Orden monomial

La elección de un orden total en los monomios permite ordenar los términos de un polinomio. El término principal de un polinomio es, por lo tanto, el término del monomio de mayor tamaño (para el orden de monomios elegido).

Concretamente, sea R un anillo cualquiera de polinomios. Entonces, el conjunto M de los monomios (mónicos) en R es una base de R , considerada como un espacio vectorial sobre el cuerpo de los coeficientes. Por lo tanto, cualquier polinomio no nulo p en R tiene una expresión única. ${\displaystyle p=\textstyle \sum _{u\in S}c_{u}u}$ como una combinación lineal de monomios, donde S es un subconjunto finito de M y los c _u son todos distintos de cero. Cuando se ha elegido un orden monomial, el monomio principal es el u más grande en S , el coeficiente principal es el c _u correspondiente , y el término principal es el c _u u correspondiente . A veces se usa monomio/coeficiente/término principal como sinónimo de "principal". Algunos autores usan "monomio" en lugar de "término" y "producto de potencia" en lugar de "monomio". En este artículo, se supone que un monomio no incluye un coeficiente.

La propiedad definitoria de los ordenamientos monomiales implica que el orden de los términos se mantiene al multiplicar un polinomio por un monomio. Asimismo, el término principal de un producto de polinomios es el producto de los términos principales de los factores.

El orden lexicográfico (lex) compara primero los exponentes de x₁ en los monomios y, en caso de igualdad, compara los exponentes de _{x₂ ,} y así sucesivamente. Su nombre deriva de la similitud con el orden alfabético habitual utilizado en lexicografía para los diccionarios, cuando los monomios se representan mediante la secuencia de los exponentes de los indeterminados. Si el número de indeterminados es fijo (como suele ser el caso), el orden lexicográfico es un buen orden , aunque esto no ocurre cuando se aplica a secuencias de longitud variable.

Para monomios de grado como máximo dos en dos indeterminadas${\displaystyle x_{1},x_{2}}$, el orden lexicográfico (con${\displaystyle x_{1}>x_{2}}$) es

$${\displaystyle x_{1}^{2}>x_{1}x_{2}>x_{1}>x_{2}^{2}>x_{2}>1.}$$

En los cálculos basados ​​en la teoría de Gröbner , el ordenamiento lexicográfico suele ser el más costoso; por lo tanto, debe evitarse en la medida de lo posible, excepto para cálculos muy sencillos.

El orden lexicográfico graduado (grlex, o deglex para orden lexicográfico de grado ) primero compara el grado total (suma de todos los exponentes) y, en caso de empate, aplica el orden lexicográfico. Este orden no solo es un buen orden, sino que también tiene la propiedad de que cualquier monomio está precedido únicamente por un número finito de otros monomios; esto no ocurre con el orden lexicográfico, donde todas las potencias (infinitas) de y son menores que x (el hecho de que el orden lexicográfico sea un buen orden se relaciona con la imposibilidad de construir una cadena decreciente infinita de monomios).

Para monomios de grado como máximo dos en dos indeterminadas${\displaystyle x_{1},x_{2}}$, el orden lexicográfico graduado (con${\displaystyle x_{1}>x_{2}}$) es

$${\displaystyle x_{1}^{2}>x_{1}x_{2}>x_{2}^{2}>x_{1}>x_{2}>1.}$$

Aunque muy natural, este ordenamiento se usa raramente: la base de Gröbner para el orden lexicográfico inverso graduado, que se presenta a continuación, es más fácil de calcular y proporciona la misma información sobre el conjunto de polinomios de entrada.

El orden lexicográfico inverso graduado (grevlex, o degrevlex para orden lexicográfico inverso de grado ) compara primero el grado total, luego usa un orden lexicográfico como desempate, pero invierte el resultado de la comparación lexicográfica de modo que los monomios lexicográficamente mayores del mismo grado se consideran degrevlex menores. Para que el orden final muestre el orden convencional x ₁ > x ₂ > ... > x _n de los indeterminados, es necesario además que el orden lexicográfico de desempate antes de la inversión considere al último indeterminado x _n como el mayor, lo que significa que debe comenzar con ese indeterminado. Una receta concreta para el orden lexicográfico inverso graduado consiste, por lo tanto, en comparar primero por el grado total, luego comparar los exponentes del último indeterminado x _n pero invirtiendo el resultado (de modo que el monomio con el exponente más pequeño sea mayor en el ordenamiento), seguido (como siempre solo en caso de empate) por una comparación similar de x _{n −1} , y así sucesivamente hasta terminar con x ₁ .

