en el plano; la mayor resistencia al movimiento se encuentra a lo largo de la vertical; sin embargo, a lo largo de la horizontal, el cuerpo pesado permanece indiferente al movimiento o al reposo, pudiendo ser movido por cualquier fuerza mínima. ^{[ 81 ]}

A partir de lo anterior, Galileo plantea la pregunta: ¿qué proporción debe tener una fuerza con respecto a un peso para empujarlo hacia arriba a lo largo de diferentes planos inclinados? Para ello, Galileo se propone demostrar que el mismo peso sobre un plano inclinado será movido hacia arriba por una fuerza menor que a lo largo de una distancia vertical, en proporción a la elevación vertical del plano inclinado con respecto a la longitud inclinada del mismo. ^{[ 82 ]}

Gran parte de la siguiente construcción imita la misma que se muestra en un capítulo de la obra anterior de Galileo , De Motu ; sin embargo, en esta ocasión, Galileo evita cualquier mención de la relación de velocidades. ^{[ 83 ]}

Galileo comienza afirmando que la teoría que presenta fue originalmente intentada por Pappus de Alejandría en el octavo libro de sus Colecciones Matemáticas ; sin embargo, argumenta que Pappus fracasó porque asumió que los cuerpos pesados ​​requieren una fuerza aplicada para moverse a lo largo del plano horizontal, lo cual Galileo afirma que es falso. ^{[ 84 ]}

En su construcción, Galileo se basa en la analogía de una palanca doblada para analizar el plano inclinado. A medida que la palanca doblada que sostiene un peso se inclina hacia abajo, su momento y su impulso hacia abajo disminuyen conforme aumenta el apoyo que ejerce sobre el peso a lo largo de su radio. Argumenta entonces que esta disposición no sería diferente si el peso se colocara sobre una superficie circular, de modo que la superficie lo sostuviera en lugar del radio de la palanca; en ambos casos, la trayectoria restringida del peso es la misma. Así, cuando la palanca está recta (es decir, no doblada), el peso ejerce su momento máximo y se comportaría de la misma manera si se colocara, sin suspensión, contra una superficie vertical. Si la palanca se dobla ligeramente hacia abajo, el peso se sostiene parcialmente por el radio de la palanca, o equivalentemente, parcialmente por la superficie curva que se encuentra debajo, ejerciendo su momento solo parcialmente. Por lo tanto, si el peso comenzara su movimiento en la posición de la palanca doblada, sería como si estuviera sobre un plano inclinado cuya pendiente es la misma que la tangente del círculo en esa posición. ^{[ 85 ]}

Mediante este método, Galileo puede hallar geométricamente (a través de triángulos semejantes) la razón de los momentos de un peso sobre un plano inclinado: la razón entre el momento total del peso sobre la vertical y el momento parcial del mismo peso apoyado en el plano inclinado es igual a la razón entre la longitud de la pendiente del plano y la elevación vertical del plano . Además, para sostener el peso a lo largo de la vertical, la fuerza de sustentación debe ser igual al peso; y para sostener el peso a lo largo de la pendiente, la fuerza de sustentación debe ser proporcionalmente menor, al igual que la elevación vertical es menor que la longitud de la pendiente. Galileo concluye entonces: puesto que, en general, la fuerza para mover un peso solo necesita superar insensiblemente la necesaria para sostenerlo, entonces la fuerza a lo largo del plano inclinado tiene la misma proporción con el peso que la elevación vertical con la longitud de la pendiente del plano , de modo que la fuerza es suficiente para sostener el peso en el plano inclinado y también es la fuerza mínima suficiente para empujar el peso hacia arriba a lo largo del plano inclinado, respondiendo así a la pregunta inicial planteada. ^{[ 86 ]}

En esta configuración, al reducir el análisis de la fuerza en el plano inclinado a la componente vertical, Galileo utiliza el principio de velocidades virtuales. Además, su previa reducción de movimientos circulares a tangenciales, junto con la fuerza insensible en su análisis, introduce de hecho el uso de desplazamientos infinitesimales en lugar de movimientos macroscópicos. ^{[ 87 ]}

