Geometría de la esfera de Lie

La cuádrica de Lie del plano se define de la siguiente manera. Sea R ^3,2 el espacio R ⁵ de 5-tuplas de números reales, equipado con la signatura (3,2) forma bilineal simétrica definida por

${\displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\cdot (y_{0},y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})=-x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{3}.}$

El espacio proyectivo R P ⁴ es el espacio de rectas que pasan por el origen en R ⁵ y es el espacio de vectores no nulos x en R ⁵ salvo escala, donde x = ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ). La cuádrica de Lie planar Q consta de los puntos [ x ] en el espacio proyectivo representados por vectores x con x · x = 0.

Para relacionar esto con la geometría plana, es necesario fijar una línea temporal orientada . Las coordenadas elegidas sugieren usar el punto [1,0,0,0,0] ∈ R P ⁴ . Cualquier punto en la cuádrica de Lie Q puede representarse entonces mediante un vector x = λ(1,0,0,0,0) + v , donde v es ortogonal a (1,0,0,0,0). Dado que [ x ] ∈ Q , v · v = λ ² ≥ 0.

El espacio ortogonal a (1,0,0,0,0), intersectado con la cuádrica de Lie, es la esfera celeste bidimensional S en el espacio-tiempo de Minkowski . Este es el plano euclidiano con un punto ideal en el infinito, que tomamos como [0,0,0,0,1]: los puntos finitos ( x , y ) en el plano están representados entonces por los puntos [ v ] = [0, x , y , − 1, ( x ² + y ² )/2]; tenga en cuenta que v · v = 0, v · (1,0,0,0,0) = 0 y v · (0,0,0,0,1) = − 1.

Por lo tanto, los puntos x = λ (1,0,0,0,0) + v en la cuádrica de Lie con λ = 0 corresponden a puntos en el plano euclidiano con un punto ideal en el infinito. Por otro lado, los puntos x con λ distinto de cero corresponden a círculos orientados (o líneas orientadas, que son círculos que pasan por el infinito) en el plano euclidiano. Esto es más fácil de ver en términos de la esfera celeste S : el círculo correspondiente a [ λ (1,0,0,0,0) + v ] ∈ Q (con λ ≠ 0) es el conjunto de puntos y ∈ S con y · v = 0. El círculo está orientado porque v / λ tiene un signo definido; [ − λ (1,0,0,0,0) + v ] representa el mismo círculo con la orientación opuesta. Así, el mapa de reflexión isométrica x → x + 2 ( x · (1,0,0,0,0)) (1,0,0,0,0) induce una involución ρ de la cuádrica de Lie que invierte la orientación de los círculos y las líneas, y fija los puntos del plano (incluido el infinito).

En resumen: existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de la cuádrica de Lie y los ciclos en el plano, donde un ciclo es un círculo orientado (o una línea recta) o un punto en el plano (o el punto en el infinito); los puntos pueden considerarse como círculos de radio cero, pero no están orientados.

Supongamos que dos ciclos están representados por los puntos [ x ], [ y ] ∈ Q . Entonces x · y = 0 si y solo si los ciclos correspondientes "se tocan", es decir, se encuentran con un contacto orientado de primer orden . Si [ x ] ∈ S ≅ R ² ∪ {∞}, entonces esto simplemente significa que [ x ] se encuentra en el círculo correspondiente a [ y ]; este caso es inmediato a partir de la definición de este círculo (si [ y ] corresponde a un círculo de puntos, entonces x · y = 0 si y solo si [ x ] = [ y ]).

Por lo tanto, queda considerar el caso en que ni [ x ] ni [ y ] están en S . Sin pérdida de generalidad, podemos entonces tomar x = (1,0,0,0,0) + v e y = (1,0,0,0,0) + w , donde v y w son vectores unitarios de tipo espacial en (1,0,0,0,0) ^⊥ . Así, v ^⊥ ∩ (1,0,0,0,0) ^⊥ y w ^⊥ ∩ (1,0,0,0,0) ^⊥ son subespacios de signatura (2,1) de (1,0,0,0,0) ^⊥ . Por lo tanto, coinciden o se intersecan en un subespacio bidimensional. En este último caso, el subespacio bidimensional puede tener signatura (2,0), (1,0), (1,1), en cuyo caso los dos círculos correspondientes en S se intersecan en cero, uno o dos puntos respectivamente. Por lo tanto, tienen contacto de primer orden si y solo si el subespacio bidimensional es degenerado (signatura (1,0)), lo cual se cumple si y solo si el espacio generado por v y w es degenerado. Por la identidad de Lagrange , esto se cumple si y solo si ( v · w ) ^² = ( v · v )( w · w ) = 1, es decir, si y solo si v · w = ±1, es decir, x · y = 1 ±1. El contacto está orientado si y solo si v · w = –1, es decir, x · y = 0.

