Extensión del álgebra de Lie

Una extensión del álgebra de Lie

${\displaystyle {\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {t}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}},}$

es trivial si existe un subespacio i tal que t = i ⊕ ker s e i es un ideal en t . ^{[ 1 ]}

Una extensión del álgebra de Lie

${\displaystyle {\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {s}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}},}$

se divide si existe un subespacio u tal que s = u ⊕ ker s como espacio vectorial y u es una subálgebra en s .

Un ideal es una subálgebra, pero una subálgebra no es necesariamente un ideal. Por lo tanto, una extensión trivial es una extensión escindida.

Las extensiones centrales de un álgebra de Lie g mediante un álgebra de Lie abeliana h pueden obtenerse con la ayuda de un 2-cociclo (no trivial) ( fondo ) en g . Los 2-cociclos no triviales aparecen en el contexto de las representaciones proyectivas ( fondo ) de grupos de Lie. Esto se menciona más adelante.

Una extensión del álgebra de Lie

${\displaystyle {\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}},}$

es una extensión central si ker s está contenido en el centro Z ( e ) de e .

Propiedades

• Dado que el centro conmuta con todo, h ≅ im i = ker s en este caso es abeliano .
• Dada una extensión central e de g , se puede construir un 2-cociclo en g . Supongamos que e es una extensión central de g por h . Sea l una aplicación lineal de g a e con la propiedad de que s ∘ l = Id _g , es decir, l es una sección de s . Usemos esta sección para definir ε : g × g → e mediante

${\displaystyle \epsilon (G_{1},G_{2})=l([G_{1},G_{2}])-[l(G_{1}),l(G_{2})],\quad G_{1},G_{2}\in {\mathfrak {g}}.}$

El mapa ε satisface

${\displaystyle \epsilon (G_{1},[G_{2},G_{3}])+\epsilon (G_{2},[G_{3},G_{1}])+\epsilon (G_{3},[G_{1},G_{2}])=0\in {\mathfrak {e}}.}$

Para ver esto, use la definición de ε en el lado izquierdo, luego use la linealidad de l . Use la identidad de Jacobi en g para eliminar la mitad de los seis términos. Use la definición de ε nuevamente en los términos l ([ G _i , G _j ]) que se encuentran dentro de tres corchetes de Lie, la bilinealidad de los corchetes de Lie y la identidad de Jacobi en e , y luego finalmente use en los tres términos restantes que Im ε ⊂ ker s y que ker s ⊂ Z ( e ) de modo que ε ( G _i , G _j ) corchetiza a cero con todo. Entonces se sigue que φ = i ⁻¹ ∘ ε satisface la relación correspondiente, y si h además es unidimensional, entonces φ es un 2-cociclo en g (a través de una correspondencia trivial de h con el cuerpo subyacente).

Una extensión central

${\displaystyle 0\;{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}{\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}}\;{\overset {\sigma }{\twoheadrightarrow }}\;0}$

es universal si para cada extensión central

${\displaystyle 0\;{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}{\mathfrak {h}}'\;{\overset {i'}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}'\;{\overset {s'}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}}\;{\overset {\sigma }{\twoheadrightarrow }}\;0}$

existen homomorfismos únicos${\displaystyle \Phi$ :{\mathfrak {e}}\to {\mathfrak {e}}'} y${\displaystyle \Psi$ :{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}'} de tal manera que el diagrama

conmuta, es decir, i ' ∘ Ψ = Φ ∘ i y s ' ∘ Φ = s . Por universalidad, es fácil concluir que tales extensiones centrales universales son únicas salvo isomorfismo.

