Mapa de terremotos

En geometría hiperbólica , un mapa de terremotos es un método para transformar una variedad hiperbólica en otra, introducido por William Thurston ( 1986 ) . 

Dada una geodésica cerrada simple sobre una superficie hiperbólica orientada y un número real t , se puede cortar la variedad a lo largo de la geodésica, deslizar los bordes una distancia t hacia la izquierda y volver a unirlos. Esto da como resultado una nueva superficie hiperbólica, y la transformación (posiblemente discontinua) entre ellas es un ejemplo de un terremoto hacia la izquierda.

De forma más general, se puede realizar la misma construcción con un número finito de geodésicas simples disjuntas, cada una con un número real asociado. El resultado se denomina terremoto simple.

Un terremoto es, a grandes rasgos, una especie de límite de los terremotos simples, donde se tiene un número infinito de geodésicas y, en lugar de asignar un número real positivo a cada geodésica, se les asigna una medida.

Una laminación geodésica de una superficie hiperbólica es un subconjunto cerrado con una foliación por geodésicas. Un terremoto izquierdo E consiste en un mapeo entre copias del plano hiperbólico con laminaciones geodésicas, es decir, una isometría de cada estrato de la foliación a un estrato. Además, si A y B son dos estratos, entonces E ^{− 1} _A E_B es una transformación hiperbólica cuyo eje separaAyBy que se traslada hacia la izquierda, dondeE _A es la isometría de todo el plano que se restringe aEenA, y lo mismo ocurreconB.

El teorema del terremoto de Thurston establece que para cualesquiera dos puntos x , y de un espacio de Teichmüller existe un único terremoto izquierdo de x a y . Fue demostrado por William Thurston en un curso en Princeton en 1976-1977, pero en ese momento no lo publicó, y la primera formulación y demostración publicada fue dada por Kerckhoff (1983) , quien lo utilizó para resolver el problema de realización de Nielsen .

• Kerckhoff, Steven P. (1983), "El problema de realización de Nielsen", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 117 (2): 235– 265, CiteSeerX 10.1.1.353.3593 , doi : 10.2307/2007076 , ISSN 0003-486X , JSTOR 2007076 , MR 0690845    
• Trabajos de Thurston sobre las superficies , Astérisque, vol. 66, París: Société Mathématique de France , 1979, ISBN 978-99920-1-230-7, MR 0568308 
• Thurston, William P. (1986), "Terremotos en geometría hiperbólica bidimensional", en DBA Epstein (ed.), Topología de baja dimensión y grupos kleinianos , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-33905-6