Lenia

Lenia es una familia de autómatas celulares creada por Bert Wang-Chak Chan. ^{[1] [2] [3]} Se pretende que sea una generalización continua del Juego de la Vida de Conway , con estados , espacio y tiempo continuos . Como consecuencia de su dominio continuo y de alta resolución, los patrones autónomos complejos ("formas de vida" o " naves espaciales ") generados en Lenia se describen como diferentes de los que aparecen en otros autómatas celulares, siendo "geométricos, metaméricos , difusos, resilientes, adaptativos y genéricos de reglas". ^[1]

Lenia ganó el Concurso de Criaturas Virtuales de 2018 en la Conferencia de Computación Genética y Evolutiva en Kioto, ^[4] una mención honorífica del Premio de Arte ALIFE en ALIFE 2018 en Tokio, ^[5] y la Publicación Destacada de 2019 de la Sociedad Internacional para la Vida Artificial (ISAL). ^[6]

Sea la red o cuadrícula que contiene un conjunto de estados . Como muchos autómatas celulares, Lenia se actualiza iterativamente; cada estado de salida es una función pura del estado anterior, de modo que ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle S^{\mathcal {L}}}$

$${\displaystyle \Phi(A^{0})=A^{\Delta t},\Phi(A^{\Delta t})=A^{2\Delta t},\ldots ,\Phi(A^{t})=A^{t+\Delta t},\ldots }$$

donde es el estado inicial y es la regla global , que representa la aplicación de la regla local sobre cada sitio . Por lo tanto , ${\estilo de visualización A^{0}}$${\displaystyle \Phi :S^{\mathcal {L}}\rightarrow S^{\mathcal {L}}}$${\displaystyle \mathbf {x} \en {\cal {L}}}$${\displaystyle \Phi ^{N}(A^{t})=A^{t+N\Delta t}}$

Si la simulación avanza en cada paso de tiempo, entonces la resolución temporal es . ${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle T={\frac {1}{\Delta t}}}$

Sea con máximo . Este es el conjunto de estados del autómata y caracteriza los estados posibles que se pueden encontrar en cada sitio. Los valores mayores corresponden a resoluciones de estado más altas en la simulación. Muchos autómatas celulares utilizan la resolución de estado más baja posible, es decir . Lenia permite resoluciones mucho más altas. Tenga en cuenta que el valor real en cada sitio no está en , sino que es un múltiplo entero de ; por lo tanto, tenemos para todos los . Por ejemplo, dado , . ${\displaystyle S=\{0,1,\ldots ,P-1,P\}}$${\displaystyle P\in \mathbb {Z}}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización P=1}$${\estilo de visualización [0,P]}$${\displaystyle \Delta p={\frac {1}{P}}}$${\displaystyle A^{t}(\mathbf {x} )\en [0,1]}$${\displaystyle \mathbf {x} \en {\mathcal {L}}}$${\estilo de visualización P=4}$${\displaystyle \mathbf {A} ^{t}(\mathbf {x} )\en \{0,0.25,0.5,0.75,1\}}$

Matemáticamente, los vecindarios como los de Game of Life se pueden representar utilizando un conjunto de vectores de posición en . Para el vecindario clásico de Moore utilizado por Game of Life, por ejemplo, ; es decir, un cuadrado de tamaño 3 centrado en cada sitio. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}=\{-1,0,1\}^{2}}$

En el caso de Lenia, el vecindario es en cambio una bola de radio centrada en un sitio, , que puede incluir el propio sitio original. ${\estilo de visualización R}$${\displaystyle {\mathcal {N}}=\{\mathbf {x} \in {\mathcal {L}}:\lVert \mathbf {x} \rVert _{2}\leq R\}}$

Tenga en cuenta que los vectores de vecindad no son la posición absoluta de los elementos, sino más bien un conjunto de posiciones relativas (deltas) con respecto a cualquier sitio dado.