Dejar${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$,${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$sean álgebras de Lie sobre el mismo cuerpo.${\displaystyle F}$. Definir

${\displaystyle {\mathfrak {e}}={\mathfrak {h}}\times {\mathfrak {g}},}$

y definir la suma punto por punto en${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$La multiplicación escalar se define por

${\displaystyle \alpha (H,G)=(\alpha H,\alpha G),\alpha \in F,H\in {\mathfrak {h}},G\in {\mathfrak {g}}.}$

Con estas definiciones,$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\times {\mathfrak {g}}\equiv {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}}$$es un espacio vectorial sobre${\displaystyle F}$. Con el corchete de mentira:

${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$es un álgebra de Lie. Defina más

${\displaystyle i:{\mathfrak {h}}\hookrightarrow {\mathfrak {e}};H\mapsto (H,0),\quad s:{\mathfrak {e}}\twoheadrightarrow {\mathfrak {g}};(H,G)\mapsto G.}$

Está claro que (1) se mantiene como una secuencia exacta. Esta extensión de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$por${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$se llama extensión trivial . Por supuesto, no es otra cosa que la suma directa del álgebra de Lie. Por simetría de definiciones,${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$es una extensión de${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$por${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$también, pero${\displaystyle {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}\neq {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}$. Queda claro a partir de (3) que la subálgebra${\displaystyle 0\oplus {\mathfrak {g}}}$es un ideal (álgebra de Lie) . Esta propiedad de la suma directa de álgebras de Lie se eleva a la definición de una extensión trivial.

Inspirándose en la construcción de un producto semidirecto ( fondo ) de grupos usando un homomorfismo G → Aut( H ) , se puede hacer la construcción correspondiente para álgebras de Lie.

Si ψ : g → Der h es un homomorfismo de álgebra de Lie, entonces defina un corchete de Lie en${\displaystyle {\mathfrak {e}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}}$por

Con este corchete de Lie, el álgebra de Lie así obtenida se denota e = h ⊕ _S g y se llama suma semidirecta de h y g .

Mediante inspección de (7) se observa que 0 ⊕ g es una subálgebra de e y h ⊕ 0 es un ideal en e . Definimos i : h → e por H ↦ H ⊕ 0 y s : e → g por H ⊕ G ↦ G , H ∈ h , G ∈ g . Es claro que ker s = im i . Por lo tanto , e es una extensión de álgebra de Lie de g por h .

Al igual que con la extensión trivial, esta propiedad se generaliza a la definición de una extensión dividida.

Ejemplo Sea G el grupo de Lorentz O(3, 1) y sea T el grupo de traslación en 4 dimensiones, isomorfo a${\displaystyle (\mathbb {R} ^{4},+)}$y consideremos la regla de multiplicación del grupo de Poincaré P

${\displaystyle (a_{2},\Lambda _{2})(a_{1},\Lambda _{1})=(a_{2}+\Lambda _{2}a_{1},\Lambda _{2}\Lambda _{1}),\quad a_{1},a_{2}\in \mathrm {T} \subset \mathrm {P} ,\Lambda _{1},\Lambda _{2}\in \mathrm {O} (3,1)\subset \mathrm {P} ,}$

(donde T y O(3, 1) se identifican con sus imágenes en P ). De ello se deduce inmediatamente que, en el grupo de Poincaré, (0, Λ)( a , I )(0, Λ ⁻¹ ) = (Λ a , I ) ∈ T ⊂ P . Por lo tanto, toda transformación de Lorentz Λ corresponde a un automorfismo Φ _Λ de T con inverso Φ _{Λ ⁻¹} y Φ es claramente un homomorfismo. Ahora definimos

${\displaystyle {\overline {\mathrm {P} }}=\mathrm {T} \otimes _{S}\mathrm {O} (3,1),}$

dotado de multiplicación dada por (4) . Al desenrollar las definiciones se encuentra que la multiplicación es la misma que la multiplicación con la que se comenzó y se sigue que P = P . De (5 ') se deduce que Ψ _Λ = Ad _Λ y luego de (6 ') se deduce que ψ _λ = ad _λ . λ ∈ o (3, 1) .

Sea δ una derivación ( fondo ) de h y denotemos por g el álgebra de Lie unidimensional generada por δ . Definamos el corchete de Lie en e = g ⊕ h mediante ^{[ nb 2 ] [ 11 ].}

${\displaystyle [G_{1}+H_{1},G_{2}+H_{2}]=[\lambda \delta +H_{1},\mu \delta +H_{2}]=[H_{1},H_{2}]+\lambda \delta (H_{2})-\mu \delta (H_{1}).}$

Es obvio por la definición del corchete que h es un ideal en e en y que g es una subálgebra de e . Además, g es complementario a h en e . Sea i : h → e dado por H ↦ (0, H ) y s : e → g por ( G , H ) ↦ G . Es claro que im i = kers s . Por lo tanto, e es una extensión escindida de g por h . Dicha extensión se llama extensión por derivación .

