Lema numérico de Lebesgue

Dejar${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ser una cubierta abierta de${\displaystyle X}$. Desde${\displaystyle X}$es compacto podemos extraer una subcubierta finita${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{n}\}\subseteq {\mathcal {U}}}$. Si alguno de los${\displaystyle A_{i}}$es igual a${\displaystyle X}$entonces cualquiera${\displaystyle \delta >0}$servirá como número de Lebesgue. De lo contrario, para cada${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$, dejar${\displaystyle C_{i}:=X\setminus A_{i}}$, tenga en cuenta que${\displaystyle C_{i}}$no está vacío y define una función${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$por

${\displaystyle f(x):={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d(x,C_{i}).}$

Desde${\displaystyle f}$es continuo en un conjunto compacto, alcanza un mínimo${\displaystyle \delta }$La observación clave es que, dado que cada${\displaystyle x}$está contenido en algunos${\displaystyle A_{i}}$El teorema del valor extremo muestra que${\displaystyle \delta >0}$Ahora podemos verificar que esto${\displaystyle \delta }$es el número de Lebesgue deseado. Si${\displaystyle Y}$es un subconjunto de${\displaystyle X}$de diámetro menor que${\displaystyle \delta }$, elegir${\displaystyle x_{0}}$como cualquier punto en${\displaystyle Y}$, entonces por definición de diámetro ,${\displaystyle Y\subseteq B_{\delta }(x_{0})}$, dónde${\displaystyle B_{\delta }(x_{0})}$denota la bola de radio${\displaystyle \delta }$ centrado en${\displaystyle x_{0}}$. Desde${\displaystyle f(x_{0})\geq \delta }$debe existir al menos uno${\displaystyle i}$de tal manera que${\displaystyle d(x_{0},C_{i})\geq \delta }$. Pero esto significa que${\displaystyle B_{\delta }(x_{0})\subseteq A_{i}}$y así, en particular,${\displaystyle Y\subseteq A_{i}}$.

Supongamos por contradicción que${\displaystyle X}$es secuencialmente compacto ,${\displaystyle \{U_{\alpha }\mid \alpha \in J\}}$es una cubierta abierta de${\displaystyle X}$y el número de Lebesgue${\displaystyle \delta }$no existe. Es decir: para todos${\displaystyle \delta >0}$, existe${\displaystyle A\subset X}$con${\displaystyle \operatorname {diam} (A)<\delta }$de tal manera que no exista${\displaystyle \beta \in J}$con${\displaystyle A\subset U_{\beta }}$.

Esto nos permite realizar la siguiente construcción:

${\displaystyle \delta _{1}=1,\quad \exists A_{1}\subset X\quad {\text{donde}}\quad \operatorname {diam} (A_{1})<\delta _{1}\quad {\text{y}}\quad \neg \exists \beta (A_{1}\subset U_{\beta })}$

${\displaystyle \delta _{2}={\frac {1}{2}},\quad \exists A_{2}\subset X\quad {\text{donde}}\quad \operatorname {diam} (A_{2})<\delta _{2}\quad {\text{y}}\quad \neg \exists \beta (A_{2}\subset U_{\beta })}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle \delta _{k}={\frac {1}{k}},\quad \exists A_{k}\subset X\quad {\text{donde}}\quad \operatorname {diam} (A_{k})<\delta _{k}\quad {\text{y}}\quad \neg \exists \beta (A_{k}\subset U_{\beta })}$

${\displaystyle \vdots }$

Tenga en cuenta que${\displaystyle A_{n}\neq \emptyset }$a pesar de${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$, desde${\displaystyle A_{n}\not \subset U_{\beta }}$Por lo tanto, es posible, por el axioma de elección , construir una secuencia.${\displaystyle (x_{n})}$en el cual${\displaystyle x_{i}\in A_{i}}$para cada${\displaystyle i}$. Desde${\displaystyle X}$es secuencialmente compacto, existe una subsecuencia${\displaystyle \{x_{n_{k}}\}}$(con${\displaystyle k\in \mathbb {Z} _ {>0}}$) que converge a${\displaystyle x_{0}}$.

Porque${\displaystyle \{U_{\alpha}\}}$es una cubierta abierta, existe algo${\displaystyle \alpha _{0}\in J}$de tal manera que${\displaystyle x_{0}\in U_{\alpha _{0}}}$. Como${\ Displaystyle U _ {\ alpha _ {0}}}$está abierto, existe${\displaystyle r>0}$con${\displaystyle B_{r}(x_{0})\subset U_{\alpha _{0}}}$. Ahora invocamos la convergencia de la subsecuencia${\displaystyle \{x_{n_{k}}\}}$: existe${\displaystyle L\in \mathbb {Z} ^{+}}$de tal manera que ${\displaystyle L\leq k}$implica${\displaystyle x_{n_{k}}\in B_{r/2}(x_{0})}$.

Además, existe${\displaystyle M\in \mathbb {Z} _{>0}}$de tal manera que${\displaystyle \delta _{M}={\tfrac {1}{M}}<{\tfrac {r}{2}}}$Por lo tanto, para todos${\displaystyle z\in \mathbb {Z} _ {>0}}$, tenemos${\displaystyle M\leq z}$implica${\displaystyle \operatorname {diam} (A_{M})<{\tfrac {r}{2}}}$.

Finalmente, defina${\displaystyle q\in \mathbb {Z} _{>0}}$de tal manera que${\displaystyle n_{q}\geq M}$y${\displaystyle q\geq L}$Para todos.${\displaystyle x'\in A_{n_{q}}}$, observe que:

• ${\displaystyle d(x_{n_{q}},x')\leq \operatorname {diam} (A_{n_{q}})<{\frac {r}{2}}}$, porque${\displaystyle n_{q}\geq M}$.
• ${\displaystyle d(x_{n_{q}},x_{0})<{\frac {r}{2}}}$, porque${\displaystyle q\geq L}$implica${\displaystyle x_{n_{q}}\in B_{r/2}\left(x_{0}\right)}$.

Por eso${\displaystyle d(x_{0},x')<r}$por la desigualdad triangular , lo que implica que${\displaystyle A_{n_{q}}\subset U_{\alpha _{0}}}$Esto produce la contradicción deseada.