Galileo observa que un peso que se desliza por un plano inclinado a lo largo de un plano fijo es lo mismo que si el peso se moviera verticalmente mientras el plano inclinado se desplaza horizontalmente (actuando esencialmente como una cuña). Teniendo en cuenta este plano inclinado en movimiento, Galileo afirma que el tornillo no es más que un plano inclinado enrollado alrededor de un cilindro para formar una rosca, lo que convierte al tornillo en una versión compacta del plano inclinado. ^{[ 88 ]}

Habiendo demostrado previamente que la fuerza que actúa sobre un peso colocado en un plano inclinado es proporcional a la fuerza que ejerce el mismo peso colocado verticalmente, en proporción a la elevación vertical del plano inclinado y su longitud, se observa que la fuerza se multiplica por el tornillo según la relación entre la longitud de la rosca y su altura. Por lo tanto, cuantas más roscas tenga el tornillo a la misma altura, mayor será la fuerza de presión vertical. ^{[ 89 ]}

Por último, Galileo nos recuerda el principio que se aplica a todos los instrumentos mecánicos: lo que se gana en fuerza se pierde en tiempo y velocidad. Demuestra este principio con el tornillo, utilizando como ejemplo un peso elevado sobre un plano inclinado. ^{[ 90 ]}

Consideremos un peso colocado sobre un plano inclinado, y conectado a dicho peso mediante una cuerda inextensible hay un contrapeso que cuelga verticalmente sobre el borde del plano. Si la proporción de la fuerza producida por el contrapeso en la vertical con respecto al peso en el plano inclinado es la misma que la elevación vertical del plano con respecto a la longitud inclinada (aquí, Galileo está aplicando la relación hallada en la sección anterior para construir una condición de equilibrio para los dos pesos de tal manera que la fuerza reducida del peso en el plano inclinado, que ahora se puede determinar a partir de la relación, se cancela con la fuerza opuesta equivalente del contrapeso; como se describió anteriormente, esta disposición se puede reducir a la analogía de la palanca doblada en la que el contrapeso está en un lado de una palanca mientras que el otro peso, más pesado, está en el lado doblado, de manera que la relación de los pesos es inversamente proporcional a sus distancias horizontales desde el fulcro), y si se permitiera que estos pesos acoplados se movieran (quizás mediante la adición de algún peso insensible), entonces, en virtud de la cuerda de conexión, el contrapeso colgante recorrerá un espacio igual al espacio recorrido por el otro peso en el plano inclinado. ^{[ 91 ]}

En esta disposición, el espacio recorrido por el peso a lo largo de toda la longitud del plano inclinado corresponde a un desplazamiento vertical igual a la elevación vertical del plano, mientras que, con el mismo movimiento, el contrapeso colgante debe descender verticalmente la misma distancia que la longitud total de la porción inclinada del plano. Dado que los cuerpos pesados ​​no ofrecen resistencia al movimiento excepto cuando se desplazan lejos del centro de la Tierra (siendo esta la base del principio del trabajo virtual en el contexto del principio de inercia limitada de Galileo ^{[ 92 ]} ), entonces, a partir de la construcción, podemos decir que el recorrido de la fuerza del contrapeso colgante tiene la misma relación con el recorrido de la fuerza del peso en la pendiente que la longitud del plano inclinado con la elevación vertical del plano inclinado, o que el peso con el contrapeso . ^{[ 93 ]}

Esta demostración se retoma en la segunda edición de Las dos nuevas ciencias de Galileo , en la que Vincenzo Viviani , bajo la dirección de Galileo, incluye un escolio adjunto justo después del segundo teorema del movimiento acelerado (y sus corolarios) del tercer día; sin embargo, la discusión omite el análisis de la palanca doblada. ^{[ 94 ]}

Galileo comenta que el tornillo de Arquímedes es «no solo maravilloso, sino milagroso», ya que el agua asciende dentro de un tornillo que desciende continuamente. A continuación, explica su funcionamiento junto con los ángulos necesarios para su operación. ^{[ 95 ]}