La incidencia de ciclos en la geometría de la esfera de Lie proporciona una solución sencilla al problema de Apolonio . ^{[ 3 ]} Este problema se refiere a una configuración de tres círculos distintos (que pueden ser puntos o líneas): el objetivo es encontrar cualquier otro círculo (incluidos puntos o líneas) que sea tangente a los tres círculos originales. Para una configuración genérica de círculos, existen como máximo ocho de estos círculos tangentes.

La solución, utilizando la geometría de la esfera de Lie, procede de la siguiente manera. Se elige una orientación para cada uno de los tres círculos (hay ocho maneras de hacerlo, pero solo cuatro si se invierte la orientación de los tres). Esto define tres puntos [ x ], [ y ], [ z ] en la cuádrica de Lie Q. Por la incidencia de ciclos, una solución al problema apolíneo compatible con las orientaciones elegidas viene dada por un punto [ q ] ∈ Q tal que q es ortogonal a x , y y z . Si estos tres vectores son linealmente dependientes , entonces los puntos correspondientes [ x ], [ y ], [ z ] se encuentran en una línea en el espacio proyectivo. Dado que una ecuación cuadrática no trivial tiene como máximo dos soluciones, esta línea se encuentra en la cuádrica de Lie, y cualquier punto [ q ] en esta línea define un ciclo incidente con [ x ], [ y ] y [ z ]. Por lo tanto, en este caso existen infinitas soluciones.

Si en cambio x , y y z son linealmente independientes, entonces el subespacio V ortogonal a los tres es bidimensional. Puede tener signatura (2,0), (1,0) o (1,1), en cuyo caso hay cero, una o dos soluciones para [ q ] respectivamente. (La signatura no puede ser (0,1) o (0,2) porque es ortogonal a un espacio que contiene más de una línea nula). En el caso de que el subespacio tenga signatura (1,0), la solución única q se encuentra en el espacio generado por x , y y z .

La solución general al problema apolíneo se obtiene invirtiendo las orientaciones de algunos de los círculos, o equivalentemente, considerando las ternas ( x , ρ ( y ), z ), ( x , y , ρ ( z )) y ( x , ρ ( y ), ρ ( z )).

Nótese que la terna ( ρ ( x ), ρ ( y ), ρ ( z )) produce las mismas soluciones que ( x , y , z ), pero con una inversión general de la orientación. Por lo tanto, existen como máximo 8 círculos de solución para el problema apolíneo, a menos que los tres círculos se encuentren tangencialmente en un único punto, en cuyo caso existen infinitas soluciones.

Cualquier elemento del grupo O(3,2) de transformaciones ortogonales de R³ ^,² mapea cualquier subespacio unidimensional de vectores nulos en R³ ^,² a otro subespacio de este tipo. Por lo tanto, el grupo O(3,2) actúa sobre la cuádrica de Lie. Estas transformaciones de ciclos se denominan "transformaciones de Lie". Preservan la relación de incidencia entre ciclos. La acción es transitiva , por lo que todos los ciclos son equivalentes en Lie. En particular, los puntos no se conservan mediante transformaciones de Lie generales. El subgrupo de transformaciones de Lie que preserva los ciclos de puntos es esencialmente el subgrupo de transformaciones ortogonales que preservan la dirección temporal elegida. Este subgrupo es isomorfo al grupo O(3,1) de transformaciones de Möbius de la esfera. También puede caracterizarse como el centralizador de la involución ρ , que es en sí misma una transformación de Lie.

Las transformaciones de Lie se pueden utilizar con frecuencia para simplificar un problema geométrico, transformando círculos en líneas o puntos.

El hecho de que las transformaciones de Lie no conserven los puntos en general también puede ser un obstáculo para comprender la geometría de la esfera de Lie. En particular, la noción de curva no es invariante de Lie. Esta dificultad puede mitigarse al observar que existe una noción de elemento de contacto invariante de Lie .

Un elemento de contacto orientado en el plano es un par formado por un punto y una línea orientada (es decir, dirigida) que pasa por ese punto. El punto y la línea son ciclos incidentes. La observación clave es que el conjunto de todos los ciclos incidentes tanto en el punto como en la línea es un objeto invariante de Lie: además del punto y la línea, consta de todos los círculos que hacen contacto orientado con la línea en el punto dado. Se le llama haz de ciclos de Lie o, simplemente, elemento de contacto .

Nótese que los ciclos también son incidentes entre sí. En términos de la cuádrica de Lie, esto significa que un haz de ciclos es una línea (proyectiva) que se encuentra completamente sobre la cuádrica de Lie, es decir, es la proyectividad de un subespacio bidimensional totalmente nulo de R³ ^,² : los vectores representativos de los ciclos en el haz son todos ortogonales entre sí.

