Filtro de salto

Un filtro de salto es un tipo de filtro electrónico de circuito activo que simula un filtro de escalera electrónico pasivo . Otros nombres para este tipo de filtro son filtro de escalera activo o filtro de retroalimentación múltiple . ^{[1] : 286} La disposición de los bucles de retroalimentación en el gráfico de flujo de señal del filtro de escalera simulado inspiró el nombre de filtro de salto , que fue acuñado por Girling y Good. ^{[2] : 344} El filtro de salto mantiene la sensibilidad de componente baja del filtro de escalera pasivo que simula. ^{[a] : 291}

La definición y síntesis de los filtros de salto está descrita por Temes y LaPatra, ^{[1] : 281–291} Sedra y Brackett, ^{[3] [b] : 713} Chen ^[4] y Wait, Huelsman y Korn. ^[5]

La síntesis de filtros de salto generalmente incluye los siguientes pasos:

1. Determinar un prototipo de filtro de escalera pasivo que tenga la respuesta de frecuencia deseada. Generalmente se utiliza un prototipo con doble terminación.
2. Escriba las ecuaciones que relacionan la corriente del elemento con el voltaje a través del elemento en una forma adecuada para su expresión como un gráfico de flujo de señal .
3. Dibuje el gráfico de flujo de señales. Los nodos del gráfico de flujo de señales incluirán tanto voltajes como corrientes. Las ganancias de las ramas incluirán impedancias y admitancias .
4. Convierte todos los nodos del gráfico de flujo de señales en voltajes y todas las impedancias en transmitancias adimensionales. Esto se logra dividiendo todos los elementos de impedancia por R , una resistencia arbitraria y multiplicando todos los elementos de admitancia por R . Este escalamiento no cambia la respuesta de frecuencia.
5. Manipule el gráfico de flujo de señales de modo que las ganancias que alimentan cada nodo sumador tengan los mismos signos. Esto se hace como una conveniencia de implementación. Al completar este paso, normalmente, todas las ganancias de retroalimentación en el gráfico de flujo de señales serán +1 y los signos de los bloques de ganancia en la ruta de avance se alternarán. Como resultado, algunos de los nodos, incluida la salida principal, pueden tener una inversión de fase de 180°. Esto normalmente no tiene importancia. ^{[4] : 2445}
6. Los bloques de ganancia se implementan con filtros activos y se interconectan como lo indica el gráfico de flujo de señal. A menudo, se utilizan filtros de variables de estado para los bloques de ganancia.
7. El circuito final suele tener más componentes que el filtro pasivo prototipo. Esto significa que el circuito final tiene grados de libertad que se pueden elegir para optimizar el circuito para el rango dinámico ^{[4] : ​​2449} y para valores prácticos de los componentes.

El diseño comienza con un filtro en escalera conocido de una de las tipologías mostradas en la figura anterior. Por lo general, todos los elementos del filtro en escalera son sin pérdidas, excepto el primero y el último, que sí lo son. ^{[4] : 2442} Utilizando un filtro en escalera de entrada y salida de voltaje de cuatro elementos ^[c] como ejemplo, las ecuaciones que relacionan los voltajes y corrientes de los elementos son las siguientes:

${\ Displaystyle I_ {1} = (V_ {0} -V_ {2}) \ mathrm {Y_ {1}}}$

${\displaystyle V_{2}=(I_{1}-I_{3})\mathrm {Z_{2}} }$

${\ Displaystyle I_ {3} = (V_ {2} -V_ {4}) \ mathrm {Y_ {3}}}$

${\displaystyle V_{4}=(I_{3})\mathrm {Z_{4}} }$

El gráfico de flujo de señal para estas ecuaciones se muestra en la segunda figura a la derecha. La disposición de los bucles de retroalimentación en el gráfico de flujo de señal inspiró el nombre de filtro de salto de rana . ^{[1] : 286} El gráfico de flujo de señal se manipula para convertir todos los nodos de corriente en nodos de voltaje y todas las impedancias y admitancias en transmitancias adimensionales. Esto es equivalente a manipular las ecuaciones ya sea multiplicando ambos lados por R o multiplicando un lado por R/R y distribuyendo los términos R a lo largo de la operación de resta. Esta manipulación cambia las ecuaciones de la siguiente manera:

${\displaystyle V_{1}=(V_{0}-V_{2})\mathrm {H_{1}} }$

${\displaystyle V_{2}=(V_{1}-V_{3})\mathrm {H_{2}} }$

${\displaystyle V_{3}=(V_{2}-V_{4})\mathrm {H_{3}} }$

${\displaystyle V_{4}=(V_{3})\mathrm {H_{4}} }$

donde H ₁ = RY ₁ , H ₂ = GZ ₂ , H ₃ = RY ₃ , H ₄ = GZ ₄ , G = 1/R, V ₁ = RI ₁ , V ₃ = RI ₃

El gráfico de flujo de señal se manipula aún más para que las ganancias en cada nodo sumador sean +1. El resultado de toda la manipulación se muestra como el gráfico de flujo de señal inferior en la figura. Las ecuaciones representadas por el gráfico de flujo de señal resultante son las siguientes:

${\displaystyle -V_{1}=(V_{0}-V_{2})(-\mathrm {H_{1}} )}$

${\displaystyle -V_{2}=(-V_{1}+V_{3})\mathrm {H_{2}} }$

${\displaystyle V_{3}=(-V_{2}+V_{4})(-\mathrm {H_{3}} )}$

${\displaystyle V_{4}=(V_{3})\mathrm {H_{4}} }$

La incómoda anotación de -V ₁ y -V ₂ como etiquetas de nodos en el gráfico de flujo de señales indica que estos nodos presentan una inversión de fase de 180° con respecto a las señales en el filtro prototipo.

Esta manipulación se puede realizar mediante un procedimiento sencillo:

1. Hacer que todas las transmitancias pares o impares sean negativas. El desfase total con respecto al prototipo será 0° si el número total de inversiones es par.
2. Cambiar todas las ganancias de retroalimentación a +1.
3. Determine el signo de cada etiqueta de nodo contando la cantidad de inversiones a ese nodo desde la entrada. Si la cantidad de inversiones es impar, entonces la etiqueta del nodo es negativa.

El gráfico de flujo de señales es adecuado para la implementación. A menudo se utilizan filtros de variables de estado que están disponibles tanto en tipologías inversoras como no inversoras.

Primero se determina el circuito para un filtro de escalera pasivo de paso de banda .

Los componentes individuales en paralelo o en serie se pueden combinar para formar impedancias o admitancias generales. Para este esquema:

${\displaystyle \mathrm {Z_{1}} ={\frac {s\mathrm {L_{1}} }{s^{2}\mathrm {C_{1}} \mathrm {L_{1}} +s{\frac {\mathrm {L_{1}} }{\mathrm {R_{1}} }}+\mathrm {1} }}}$

${\displaystyle {\mathrm {Y_{2}}}={\frac {s\mathrm {C_{2}}}}{s^{2}\mathrm {C_{2}} \mathrm {L_{2}} +\mathrm {1}}}$

${\displaystyle \mathrm {Z_{3}} ={\frac {s\mathrm {L_{3}}}}{s^{2}\mathrm {C_{3}} \mathrm {L_{3}} +1}}}$

${\displaystyle \mathrm {Y_{4}} ={\frac {s\mathrm {C_{4}} }{s^{2}\mathrm {C_{4}} \mathrm {L_{4}} +s\mathrm {C_{4}} \mathrm {R_{4}} +1}}}$

Las variables de corriente y voltaje se pueden poner en relaciones de causa y efecto de la siguiente manera.

${\displaystyle V_{1}=(I_{0}-I_{2})\mathrm {Z_{1}} }$

${\ Displaystyle I_ {2} = (V_ {1} -V_ {3}) \ mathrm {Y_ {2}}}$

${\displaystyle V_{3}=(I_{2}-I_{4})\mathrm {Z_{3}} }$

${\displaystyle I_{4}=V_{3}\mathrm {Y_{4}} }$

${\displaystyle V_{\mathrm {salida} }=I_{4}\mathrm {R_{4}} }$

A la derecha se muestra un gráfico de flujo de señal para estas ecuaciones.