Las diferencias entre los órdenes lexicográficos graduados y los órdenes lexicográficos inversos graduados son sutiles, ya que de hecho coinciden para los indeterminados 1 y 2. La primera diferencia se presenta para los monomios de grado 2 en los indeterminados 3, que se ordenan lexicográficamente graduados como${\displaystyle x_{1}^{2}>x_{1}x_{2}>x_{1}x_{3}>x_{2}^{2}>x_{2}x_{3}>x_{3}^{2}}$pero ordenado lexicográficamente inverso graduado como${\displaystyle x_{1}^{2}>x_{1}x_{2}>x_{2}^{2}>x_{1}x_{3}>x_{2}x_{3}>x_{3}^{2}}$La tendencia general es que el orden inverso muestra todas las variables entre los monomios pequeños de cualquier grado dado, mientras que con el orden no inverso los intervalos de los monomios más pequeños de cualquier grado dado solo se formarán a partir de las variables más pequeñas.

El orden de bloques o el orden de eliminación (lexdeg) se puede definir para cualquier número de bloques, pero, por simplicidad, consideramos solo el caso de dos bloques (sin embargo, si el número de bloques es igual al número de variables, este orden es simplemente el orden lexicográfico). Para este ordenamiento, las variables se dividen en dos bloques x ₁ ,..., x _h e y ₁ ,..., y _k y se elige un ordenamiento monomial para cada bloque, generalmente el orden lexicográfico inverso graduado. Dos monomios se comparan comparando su parte x , y en caso de empate, comparando su parte y . Este ordenamiento es importante ya que permite la eliminación , una operación que corresponde a la proyección en geometría algebraica .

El orden de los pesos depende de un vector${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {R} _{\geq 0}^{n}}$llamado vector de peso. Primero compara el producto escalar de las secuencias de exponentes de los monomios con este vector de peso y, en caso de empate, utiliza algún otro orden fijo de monomios. Por ejemplo, los órdenes graduados anteriores son órdenes de peso para el vector de peso de "grado total" (1,1,...,1). Si los a _i son números racionalmente independientes (de modo que en particular ninguno de ellos es cero y todas las fracciones${\displaystyle {\tfrac {a_{i}}{a_{j}}}}$son irracionales) entonces nunca puede ocurrir un empate, y el vector de peso en sí especifica un orden monomial. En el caso contrario, se podría usar otro vector de peso para romper empates, y así sucesivamente; después de usar n vectores de peso linealmente independientes, no puede haber ningún empate restante. De hecho, se puede definir cualquier orden monomial mediante una secuencia de vectores de peso ( Cox et al. pp.  72–73 ), por ejemplo (1,0,0,...,0), (0,1,0,...,0), ... (0,0,...,1) para lex, o (1,1,1,...,1), (1,1,..., 1,0), ... (1,0,...,0) para grevlex.

Por ejemplo, consideremos los monomios${\displaystyle xy^{2}z}$,${\displaystyle z^{2}}$,${\displaystyle x^{3}}$, y${\displaystyle x^{2}z^{2}}$; los órdenes monomiales anteriores ordenarían estos cuatro monomios de la siguiente manera:

• Lex:${\displaystyle x^{3}>x^{2}z^{2}>xy^{2}z>z^{2}}$(poder de${\displaystyle x}$domina).
• Grlex:${\displaystyle x^{2}z^{2}>xy^{2}z>x^{3}>z^{2}}$(el grado total domina; mayor potencia de${\displaystyle x}$rompió el empate entre los dos primeros).
• Grevlex:${\displaystyle xy^{2}z>x^{2}z^{2}>x^{3}>z^{2}}$(el grado total domina; menor potencia de${\displaystyle z}$rompió el empate entre los dos primeros).
• Un orden de peso con vector de peso (1,2,4):${\displaystyle x^{2}z^{2}>xy^{2}z>z^{2}>x^{3}}$(los productos escalares 10 > 9 > 8 > 3 no dejan ningún empate que resolver aquí).