Si ψ : g → der h se define por ψ ( μδ )( H ) = μδ ( H ) , entonces ψ es un homomorfismo de álgebra de Lie en der h . Por lo tanto, esta construcción es un caso especial de una suma semidirecta, ya que al partir de ψ y usar la construcción de la sección anterior, se obtienen los mismos corchetes de Lie.

Si ε es un 2-cociclo ( fondo ) en un álgebra de Lie g y h es cualquier espacio vectorial unidimensional, sea e = h ⊕ g (suma directa de espacios vectoriales) y definamos un corchete de Lie en e mediante

${\displaystyle [\mu H+G_{1},\nu H+G_{2}]=[G_{1},G_{2}]+\varepsilon (G_{1},G_{2})H,\quad \mu ,\nu \in F.}$

Aquí H es un elemento arbitrario pero fijo de h . La antisimetría se deduce de la antisimetría del corchete de Lie en g y de la antisimetría del 2-cociclo. La identidad de Jacobi se deduce de las propiedades correspondientes de g y de ε . Por lo tanto , e es un álgebra de Lie. Si ponemos G ₁ = 0 , se deduce que μH ∈ Z ( e ) . Además, se deduce con i : μH ↦ ( μH , 0) y s : ( μH , G ) ↦ G que Im i = ker s = {( μH , 0): μ ∈ F } ⊂ Z( e ) . Por lo tanto, e es una extensión central de g por h . Se denomina extensión por un 2-cociclo .

Sea g un álgebra de bucles polinomial ( fondo ),

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathbb {C} [\lambda ,\lambda ^{-1}]\otimes {\mathfrak {g}}_{0},}$

donde g ₀ es un álgebra de Lie simple, compleja y de dimensión finita. El objetivo es encontrar una extensión central de esta álgebra. Se aplican dos teoremas. Por un lado, si existe un 2-cociclo en g , entonces se puede definir una extensión central. Por otro lado, si este 2-cociclo actúa solo sobre la parte g ₀ , entonces la extensión resultante es trivial. Además, las derivaciones que actúan solo sobre g ₀ no se pueden usar para definir un 2-cociclo porque todas estas derivaciones son internas y el resultado es el mismo problema. Por lo tanto, se buscan derivaciones en C [ λ , λ ⁻¹ ] . Un conjunto de tales derivaciones es

${\displaystyle d_{k}\equiv \lambda ^{k+1}{\frac {d}{d\lambda }},\quad k\in \mathbb {Z} .}$

Para fabricar una forma antisimétrica asociativa bilineal no degenerada L en g , la atención se centra primero en las restricciones sobre los argumentos, con m y n fijos. Es un teorema que toda forma ^que satisface los requisitos es un múltiplo de la forma de Killing K en g _0. [ ^{13 ]} Esto requiere

${\displaystyle L(\lambda ^{m}\otimes G_{1},\lambda ^{n}\otimes G_{2})=\gamma _{lm}K(G_{1},G_{2}).}$

La simetría de K implica

${\displaystyle \gamma _{mn}=\gamma _{nm},}$

y la asociatividad produce

${\displaystyle \gamma _{m+k,n}=\gamma _{m,k+n}.}$

Con m = 0 se observa que γ _k,n = γ _{0, k + n} . Esta última condición implica la anterior. Usando este hecho, definimos f ( n ) = γ _{0, n} . La ecuación definitoria queda entonces

${\displaystyle L(\lambda ^{m}\otimes G_{1},\lambda ^{n}\otimes G_{2})=f(m+n)K(G_{1},G_{2}).}$

Por cada${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$la definición

${\displaystyle f(n)=\delta _{ni}\Leftrightarrow \gamma _{mn}=\delta _{m+n,i}}$

define una forma bilineal asociativa simétrica

${\displaystyle L_{i}(\lambda ^{m}\otimes G_{1},\lambda ^{n}\otimes G_{2})=\delta _{m+n,i}K(G_{1},G_{2}).}$

Estos abarcan un espacio vectorial de formas que poseen las propiedades adecuadas.