^{El conjunto de todas las líneas de la cuádrica de Lie es una} variedad tridimensional llamada espacio de elementos de contacto ^Z³ . Las transformaciones de Lie preservan los elementos de contacto y actúan transitivamente sobre ^Z³ . Para una elección dada de ciclos de puntos (los puntos ortogonales a un vector temporal v elegido ), cada elemento de contacto contiene un único punto. Esto define una aplicación de Z³ a la 2-esfera S² cuyas fibras son círculos ^. Esta aplicación no es invariante de Lie, ya que los puntos no lo son.

Sea γ :[ a , b ] → R ² una curva orientada. Entonces γ determina una aplicación λ del intervalo [ a , b ] a Z ³ enviando t al elemento de contacto correspondiente al punto γ ( t ) y a la línea orientada tangente a la curva en ese punto (la línea en la dirección γ '( t )). Esta aplicación λ se llama elevación de contacto de γ .

De hecho, Z ³ es una variedad de contacto , y la estructura de contacto es invariante de Lie. De ello se deduce que las curvas orientadas pueden estudiarse de forma invariante de Lie mediante sus elevaciones de contacto, que pueden caracterizarse, genéricamente, como curvas legendrianas en Z ³ . Más precisamente, el espacio tangente a Z ³ en el punto correspondiente a un subespacio nulo bidimensional π de R ^3,2 es el subespacio de aquellas aplicaciones lineales (A mod π ): π → R ^3,2 / π con

A ( x ) · y + x · A ( y ) = 0

y la distribución de contacto es el subespacio Hom( π , π ^⊥ / π ) de este espacio tangente en el espacio Hom( π , R ^3,2 / π ) de aplicaciones lineales.

De ello se deduce que una curva legendriana inmersa λ en Z ³ tiene un ciclo de Lie preferido asociado a cada punto de la curva: la derivada de la inmersión en t es un subespacio unidimensional de Hom( π , π ^⊥ / π ) donde π = λ ( t ); el núcleo de cualquier elemento no nulo de este subespacio es un subespacio unidimensional bien definido de π , es decir, un punto en la cuádrica de Lie.

En términos más familiares, si λ es la elevación de contacto de una curva γ en el plano, entonces el ciclo preferido en cada punto es el círculo osculador . En otras palabras, después de tomar elevaciones de contacto, gran parte de la teoría básica de curvas en el plano es invariante de Lie.

La geometría de la esfera de Lie en n dimensiones se obtiene reemplazando R ^3,2 (que corresponde a la cuádrica de Lie en n = 2 dimensiones) por R ^{n + 1, 2} . Esto es R ^{n + 3} equipado con la forma bilineal simétrica.

${\displaystyle (x_{0},x_{1},\ldots x_{n},x_{n+1},x_{n+2})\cdot (y_{0},y_{1},\ldots y_{n},y_{n+1},y_{n+2})}$

${\displaystyle =-x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}+x_{n+1}y_{n+2}+x_{n+2}y_{n+1}.}$

La cuádrica de Lie Q _n se define nuevamente como el conjunto de [ x ] ∈ R P ^{n +2} = P( R ^{n +1,2} ) con x · x = 0. La cuádrica parametriza ( n − 1)-esferas orientadas en el espacio n- dimensional, incluyendo hiperplanos y esferas puntuales como casos límite. Nótese que Q _n es una variedad (n + 1)-dimensional (las esferas se parametrizan por su centro y radio).

La relación de incidencia se mantiene sin cambios: las esferas correspondientes a los puntos [ x ], [ y ] ∈ Q _n tienen contacto orientado de primer orden si y solo si x · y = 0. El grupo de transformaciones de Lie es ahora O(n + 1, 2) y las transformaciones de Lie preservan la incidencia de los ciclos de Lie.

El espacio de elementos de contacto es una variedad de contacto de dimensión (2 n − 1) Z ^{2 n − 1} : en términos de la elección dada de esferas puntuales, estos elementos de contacto corresponden a pares que consisten en un punto en el espacio n -dimensional (que puede ser el punto en el infinito) junto con un hiperplano orientado que pasa por ese punto. El espacio Z ^{2 n − 1} es, por lo tanto, isomorfo al fibrado cotangente proyectivo de la n -esfera. Esta identificación no es invariante bajo transformaciones de Lie: en términos invariantes de Lie, Z ^{2 n − 1} es el espacio de líneas (proyectivas) en la cuádrica de Lie.

Cualquier hipersuperficie orientada inmersa en un espacio n -dimensional tiene una elevación de contacto a Z ^{2 n − 1} determinada por sus espacios tangentes orientados . Ya no hay un ciclo de Lie preferido asociado a cada punto: en su lugar, hay n − 1 ciclos de este tipo, que corresponden a las esferas de curvatura en la geometría euclidiana.