Existen variantes discretas y continuas de Lenia. Sea un vector en dentro de la cual se representa la posición de un sitio dado, y sea el conjunto de sitios vecinos a . Ambas variantes comprenden dos etapas: ${\displaystyle \mathbf {x}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle \mathbf {x}}$

1. Utilizando un núcleo de convolución para calcular la distribución potencial .${\displaystyle \mathbf {K} :{\mathcal {N}}\rightarrow S}$ ${\displaystyle \mathbf {U} ^{t}(\mathbf {x} )=\mathbf {K} *\mathbf {A} ^{t}(\mathbf {x} )}$
2. Utilizando un mapeo de crecimiento para calcular la distribución de crecimiento final .${\displaystyle G:[0,1]\rightarrow [-1,1]}$ ${\displaystyle \mathbf {G} ^{t}(\mathbf {x} )=G(\mathbf {U} ^{t}(\mathbf {x} ))}$

Una vez calculado, se escala según la resolución de tiempo elegida y se agrega al valor del estado original: Aquí, la función de clip está definida por . ${\displaystyle \mathbf {G} ^{t}}$${\displaystyle \Delta t}$$${\displaystyle \mathbf {A} ^{t}+\Delta t}(\mathbf {x} )={\text{clip}}(\mathbf {A} ^{t}+\Delta t\;\mathbf {G} ^{t}(\mathbf {x} ),\;0,\;1)}$$${\displaystyle \operatorname {clip} (u,a,b):=\min(\max(u,a),b)}$

Las reglas locales se definen de la siguiente manera para Lenia discreta y continua:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} ^{t}(\mathbf {x} )&={\begin{casos}\sum _{\mathbf {n} \in {\mathcal {N} }}\mathbf {K(n)} \mathbf {A} ^{t}(\mathbf {x} +\mathbf {n} )\Delta x^{2},&{\text{Lenia discreta}}\ \\int _{\mathbf {n} \in {\mathcal {N}}}\mathbf {K(n)} \mathbf {A} ^{t}(\mathbf {x} +\mathbf {n} ) dx^{2},&{\text{continua Lenia}}\end{cases}}\\\mathbf {G} ^{t}(\mathbf {x} )&=G(\mathbf {U} ^{t}(\mathbf {x} ))\\\mathbf {A} ^{t+\Delta t}(\mathbf {x} )&={\text{clip }}(\mathbf {A} ^{t}(\mathbf {x} )+\Delta t\;\mathbf {G} ^{t}(\mathbf {x} ),\;0,\;1) \end{alineado}}}$$

Existen muchas formas de generar el núcleo de convolución . El núcleo final es la composición de una estructura de núcleo y un esqueleto de núcleo . ${\displaystyle \mathbf {K}}$ $Estilo de visualización K_{C}}$ $Estilo de visualización K_{S}$

Para el núcleo , Chan ofrece varias funciones que se definen radialmente . Las funciones del núcleo son unimodales y están sujetas a la restricción (y normalmente también lo están). Algunos ejemplos de funciones del núcleo son: $Estilo de visualización K_{C}}$${\displaystyle K_{C}(0)=K_{C}(1)=0}$${\displaystyle K_{C}\left({\frac {1}{2}}\right)=1}$

$${\displaystyle K_{C}(r)={\begin{cases}\exp \left(\alpha -{\frac {\alpha }{4r(1-r)}}\right),&{\text{exponential}},\alpha =4\\(4r(1-r))^{\alpha },&{\text{polynomial}},\alpha =4\\\mathbf {1} _{\left[{\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}}\right]}(r),&{\text{rectangular}}\\\ldots ,&{\text{etc.}}\end{cases}}}$$

Aquí está la función del indicador . ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(r)}$

Una vez definida la capa del núcleo, se utiliza el esqueleto del núcleo para expandirla y calcular los valores reales del núcleo transformando la capa en una serie de anillos concéntricos . La altura de cada anillo está controlada por un vector de pico del núcleo , donde es el rango del vector de parámetros. Luego, el esqueleto del núcleo se define como ${\displaystyle K_{S}}$${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{B})\in [0,1]^{B}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle K_{S}}$

$${\displaystyle K_{S}(r;\beta )=\beta _{\lfloor Br\rfloor }K_{C}(Br{\text{ mod }}1)}$$