Volviendo a las derivaciones en cuestión y a la condición

${\displaystyle L_{i}(d_{k}(\lambda ^{l}\otimes G_{1}),\lambda ^{m}\otimes G_{2})=-L_{i}(\lambda ^{l}\otimes G_{1},d_{k}(\lambda ^{m}\otimes G_{2})),}$

Se observa, utilizando las definiciones, que

${\displaystyle l\delta _{k+l+m,i}=-m\delta _{k+l+m,i},}$

o, con n = l + m ,

${\displaystyle n\delta _{k+n,i}=0.}$

Esto (y la condición de antisimetría) se cumple si k = i , en particular se cumple cuando k = i = 0 .

Por lo tanto, elijamos L = L ₀ y d = d ₀ . Con estas elecciones, se satisfacen las premisas del corolario. El 2-cociclo φ definido por

${\displaystyle \varphi (P(\lambda )\otimes G_{1}),Q(\lambda )\otimes G_{2}))=L(\lambda {\frac {dP}{d\lambda }}\otimes G_{1},Q(\lambda )\otimes G_{2})}$

finalmente se emplea para definir una extensión central de g ,

${\displaystyle {\mathfrak {e}}={\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} C,}$

con corchete de mentira

${\displaystyle [P(\lambda )\otimes G_{1}+\mu C,Q(\lambda )\otimes G_{2}+\nu C]=P(\lambda )Q(\lambda )\otimes [G_{1},G_{2}]+\varphi (P(\lambda )\otimes G_{1},Q(\lambda )\otimes G_{2})C.}$

Para los elementos base, debidamente normalizados y con constantes de estructura antisimétricas, se tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[\lambda ^{l}\otimes G_{i}+\mu C,\lambda ^{m}\otimes G_{j}+\nu C]&=\lambda ^{l+m}\otimes [G_{i},G_{j}]+\varphi (\lambda ^{l}\otimes G_{i},\lambda ^{m}\otimes G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+L(\lambda {\frac {d\lambda ^{l}}{d\lambda }}\otimes G_{i},\lambda ^{m}\otimes G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+lL(\lambda ^{l}\otimes G_{i},\lambda ^{m}\otimes G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}K(G_{i},G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}{C_{ik}}^{m}{C_{jm}}^{k}C=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}\delta ^{ij}C.\end{aligned}}}$

Esta es una extensión central universal del álgebra de bucles polinomiales. ^{[ 14 ]}

Una nota sobre la terminología

En terminología física, el álgebra anterior podría considerarse un álgebra de Kac-Moody, aunque probablemente no en terminología matemática. Para ello se requiere una dimensión adicional, una extensión mediante una derivación. No obstante, si en una aplicación física los autovalores de g₀ o su representante se interpretan como números cuánticos (ordinarios) , el superíndice adicional en los generadores se denomina nivel . Se trata _de un número cuántico adicional. Más adelante se introduce un operador adicional cuyos autovalores son precisamente los niveles.

Como aplicación de una extensión central del álgebra de bucles polinomiales, se considera un álgebra de corrientes de una teoría cuántica de campos ( antecedentes ). Supongamos que tenemos un álgebra de corrientes, con el conmutador interesante siendo

con un término de Schwinger. Para construir matemáticamente esta álgebra, sea g el álgebra de bucle polinomial centralmente extendida de la sección anterior con

${\displaystyle [\lambda ^{l}\otimes G_{i}+\mu C,\lambda ^{m}\otimes G_{j}+\nu C]=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}\delta _{ij}C}$

como una de las relaciones de conmutación, o, con un cambio de notación ( l → m , m → n , i → a , j → b , λ ^m ⊗ G _a → T ^m _a ) con un factor de i según la convención física, ^{[ nb 3 ]}

${\displaystyle [T_{a}^{m},T_{b}^{n}]=i{C_{ab}}^{c}T_{c}^{m+n}+m\delta _{m+n,0}\delta _{ab}C.}$

Definir usando elementos de g ,

${\displaystyle J_{a}(x)={\frac {\hbar }{L}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inx}{L}}T_{a}^{-n},x\in \mathbb {R} .}$