El problema de Apolonio tiene una generalización natural que involucra n + 1 hiperesferas en n dimensiones. ^{[ 4 ]}

En el caso n = 3, la cuádrica Q ₃ en P( R ^4,2 ) describe la geometría (de Lie) de esferas en el espacio euclidiano tridimensional. Lie observó una notable similitud con la correspondencia de Klein para líneas en el espacio tridimensional (más precisamente en R P ³ ). ^{[ 2 ]}

Supongamos que [ x ], [ y ] ∈ R P ³ , con coordenadas homogéneas ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) y ( y ₀ , y ₁ , y ₂ , y ₃ ). ^{[ 5 ]} Sea p _ij = x _i y _j − x _j y _i . Estas son las coordenadas homogéneas de la línea proyectiva que une x e y . Hay seis coordenadas independientes y satisfacen una única relación, la relación de Plücker.

p ₀₁ p ₂₃ + p ₀₂ p ₃₁ + p ₀₃ p ₁₂ = 0.

De ello se deduce que existe una correspondencia biunívoca entre las líneas en R P ³ y los puntos en la cuádrica de Klein , que es la hipersuperficie cuádrica de puntos [ p ₀₁ , p ₂₃ , p ₀₂ , p ₃₁ , p ₀₃ , p ₁₂ ] en R P ⁵ que satisfacen la relación de Plücker.

La forma cuadrática que define la relación de Plücker proviene de una forma bilineal simétrica de signatura (3,3). En otras palabras, el espacio de líneas en R P ³ es la cuádrica en P( R ^3,3 ). Aunque esto no es lo mismo que la cuádrica de Lie, se puede definir una "correspondencia" entre líneas y esferas usando los números complejos : si x = ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ , x ₅ ) es un punto en la cuádrica de Lie (compleja) (es decir, los x _i se toman como números complejos), entonces

p ₀₁ = x ₀ + x ₁ , p ₂₃ = − x ₀ + x ₁

p ₀₂ = x ₂ + i x ₃ , p ₃₁ = x ₂ − i x ₁

p ₀₃ = x ₄ , p ₁₂ = x ₅

define un punto en la cuádrica de Klein complejizada (donde i ² = −1).

La geometría de la esfera de Lie proporciona una descripción natural de las cíclidas de Dupin . Estas se caracterizan como la envoltura común de dos familias de esferas uniparamétricas S ( s ) y T ( t ), donde S y T son aplicaciones de intervalos a la cuádrica de Lie. Para que exista una envoltura común, S ( s ) y T ( t ) deben ser incidentes para todo s y t , es decir, sus vectores representativos deben abarcar un subespacio nulo bidimensional de R ^4,2 . Por lo tanto, definen una aplicación al espacio de elementos de contacto Z ⁵ . Esta aplicación es legendriana si y solo si las derivadas de S (o T ) son ortogonales a T (o S ), es decir, si y solo si hay una descomposición ortogonal de R ^4,2 en una suma directa de subespacios tridimensionales σ y τ de signatura (2,1), de modo que S toma valores en σ y T toma valores en τ . Por el contrario, dicha descomposición determina de forma única un levantamiento de contacto de una superficie que envuelve dos familias de esferas de un parámetro; la imagen de este levantamiento de contacto viene dada por los subespacios nulos bidimensionales que intersecan σ y τ en un par de líneas nulas.

Dicha descomposición viene dada de forma equivalente, salvo una elección de signo, por un endomorfismo simétrico de R ^4,2 cuyo cuadrado es la identidad y cuyos autoespacios ±1 son σ y τ . Utilizando el producto interno en R ^4,2 , esto se determina mediante una forma cuadrática en R ^4,2 .

En resumen, las ciclides de Dupin están determinadas por formas cuadráticas en R ^4,2 tales que el endomorfismo simétrico asociado tiene un cuadrado igual a la identidad y autoespacios de signatura (2,1).

Esto proporciona una forma de ver que las ciclides de Dupin son ciclides, en el sentido de que son conjuntos cero de cuárticas de una forma particular. Para ello, observe que, como en el caso planar, el espacio euclidiano tridimensional se incrusta en la cuádrica de Lie Q ₃ como el conjunto de esferas de puntos aparte del punto ideal en el infinito. Explícitamente, el punto (x,y,z) en el espacio euclidiano corresponde al punto

[0, x , y , z , −1, ( x ² + y ² + z ² )/2]

en Q ₃ . Una ciclídea consta de los puntos [0, x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ , x ₅ ] ∈ Q ₃ que satisfacen una relación cuadrática adicional

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{5}a_{ij}x_{i}x_{j}=0}$

para alguna matriz simétrica de 5 × 5 A = ( a _ij ). La clase de ciclides es una familia natural de superficies en la geometría de la esfera de Lie, y los ciclides de Dupin forman una subfamilia natural.