El núcleo final es por tanto ${\displaystyle \mathbf {K} (\mathbf {n} )}$

$${\displaystyle \mathbf {K} (\mathbf {n} )={\frac {K_{S}(\lVert \mathbf {n} \rVert _{2})}{|K_{S}|}}}$$

tal que se normaliza para tener una suma de elementos de y (para conservación de masa ). en el caso discreto y en el caso continuo. ${\displaystyle \mathbf {K} }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbf {K} *\mathbf {A} \in [0,1]}$${\displaystyle |K_{S}|=\textstyle \sum _{\mathcal {N}}\displaystyle K_{S}\,\Delta x^{2}}$${\displaystyle \int _{N}K_{S}\,dx^{2}}$

La función de crecimiento , que es análoga a una función de activación , puede ser cualquier función que sea unimodal, no monótona y acepte parámetros . Algunos ejemplos incluyen ${\displaystyle G:[0,1]\rightarrow [-1,1]}$${\displaystyle \mu ,\sigma \in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle G(u;\mu ,\sigma )={\begin{cases}2\exp \left(-{\frac {(u-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)-1,&{\text{exponential}}\\2\cdot \mathbf {1} _{[\mu \pm 3\sigma ]}(u)\left(1-{\frac {(u-\mu )^{2}}{9\sigma ^{2}}}\right)^{\alpha }-1,&{\text{polynomial}},\alpha =4\\2\cdot \mathbf {1} _{[\mu \pm \sigma ]}(u)-1,&{\text{rectangular}}\\\ldots ,&{\text{etc.}}\end{cases}}}$$

¿De dónde se extrae un valor potencial ? ${\displaystyle u}$${\displaystyle \mathbf {U} ^{t}}$

El Juego de la Vida puede considerarse un caso especial de Lenia discreta con . En este caso, el núcleo sería rectangular, con la función y la regla de crecimiento también rectangulares, con . ${\displaystyle R=T=P=1}$$${\displaystyle K_{C}(r)=\mathbf {1} _{\left[{\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}}\right]}(r)+{\frac {1}{2}}\mathbf {1} _{\left[0,{\frac {1}{4}}\right)}(r)}$$${\displaystyle \mu =0.35,\sigma =0.07}$

Al variar el núcleo convolucional, el mapeo de crecimiento y la condición inicial, se han descubierto más de 400 "especies" de "vida" en Lenia, que muestran "autoorganización, autorreparación, simetrías bilaterales y radiales, dinámica locomotora y, a veces, naturaleza caótica". ^[7] Chan ha creado una taxonomía para estos patrones. ^[1]

Otros trabajos han señalado la fuerte similitud entre las reglas de actualización de los autómatas celulares y las convoluciones. De hecho, estos trabajos se han centrado en reproducir autómatas celulares utilizando redes neuronales convolucionales simplificadas . Mordvintsev et al. investigaron la aparición de la generación de patrones de autorreparación. ^[9] Gilpin descubrió que cualquier autómata celular podía representarse como una red neuronal convolucional y entrenó redes neuronales para reproducir autómatas celulares existentes ^[8].

Desde esta perspectiva, los autómatas celulares pueden considerarse un caso especial de redes neuronales convolucionales recurrentes . La regla de actualización de Lenia también puede considerarse como una convolución de una sola capa (el "campo potencial" ) con una función de activación (el "mapeo de crecimiento" ). Sin embargo, Lenia utiliza núcleos fijos mucho más grandes y no se entrena mediante descenso de gradiente. ${\displaystyle \mathbf {K} }$${\displaystyle G}$

• El juego de la vida de Conway
• Autómata celular
• Autorreplicación
• Formación de patrones
• Morfogénesis

• El repositorio de Github para Lenia
• El sitio web de Chan para Lenia
• Un seminario invitado en Stanford impartido por Chan