Punto Lebesgue

En matemáticas , dada una función localmente integrable de Lebesgue${\displaystyle f}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$, un punto${\displaystyle x}$en el dominio de${\displaystyle f}$es un punto de Lebesgue si ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \lim _{r\rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{\lambda (B(x,r))}}\int _{B(x,r)}\!|f(y)-f(x)|\,\mathrm {d} y=0.}$

Aquí,${\displaystyle B(x,r)}$es una pelota centrada en${\displaystyle x}$con radio${\displaystyle r>0}$, y${\displaystyle \lambda (B(x,r))}$es su medida de Lebesgue . Los puntos de Lebesgue de${\displaystyle f}$son, por lo tanto, puntos donde${\displaystyle f}$no oscila demasiado, en un sentido promedio. ^{[ 2 ]}

El teorema de diferenciación de Lebesgue establece que, dado cualquier${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{k})}$casi todos${\displaystyle x}$es un punto de Lebesgue de${\displaystyle f}$. ^{[ 3 ]}