La condición de Lindeberg

En teoría de la probabilidad , la condición de Lindeberg es una condición suficiente (y bajo ciertas condiciones también una condición necesaria) para que el teorema del límite central (TLC) se cumpla para una secuencia de variables aleatorias independientes . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} A diferencia del TLC clásico, que requiere que las variables aleatorias en cuestión tengan varianza finita y sean independientes e idénticamente distribuidas , el TLC de Lindeberg solo requiere que tengan varianza finita, satisfagan la condición de Lindeberg y sean independientes . Recibe su nombre del matemático finlandés Jarl Waldemar Lindeberg . ^{[ 4 ]}

Declaración

Dejar $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ sea un espacio de probabilidad y $X_{k}:\Omega \to \mathbb {R} ,\,\,k\in \mathbb {N}$ , sean variables aleatorias independientes definidas en ese espacio. Supongamos que los valores esperados $\mathbb {E} \,[X_{k}]=\mu _{k}$ y variaciones $\mathrm {Var} \,[X_{k}]=\sigma _ {k}^{2}$ existen y son finitos. Además, $s_{n}^{2}:=\sum _{k=1}^{n}\sigma _{k}^{2}.$

Si esta secuencia de variables aleatorias independientes $X_{k}$ satisface la condición de Lindeberg :

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{s_{n}^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\mathbb {E} \left[(X_{k}-\mu _{k})^{2}\cdot \mathbf {1} _{\{|X_{k}-\mu _{k}|>\varepsilon s_{n}\}}\right]=0

a pesar de $\varepsilon >0$ donde 1 _{…} es la función indicadora , entonces se cumple el teorema del límite central , es decir, las variables aleatorias

Z_{n}:={\frac {\sum _{k=1}^{n}(X_{k}-\mu _{k})}{s_{n}}}

convergen en distribución a una variable aleatoria normal estándar como $n\to \infty .$

La condición de Lindeberg es suficiente, pero no necesariamente necesaria en general (es decir, la implicación inversa no se cumple en general). Sin embargo, si la secuencia de variables aleatorias independientes en cuestión satisface

\max _{k=1,\ldots ,n}{\frac {\sigma _{k}^{2}}{s_{n}^{2}}}\to 0,\quad {\text{ cuando }}n\to \infty ,

Entonces, la condición de Lindeberg es suficiente y necesaria, es decir, se cumple si y solo si se cumple el resultado del teorema del límite central.

Observaciones

Teorema de Feller

El teorema de Feller puede utilizarse como método alternativo para demostrar que se cumple la condición de Lindeberg. ^{[ 5 ]} Dejando $S_{n}:=\sum _{k=1}^{n}X_{k}$ y por simplicidad $\mathbb {E} \,[X_{k}]=0$ El teorema establece

si

\forall \varepsilon >0

,

\lim _{n\rightarrow \infty }\max _{1\leq k\leq n}P(|X_{k}|>\varepsilon s_{n})=0

y

{\frac {S_{n}}{s_{n}}}

converge débilmente a una distribución normal estándar como

n\rightarrow \infty

entonces

X_{k}

Satisface la condición de Lindeberg.

Este teorema se puede utilizar para refutar que el teorema del límite central se cumple para $X_{k}$ mediante la demostración por contradicción . Este procedimiento implica demostrar que la condición de Lindeberg no se cumple. $X_{k}$ .

Interpretación

Porque la condición de Lindeberg implica $\max _{k=1,\ldots ,n}{\frac {\sigma _{k}^{2}}{s_{n}^{2}}}\to 0$ como $n\to \infty$ , garantiza que la contribución de cualquier variable aleatoria individual $X_{k}$ ( $1\leq k\leq n$ ) a la varianza $s_{n}^{2}$ es arbitrariamente pequeño, para valores suficientemente grandes de $n$ .

Ejemplo

Consideremos el siguiente ejemplo informativo que satisface la condición de Lindeberg. Sea $\xi _{i}$ sea una secuencia de variables aleatorias i.i.d. con media cero y varianza 1 y $a_{i}$ una secuencia no aleatoria que satisface:

$\max _{i}^{n}{\frac {|a_{i}|}{\|a\|_{2}}}\rightarrow 0$

Ahora, definamos los elementos normalizados de la combinación lineal :

$X_{i}={\frac {a_{i}\xi _{i}}{\|a\|_{2}}}$

que satisface la condición de Lindeberg:

$\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[\left|X_{i}\right|^{2}1(|X_{i}|>\varepsilon )\right]\leq \sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[\left|X_{i}\right|^{2}1\left(|\xi _{i}|>\varepsilon {\frac {\|a\|_{2}}{\max _{i}^{n}|a_{i}|}}\right)\right]=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[\left|\xi _{i}\right|^{2}1\left(|\xi _{i}|>\varepsilon {\frac {\|a\|_{2}}{\max _{i}^{n}|a_{i}|}}\right)\right]$

pero $\xi _{i}^{2}$ es finito por DCT y la condición en el $a_{i}$ tenemos que esto va a 0 para cada $\varepsilon$ .

Véase también

Referencias

↑ Billingsley, P. (1986). Probabilidad y medida (2.ª ed.). Wiley. pág. 369. ISBN 0-471-80478-9.
↑ Ash , RB (2000). Probabilidad y teoría de la medida (2.ª ed.). pág. 307. ISBN 0-12-065202-1.
↑ Resnick, SI (1999). Un camino de probabilidad . pág. 314 .
^ Lindeberg, JW (1922). "Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung" . Mathematische Zeitschrift . 15 (1): 211– 225. doi : 10.1007/BF01494395 . S2CID 119730242 .
↑ Athreya, KB; Lahiri, SN (2006). Teoría de la medida y teoría de la probabilidad . Springer. pág. 348. ISBN 0-387-32903-X.

[1] Billingsley, P. (1986). Probabilidad y medida (2.ª ed.). Wiley. pág. 369. ISBN 0-471-80478-9.

[2] Ash , RB (2000). Probabilidad y teoría de la medida (2.ª ed.). pág. 307. ISBN 0-12-065202-1.

[3] Resnick, SI (1999). Un camino de probabilidad . pág. 314 .

[4] Lindeberg, JW (1922). "Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung" . Mathematische Zeitschrift . 15 (1): 211– 225. doi : 10.1007/BF01494395 . S2CID 119730242 .

[5] Athreya, KB; Lahiri, SN (2006). Teoría de la medida y teoría de la probabilidad . Springer. pág. 348. ISBN 0-387-32903-X.

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