Dependencia racional

En matemáticas , una colección de números reales es racionalmente independiente si ninguno de ellos puede escribirse como una combinación lineal de los otros números de la colección con coeficientes racionales . Una colección de números que no es racionalmente independiente se denomina racionalmente dependiente . Por ejemplo, tenemos el siguiente ejemplo.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{independent}}\qquad \\\underbrace {\overbrace {3,\quad {\sqrt {8}}\quad } ,1+{\sqrt {2}}} \\{\mbox{dependent}}\\\end{matrix}}}$

Porque si lo dejamos , entonces . ${\displaystyle x=3,y={\sqrt {8}}}$${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}={\frac {1}{3}}x+{\frac {1}{2}}y}$

Se dice que los números reales ω ₁ , ω ₂ , ... , ω _n son racionalmente dependientes si existen números enteros k ₁ , k ₂ , ... , k _n , no todos ellos cero, tales que

${\displaystyle k_{1}\omega _{1}+k_{2}\omega _{2}+\cdots +k_{n}\omega _{n}=0.}$

Si tales enteros no existen, entonces se dice que los vectores son racionalmente independientes . Esta condición puede reformularse de la siguiente manera: ω ₁ , ω ₂ , ... , ω _n son racionalmente independientes si la única n -tupla de enteros k ₁ , k ₂ , ... , k _n tal que

${\displaystyle k_{1}\omega _{1}+k_{2}\omega _{2}+\cdots +k_{n}\omega _{n}=0}$

es la solución trivial en la que cada k _i es cero.

Los números reales forman un espacio vectorial sobre los números racionales , y esto es equivalente a la definición habitual de independencia lineal en este espacio vectorial.

• Teorema de Baker
• Invariante de Dehn
• Teorema de Gelfond-Schneider
• Base de Hamel
• Conjetura de Hodge
• Teorema de Lindemann-Weierstrass
• Flujo lineal en el toro
• La conjetura de Schanuel

• Anatole Katok y Boris Hasselblatt (1996). Introducción a la teoría moderna de sistemas dinámicos . Cambridge. ISBN 0-521-57557-5.