Por razones de implementación, las variables de corriente se pueden multiplicar por una resistencia arbitraria para convertirlas en variables de voltaje, lo que también convierte todas las ganancias en valores adimensionales. En este ejemplo, todas las corrientes se multiplican por R. Esto se logra multiplicando ambos lados de una ecuación por R o multiplicando un lado por R/R y luego distribuyendo el término R sobre las corrientes.

${\displaystyle V_{1}=\mathrm {R} (I_{0}-I_{2}){\frac {\mathrm {Z_{1}} }{\mathrm {R} }}=(V_{0}-V_{2})\mathrm {H_{1}} }$

${\displaystyle V_{2}=\mathrm {R} I_{2}=(V_{1}-V_{3})\mathrm {R} \mathrm {Y_{2}} =(V_{1}-V_ {3})\mathrm {H_{2}} }$

${\displaystyle V_{3}=\mathrm {R} (I_{2}-I_{4}){\frac {\mathrm {Z_{3}} }{\mathrm {R} }}=(V_{2}-V_{4})\mathrm {H_{3}} }$

${\displaystyle V_{4}=\mathrm {R} I_{4}=V_{3}\mathrm {R} \mathrm {Y_{4}} =V_{3}\mathrm {H_{4}} }$

${\displaystyle V_{\mathrm {out} }=\mathrm {R} I_{4}{\frac {\mathrm {R_{4}} }{\mathrm {R} }}=V_{4}\mathrm {H_{5}} }$

Es conveniente para la implementación que las ganancias que alimentan los nodos sumadores tengan todas el mismo signo. En ese caso, la suma se puede lograr con una unión de dos resistencias.

${\displaystyle V_{1}=(V_{0}+(-V_{2}))\mathrm {H_{1}} }$

${\displaystyle -V_{2}=(V_{1}+(-V_{3}))(\mathrm {-H_{2}} )}$

${\displaystyle -V_{3}=((-V_{2})+V_{4})\mathrm {H_{3}} }$

${\displaystyle V_{4}=V_{3}(\mathrm {-H_{4}} )}$

${\displaystyle V_{\mathrm {out} }=(V_{4})\mathrm {H_{5}} }$

Todas las transmitancias H ₁ - H ₄ , en este ejemplo, son filtros de paso de banda. Se pueden implementar con el filtro biquad activo Tow-Thomas modificado . Este biquad tiene salidas de paso de banda tanto positivas como negativas, de modo que puede realizar cualquiera de las transmitancias. Este biquad también tiene entradas sumadoras, de modo que también puede implementar los nodos sumadores. ^{[5] : 275, 302}

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {BP} }}{V_{\mathrm {1} }}}={\frac {V_{\mathrm {BP} }}{V_{\mathrm {2} }}}=-{\frac {V_{\mathrm {BPI} }}{V_{\mathrm {1} }}}=-{\frac {V_{\mathrm {BPI} }}{V_{\mathrm {2} }}}={\frac {s/({\mathrm {R_{d}} \mathrm {C_{a}} })}{s^{2}+s/({\mathrm {R_{a}} \mathrm {C_{a}} })+1/({\mathrm {R_{b}} \mathrm {R_{c}} \mathrm {C_{a}} \mathrm {C_{b}} })}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {LPI} }}{V_{\mathrm {1} }}}={\frac {V_{\mathrm {LPI} }}{V_{\mathrm {2} }}}=-{\frac {s/({\mathrm {R_{b}} \mathrm {R_{d}} \mathrm {C_{a}} \mathrm {C_{b}} })}{s^{2}+s/({\mathrm {R_{a}} \mathrm {C_{a}} })+1/({\mathrm {R_{b}} \mathrm {R_{c}} \mathrm {C_{a}} \mathrm {C_{b}} })}}}$

Un filtro de salto puede ser difícil de ajustar debido a la retroalimentación complicada. Una estrategia es abrir los bucles de retroalimentación de modo que la estructura restante del filtro sea un diseño en cascada simple. Cada sección puede entonces ajustarse de forma independiente. Las secciones internas, H2 _y H3 _{, tienen} una Q infinita y pueden ser inestables cuando se abren los bucles de retroalimentación. Estas etapas pueden diseñarse con una Q grande, pero finita, de modo que puedan ajustarse mientras los bucles de retroalimentación están abiertos.