Se observa que

${\displaystyle J_{a}(x+L)=J_{a}(x)}$

de modo que esté definido en un círculo. Ahora calcule el conmutador,

${\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{a}(x),J_{b}(y)]&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inx}{L}}T_{a}^{-n},\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi imy}{L}}T_{b}^{-m}\right]\\&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m,n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inx}{L}}e^{\frac {2\pi imy}{L}}[T_{a}^{-n},T_{b}^{-m}].\end{aligned}}}$

Para simplificar, cambie las coordenadas de modo que y → 0, x → x − y ≡ z y utilice las relaciones de conmutación,

${\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{a}(z),J_{b}(0)]&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m,n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inz}{L}}[i{C_{ab}}^{c}T_{c}^{-m-n}+m\delta _{m+n,0}\delta _{ab}C]\\&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi i(-m)z}{L}}\sum _{l=-\infty }^{\infty }ie^{\frac {2\pi i(l)z}{L}}{C_{ab}}^{c}T_{c}^{-l}+\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m,n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inz}{L}}m\delta _{m+n,0}\delta _{ab}C\\&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi imz}{L}}i{C_{ab}}^{c}J_{c}(z)-\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inz}{L}}n\delta _{ab}C\end{aligned}}}$

Ahora empleamos la fórmula de suma de Poisson ,

${\displaystyle {\frac {1}{L}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {-2\pi inz}{L}}={\frac {1}{L}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (z+nL)=\delta (z)}$

para z en el intervalo (0, L) y derivarlo para obtener

${\displaystyle -{\frac {2\pi i}{L^{2}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }ne^{\frac {-2\pi inz}{L}}=\delta '(z),}$

y finalmente

${\displaystyle [J_{a}(x-y),J_{b}(0)]=i\hbar {C_{ab}}^{c}J_{c}(x-y)\delta (x-y)+{\frac {i\hbar ^{2}}{2\pi }}\delta _{ab}C\delta '(x-y),}$

o

${\displaystyle [J_{a}(x),J_{b}(y)]=i\hbar {C_{ab}}^{c}J_{c}(x)\delta (x-y)+{\frac {i\hbar ^{2}}{2\pi }}\delta _{ab}C\delta '(x-y),}$

ya que los argumentos de las funciones delta solo aseguran que los argumentos de los argumentos izquierdo y derecho del conmutador sean iguales (formalmente δ ( z ) = δ ( z − 0) ↦ δ (( x − y ) − 0) = δ ( x − y ) ).

En comparación con CA10 , se trata de un álgebra de corrientes en dos dimensiones espaciotemporales, que incluye un término de Schwinger , con la dimensión espacial enrollada en forma de círculo. En el contexto clásico de la teoría cuántica de campos, esto quizás sea de poca utilidad, pero con el advenimiento de la teoría de cuerdas, donde los campos residen en las hojas de mundo de las cuerdas y las dimensiones espaciales se enrollan, podrían surgir aplicaciones relevantes.

La derivación d ₀ utilizada en la construcción del 2-cociclo φ en la sección anterior puede extenderse a una derivación D en el álgebra de bucles polinomiales centralmente extendida, aquí denotada por g , para realizar un álgebra de Kac-Moody ^{[ 15 ] [ 16 ]} ( fondo ). Simplemente se establece

${\displaystyle D(P(\lambda )\otimes G+\mu C)=\lambda {\frac {dP(\lambda )}{d\lambda }}\otimes G.}$

A continuación, definimos como un espacio vectorial

${\displaystyle {\mathfrak {e}}=\mathbb {C} d+{\mathfrak {g}}.}$

El corchete de Lie en e es, según la construcción estándar con una derivación, dado sobre una base por

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[\lambda ^{m}\otimes G_{1}+\mu C+\nu D,\lambda ^{n}\otimes G_{2}+\mu 'C+\nu 'D]&=\lambda ^{m+n}\otimes [G_{1},G_{2}]+m\delta _{m+n,0}K(G_{1},G_{2})C+\nu D(\lambda ^{n}\otimes G_{1})-\nu 'D(\lambda ^{m}\otimes G_{2})\\&=\lambda ^{m+n}\otimes [G_{1},G_{2}]+m\delta _{m+n,0}K(G_{1},G_{2})C+\nu n\lambda ^{n}\otimes G_{1}-\nu 'm\lambda ^{m}\otimes G_{2}.\end{aligned}}}$

