Teorema de desaparición de Le Potier

En geometría algebraica , el teorema de anulación de Le Potier es una extensión del teorema de anulación de Kodaira , en fibrados vectoriales . El teorema establece lo siguiente ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

Le Potier (1975) : Sea X una variedad compleja compacta n -dimensional y E un fibrado vectorial holomorfo de rango r sobre X, aquí${\displaystyle H^{p,q}(X,E)}$es el grupo de cohomología de Dolbeault , donde${\displaystyle \Omega _{X}^{p}}$denota el haz de p- formas holomorfas en X. Si E es un amplio , entonces

${\displaystyle H^{p,q}(X,E)=0}$para${\displaystyle p+q\geq n+r}$.

del teorema de Dolbeault ,

${\displaystyle H^{q}(X,\Omega _{X}^{p}\otimes E)=0}$para${\displaystyle p+q\geq n+r}$.

Por dualidad de Serre , las afirmaciones son equivalentes a las siguientes:

${\displaystyle H^{i}(X,\Omega _{X}^{j}\otimes E^{*})=0}$para${\displaystyle j+i\leq nr}$.

En el caso de r = 1, y sea E un fibrado lineal amplio (o positivo) en X, este teorema es equivalente al teorema de anulación de Nakano . Además, Schneider (1974) encontró otra demostración.

Sommese (1978) generaliza el teorema de desaparición de Le Potier a un k-ejemplo y la afirmación es la siguiente: ^{[ 2 ]}

Teorema de desaparición de Le Potier-Sommese: Sea X una variedad algebraica n- dimensional y E un fibrado vectorial holomorfo k-amplio de rango r sobre X, entonces

${\displaystyle H^{p,q}(X,E)=0}$para${\displaystyle p+q\geq n+r+k}$.

Demailly (1988) dio un contraejemplo, que es el siguiente: ^{[ 1 ] [ 10 ]}

Conjetura de Sommese (1978) : Sea X una variedad compleja compacta n -dimensional y E un fibrado vectorial holomorfo de rango r sobre X. Si E es un amplio, entonces

${\displaystyle H^{p,q}(X,\Lambda ^{a}E)=0}$para${\displaystyle p+q\geq n+r-a+1}$es falso para${\displaystyle n=2r\geq 6.}$

• teorema de desaparición
• Teorema de Barth-Lefschetz

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• Demailly, Jean-Pierre, Geometría analítica y diferencial compleja (PDF)(Libro de contenido abierto)