Lemniscata de Gerono

En geometría algebraica , la lemniscata de Gerono , o lemniscata de Huygens , o curva en forma de ocho , es una curva algebraica plana de grado cuatro y género cero y es una curva lemniscata con forma de símbolo, o figura de ocho. Tiene ecuación ${\estilo de visualización\infty}$

${\displaystyle x^{4}-x^{2}+y^{2}=0.}$

Fue estudiado por Camille-Christophe Gerono .

Como la curva es de género cero, se puede parametrizar mediante funciones racionales; un medio para hacerlo es

${\displaystyle x={\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}},\ y={\frac {2t(t^{2}-1)}{(t^{2}+1)^{2}}}.}$

Otra representación es

${\displaystyle x=\cos \varphi ,\ y=\sin \varphi \,\cos \varphi =\sin(2\varphi )/2}$

lo que revela que esta lemniscata es un caso especial de una figura de Lissajous .

La curva dual (ver fórmula de Plücker ), que se muestra a continuación, tiene, por tanto, un carácter algo diferente. Su ecuación es

${\displaystyle (x^{2}-y^{2})^{3}+8y^{4}+20x^{2}y^{2}-x^{4}-16y^{2}=0.}$

• J. Dennis Lawrence (1972). Catálogo de curvas planas especiales . Dover Publications . pág. 124. ISBN. 0-486-60288-5.

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Curva en forma de ocho", Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor , Universidad de St Andrews