Para mayor comodidad, defina

${\displaystyle G_{i}^{m}\leftrightarrow \lambda ^{m}\otimes G_{i}.}$

Además, supongamos que la base del álgebra de Lie simple de dimensión finita subyacente se ha elegido de manera que los coeficientes de estructura sean antisimétricos en todos los índices y que la base esté debidamente normalizada. Entonces, mediante las definiciones, se verifican inmediatamente las siguientes relaciones de conmutación.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[G_{i}^{m},G_{j}^{n}]&={C_{ij}}^{k}G_{k}^{m+n}+m\delta _{ij}\delta ^{m+n,0}C,\\{}[C,G_{i}^{m}]&=0,\quad 1\leq i,j,N,\quad m,n\in \mathbb {Z} \\{}[D,G_{i}^{m}]&=mG_{i}^{m}\\{}[D,C]&=0.\end{aligned}}}$

Esta es precisamente la descripción abreviada de un álgebra de Kac-Moody afín no retorcida. Para recapitular, partimos de un álgebra de Lie simple de dimensión finita. Definimos un espacio de polinomios de Laurent formales con coeficientes en el álgebra de Lie simple de dimensión finita. Con el soporte de una forma bilineal alternante simétrica no degenerada y una derivación, se define un 2-cociclo, que posteriormente se utiliza en la prescripción estándar para una extensión central mediante un 2-cociclo. Extendemos la derivación a este nuevo espacio, utilizamos la prescripción estándar para una extensión escindida mediante una derivación y obtenemos un álgebra de Kac-Moody afín no retorcida.

El objetivo es construir el álgebra de Virasoro (nombrada en honor a Miguel Ángel Virasoro ) ^{[ nb 4 ]} como una extensión central mediante un 2-cociclo φ del álgebra de Witt W ( fondo ). Para más detalles, véase Schottenloher. ^{[ 17 ]} La identidad de Jacobi para 2-cociclos produce

Alquiler${\displaystyle l=0}$y utilizando la antisimetría de η se obtiene

${\displaystyle (m+p)\eta _{mp}=(m-p)\eta _{m+p,0}.}$

En la extensión, las relaciones de conmutación para el elemento d ₀ son

${\displaystyle [d_{0}+\mu C,d_{m}+\nu C]_{\varphi }=-md_{m}+\eta _{0m}C=-m(d_{m}-{\frac {\eta _{0m}}{m}}C).}$

Es deseable eliminar la carga central del lado derecho. Para ello, defina

${\displaystyle f:W\to \mathbb {C} ;d_{m}\to {\frac {\varphi (d_{0},d_{m})}{m}}={\frac {\eta _{0m}}{m}}.}$

Luego, usando f como una 1-cocadena,

${\displaystyle \eta '_{0n}=\varphi '(d_{0},d_{n})=\varphi (d_{0},d_{n})+\delta f([d_{0},d_{n}])=\varphi (d_{0},d_{n})-n{\frac {\eta ^{0n}}{n}}=0,}$

Así que con este 2-cociclo, equivalente al anterior, se tiene ^{[ nb 5 ]}

${\displaystyle [d_{0}+\mu C,d_{m}+\nu C]_{\varphi '}=-md_{m}.}$

Con este nuevo 2-cociclo (saltando el primo) la condición se convierte en

${\displaystyle (n+p)\eta _{mp}=(n-p)\eta _{m+p,0}=0,}$

y por lo tanto

${\displaystyle \eta _{mp}=a(m)\delta _{m.-p},\quad a(-m)=-a(m),}$

donde la última condición se debe a la antisimetría del corchete de Lie. Con esto, y con l + m + p = 0 (recortando un "plano" en${\displaystyle \mathbb {Z} ^{3}}$), (V10) produce

${\displaystyle (2m+p)a(p)+(m-p)a(m+p)+(m+2p)a(m)=0,}$

que con p = 1 (recortando una "línea" en${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$) se convierte en

