La conjetura de Leopoldt

En teoría algebraica de números , la conjetura de Leopoldt , introducida por Heinrich-Wolfgang Leopoldt , ^{[ 1 ] [ 2 ]} afirma que el regulador p -ádico de un cuerpo numérico no se anula. El regulador p -ádico es un análogo del regulador usual definido usando logaritmos p -ádicos en lugar de los logaritmos usuales.

Sea K un cuerpo numérico y para cada primo P de K por encima de algún primo racional fijo p , sea U _P las unidades locales en P y sea U _{1, P} el subgrupo de unidades principales en U _P .

${\displaystyle U_{1}=\prod _{P\,\mid \,p}U_{1,P}.}$

Entonces, sea E ₁ el conjunto de unidades globales ε que se mapean a U ₁ a través de la incrustación diagonal de las unidades globales en E . 

Dado que E ₁ es un subgrupo de índice finito de las unidades globales, es un grupo abeliano de rango r ₁ + r ₂ – 1, donde r ₁ es el número de incrustaciones reales de K y r ₂ el número de pares de incrustaciones complejas. La conjetura de Leopoldt afirma que${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}$-rango del módulo del cierre de${\displaystyle E_{1}}$Incrustado diagonalmente en U ₁ también es r ₁ + r ₂ – 1.

La conjetura de Leopoldt se conoce en el caso especial en que K es una extensión abeliana de${\displaystyle \mathbb {Q} }$o una extensión abeliana de un cuerpo numérico cuadrático imaginario : Ax redujo el caso abeliano a una versión p -ádica del teorema de Baker , ^{[ 3 ]} que fue demostrado poco después por Brumer. ^{[ 4 ]} Mihăilescu ha anunciado una demostración de la conjetura de Leopoldt para todas las extensiones CM de${\displaystyle \mathbb {Q} }$. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Colmez expresó el residuo de la función zeta de Dedekind p -ádica de un cuerpo totalmente real en s = 1 en términos del regulador p -ádico. ^{[ 7 ]} Como consecuencia, la conjetura de Leopoldt para esos cuerpos es equivalente a que sus funciones zeta de Dedekind p -ádicas tengan un polo simple en s = 1.