Problema de realización de Nielsen

El problema de realización de Nielsen es una pregunta planteada por Jakob Nielsen ( 1932 , pp. 147-148) sobre si los subgrupos finitos de grupos de clases de mapeo pueden actuar sobre superficies, que fue respondida afirmativamente por Steven Kerckhoff ( 1980 , 1983 ) .  

Dada una superficie orientada, podemos dividir el grupo Diff( S ), el grupo de difeomorfismos de la superficie consigo misma, en clases de isotopía para obtener el grupo de clases de mapeo π₀ (Diff( S )). La conjetura plantea si un subgrupo finito del grupo de clases de mapeo de una superficie puede realizarse como el grupo de isometría de una métrica hiperbólica en dicha superficie _.

El grupo de clases de mapeo actúa sobre el espacio de Teichmüller . Una forma equivalente de plantear la pregunta es si todo subgrupo finito del grupo de clases de mapeo fija algún punto del espacio de Teichmüller.

Jakob Nielsen ( 1932 , pp. 147–148) preguntó si los subgrupos finitos de grupos de clases de mapeo pueden actuar sobre superficies. Kravetz (1959) afirmó haber resuelto el problema de realización de Nielsen, pero su prueba dependía de intentar demostrar que el espacio de Teichmüller (con la métrica de Teichmüller ) es negativamente curvo. Linch (1971) señaló una laguna en el argumento, y Masur (1975) demostró que el espacio de Teichmüller no es negativamente curvo. Steven Kerckhoff ( 1980 , 1983 ) dio una prueba correcta de que los subgrupos finitos de grupos de clases de mapeo pueden actuar sobre superficies usando terremotos izquierdos .  

• Kerckhoff, Steven P. (1980), "El problema de realización de Nielsen" (PDF) , Boletín de la Sociedad Matemática Americana , Nueva Serie, 2 (3): 452– 454, doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14764-3 , ISSN 0002-9904 , MR 0561531  
• Kerckhoff, Steven P. (1983), "El problema de realización de Nielsen", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 117 (2): 235– 265, CiteSeerX 10.1.1.353.3593 , doi : 10.2307/2007076 , ISSN 0003-486X , JSTOR 2007076 , MR 0690845    
• Kravetz, Saul (1959), "Sobre la geometría de los espacios de Teichmüller y la estructura de sus grupos modulares", Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI , 278 : 35, MR 0148906 
• Linch, Michele Regina (1971), Sobre la métrica en el espacio de Teichmüller , MR 2620985 
• Masur, Howard (1975), "Sobre una clase de geodésicas en el espacio de Teichmüller", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 102 (2): 205– 221, doi : 10.2307/1971031 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971031 , MR 0385173   
• Nielsen, Jakob (1932), "Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flächen. III.", Acta Math. (en alemán), 58 (1): 87– 167, doi : 10.1007/BF02547775 , Zbl 0004.27501