${\displaystyle (m-1)a(m+1)-(m+2)a(m)+(2m+1)a(1)=0.}$

Esta es una ecuación de diferencias que generalmente se resuelve mediante

${\displaystyle a(m)=\alpha m+\beta m^{3}.}$

El conmutador en la extensión sobre elementos de W es entonces

${\displaystyle [d_{l},d_{m}]=(l-m)d_{l+m}+(\alpha m+\beta m^{3})\delta _{l,-m}C.}$

Con β = 0 es posible cambiar la base (o modificar el 2-cociclo mediante un 2-colímite) de modo que

${\displaystyle [d'_{l},d'_{m}]=(l-m)d_{l+m},}$

con la carga central totalmente ausente, y la extensión es por lo tanto trivial. (Este no fue (generalmente) el caso con la modificación anterior, donde solo d ₀ obtuvo las relaciones originales). Con β ≠ 0 el siguiente cambio de base,

${\displaystyle d'_{l}=d_{l}+\delta _{0l}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}C,}$

Las relaciones de conmutación toman la forma

${\displaystyle [d'_{l},d'_{m}]=(l-m)d'_{l+m}+(\gamma m+\beta m^{3})\delta _{l,-m}C,}$

mostrando que la parte lineal en m es trivial. También muestra que H ² ( W ,${\displaystyle \mathbb {C} }$) es unidimensional (correspondiente a la elección de β ). La elección convencional es tomar α = − β = 1 ⁄ 12 y aún así conservar la libertad absorbiendo un factor arbitrario en el objeto arbitrario C. El álgebra de Virasoro V es entonces

${\displaystyle {\mathcal {V}}={\mathcal {W}}+\mathbb {C} C,}$

con relaciones de conmutación

Una representación proyectiva Π( G ) de un grupo de Lie G ( fondo ) puede usarse para definir una extensión de grupo denominada G _ex .

En mecánica cuántica, el teorema de Wigner afirma que si G es un grupo de simetría, entonces se representará proyectivamente en el espacio de Hilbert mediante operadores unitarios o antiunitarios. Esto se suele tratar pasando al grupo de recubrimiento universal de G y tomándolo como grupo de simetría. Esto funciona bien para el grupo de rotación SO(3) y el grupo de Lorentz O(3, 1) , pero no funciona cuando el grupo de simetría es el grupo galileano . En este caso, hay que pasar a su extensión central, el grupo de Bargmann , ^{[ 21 ]} que es el grupo de simetría de la ecuación de Schrödinger . Del mismo modo, si${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{2}}$, el grupo de traslaciones en el espacio de posición y momento, hay que pasar a su extensión central, el grupo de Heisenberg . ^{[ 22 ]}

Sea ω el 2-cociclo en G inducido por Π . Definimos ^{[ nb 6 ]}

${\displaystyle G_{\mathrm {ex} }=\mathbb {C} ^{*}\times G=\{(\lambda ,g)|\lambda \in \mathbb {C} ,g\in G\}}$

como un conjunto y sea la multiplicación definida por

${\displaystyle (\lambda _{1},g_{1})(\lambda _{2},g_{2})=(\lambda _{1}\lambda _{2}\omega (g_{1},g_{2}),g_{1}g_{2}).}$

La asociatividad se cumple ya que ω es un 2-cociclo en G. Se tiene para el elemento unidad

${\displaystyle (1,e)(\lambda ,g)=(\lambda \omega (e,g),g)=(\lambda ,g)=(\lambda ,g)(1,e),}$

y para el inverso

${\displaystyle (\lambda ,g)^{-1}=\left({\frac {1}{\lambda \omega (g,g^{-1})}},g^{-1}\right).}$

El conjunto (${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$, e ) es un subgrupo abeliano de G _ex . Esto significa que G _ex no es semisimple. El centro de G , Z ( G ) = { z ∈ G | zg = gz ∀ g ∈ G } incluye este subgrupo. El centro puede ser mayor.

A nivel de álgebras de Lie se puede demostrar que el álgebra de Lie g _ex de G _ex viene dada por

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathrm {ex} }=\mathbb {C} C\oplus {\mathfrak {g}},}$

como un espacio vectorial y dotado del corchete de Lie

${\displaystyle [\mu C+G_{1},\nu C+G_{2}]=[G_{1},G_{2}]+\eta (G_{1},G_{2})C.}$

Aquí η es un 2-cociclo en g . Este 2-cociclo se puede obtener a partir de ω , aunque de una manera muy no trivial. ^{[ nb 7 ]}

Ahora, utilizando la representación proyectiva Π, se puede definir una aplicación Π por _ejemplo

${\displaystyle \Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda ,g))=\lambda \Pi (g).}$

Tiene las propiedades

${\displaystyle \Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda _{1},g_{1}))\Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda _{2},g_{2}))=\lambda _{1}\lambda _{2}\Pi (g_{1})\Pi (g_{2})=\lambda _{1}\lambda _{2}\omega (g_{1},g_{2})\Pi (g_{1}g_{2})=\Pi _{\mathrm {ex} }(\lambda _{1}\lambda _{2}\omega (g_{1},g_{2}),g_{1}g_{2})=\Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda _{1},g_{1})(\lambda _{2},g_{2})),}$

por lo tanto, Π _ex ( G _ex ) es una representación genuina de G _ex .

En el contexto del teorema de Wigner, la situación puede representarse de la siguiente manera (reemplazar${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$por U(1) ); sea SH la esfera unitaria en el espacio de Hilbert H , y sea (·,·) su producto interno. Sea PH el espacio de rayos y [·,·] el producto de rayos . Además, sea una flecha ondulada la acción de un grupo . Entonces el diagrama

desplazamientos diarios, es decir

${\displaystyle \pi _{2}\circ \Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda ,g))(\psi )=\Pi \circ \pi (g)(\pi _{1}(\psi )),\quad \psi \in S{\mathcal {H}}.}$

Además, del mismo modo que G es una simetría de PH que preserva [·,·] , G _ex es una simetría de SH que preserva (·,·) . Las fibras de π ₂ son todas círculos. Estos círculos permanecen invariantes bajo la acción de U(1) . La acción de U(1) sobre estas fibras es transitiva y no tiene punto fijo. La conclusión es que SH es un fibrado principal sobre PH con grupo estructural U(1) . ^{[ 22 ]}

Una derivación δ en un álgebra de Lie g es una aplicación

${\displaystyle \delta$ :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}

de tal manera que la regla de Leibniz

${\displaystyle \delta [G_{1},G_{2}]=[\delta G_{1},G_{2}]+[G_{1},\delta G_{2}]}$

se cumple. El conjunto de derivaciones en un álgebra de Lie g se denota der g . Es en sí mismo un álgebra de Lie bajo el corchete de Lie.

${\displaystyle [\delta _{1},\delta _{2}]=\delta _{1}\circ \delta _{2}-\delta _{2}\circ \delta _{1}.}$

Es el álgebra de Lie del grupo Aut g de automorfismos de g . ^{[ 23 ]} Hay que demostrar

${\displaystyle \delta [G_{1},G_{1}]=[\delta G_{1},G_{2}]+[G_{1},\delta G_{2}]\Leftrightarrow e^{t\delta }[G_{1},G_{2}]=[e^{t\delta }G_{1},e^{t\delta }G_{2}],\quad \forall t\in \mathbb {R} .}$

Si se cumple el lado derecho, derivamos y establecemos t = 0 , lo que implica que se cumple el lado izquierdo. Si se cumple el lado izquierdo ( A ) , escribimos el lado derecho como

${\displaystyle [G_{1},G_{2}]\;{\overset {?}{=}}\;e^{-t\delta }[e^{t\delta }G_{1},e^{t\delta }G_{2}],}$

y derivamos el lado derecho de esta expresión. Es, usando ( A ) , idénticamente cero. Por lo tanto, el lado derecho de esta expresión es independiente de t e igual a su valor para t = 0 , que es el lado izquierdo de esta expresión.

Si G ∈ g , entonces ad _G , actuando mediante ad _{G 1} ( G ₂ ) = [ G ₁ , G ₂ ] , es una derivación. El conjunto ad _G : G ∈ g es el conjunto de derivaciones internas en g . Para álgebras de Lie simples de dimensión finita, todas las derivaciones son derivaciones internas. ^{[ 24 ]}