Teorema del límite central

Dejar${\displaystyle (X_{n})_{n\geq 1}}$sea ​​una secuencia de variables aleatorias i.i.d. que tienen una distribución con valor esperado dado por${\displaystyle \mu }$y varianza finita dada por${\displaystyle \sigma ^{2}.}$Supongamos que estamos interesados ​​en el promedio de la muestra.

$${\displaystyle {\bar {X}}_{n}\equiv {\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{n}}.}$$

Según la ley de los grandes números , la media muestral converge casi con seguridad (y por lo tanto también converge en probabilidad ) al valor esperado.${\displaystyle \mu }$como${\displaystyle n\to \infty .}$

El teorema clásico del límite central describe el tamaño y la forma de distribución de las fluctuaciones estocásticas alrededor del número determinista.${\displaystyle \mu }$durante esta convergencia. Más precisamente, afirma que como${\displaystyle n}$A medida que aumenta la distribución de la media normalizada${\displaystyle {\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )}$, es decir, la diferencia entre el promedio de la muestra${\displaystyle {\bar {X}}_{n}}$y su límite${\displaystyle \mu ,}$escalado por el factor${\displaystyle {\sqrt {n}}}$, se aproxima a la distribución normal con media${\displaystyle 0}$y varianza${\displaystyle \sigma ^{2}.}$Para lo suficientemente grande${\displaystyle n,}$la distribución de${\displaystyle {\bar {X}}_{n}}$se acerca arbitrariamente a la distribución normal con media${\displaystyle \mu }$y varianza${\displaystyle \sigma ^{2}/n.}$

La utilidad del teorema radica en que la distribución de${\displaystyle {\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )}$se aproxima a la normalidad independientemente de la forma de la distribución del individuo${\displaystyle X_{i}.}$Formalmente, el teorema se puede enunciar de la siguiente manera:

En el caso${\displaystyle \sigma >0,}$La convergencia en la distribución significa que las funciones de distribución acumulativa de${\displaystyle {\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )}$convergen puntualmente a la función de distribución acumulada de la${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$distribución: para cada número real${\displaystyle z,}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left[{\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )\leq z\right]=\lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left[{\frac {{\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )}{\sigma }}\leq {\frac {z}{\sigma }}\right]=\Phi \left({\frac {z}{\sigma }}\right),}$$

dónde${\displaystyle \Phi (z)}$es la función de distribución acumulada normal estándar evaluada en${\displaystyle z.}$La convergencia es uniforme en${\displaystyle z}$en el sentido de que

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\;\sup _{z\in \mathbb {R} }\;\left|\mathbb {P} \left[{\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )\leq z\right]-\Phi \left({\frac {z}{\sigma }}\right)\right|=0~,}$$

dónde${\displaystyle \sup }$denota el supremo (es decir, el límite superior mínimo) del conjunto. ^{[ 5 ]}

En esta variante del teorema del límite central, las variables aleatorias${\textstyle X_{i}}$deben ser independientes, pero no necesariamente idénticamente distribuidas. El teorema también requiere que las variables aleatorias${\textstyle \left|X_{i}\right|}$tener momentos de algún orden${\textstyle (2+\delta )}$y que la tasa de crecimiento de estos momentos está limitada por la condición de Lyapunov que se indica a continuación.

En la práctica, suele ser más fácil comprobar la condición de Lyapunov para${\textstyle \delta =1}$.

Si una secuencia de variables aleatorias satisface la condición de Lyapunov, también satisface la condición de Lindeberg. Sin embargo, la implicación inversa no se cumple.

En el mismo contexto y con la misma notación que la anterior, la condición de Lyapunov puede reemplazarse por la siguiente, más débil (de Lindeberg en 1920).

Supongamos que para cada${\textstyle \varepsilon >0}$,

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{s_{n}^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} \left[(X_{i}-\mu _{i})^{2}\cdot \mathbf {1} _{\left\{\left|X_{i}-\mu _{i}\right|>\varepsilon s_{n}\right\}}\right]=0}$$

dónde${\textstyle \mathbf {1} _{\{\ldots \}}}$es la función indicadora . Luego, la distribución de las sumas estandarizadas

$${\displaystyle {\frac {1}{s_{n}}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu _{i}\right)}$$

converge hacia la distribución normal estándar${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$.

En lugar de sumar un número entero${\displaystyle n}$de variables aleatorias y tomando${\displaystyle n\to \infty }$La suma puede ser de un número aleatorio.${\displaystyle N}$de variables aleatorias, con condiciones sobre${\displaystyle N}$Por ejemplo, el siguiente teorema es el Corolario 4 de Robbins (1948). Supone que${\displaystyle N}$es asintóticamente normal (Robbins también desarrolló otras condiciones que conducen al mismo resultado).

Las demostraciones que utilizan funciones características pueden extenderse a casos en los que cada individuo${\textstyle \mathbf {X} _{i}}$es un vector aleatorio en${\textstyle \mathbb {R} ^{k}}$, con vector medio${\textstyle {\boldsymbol {\mu }}=\operatorname {E} [\mathbf {X} _{i}]}$y matriz de covarianza${\textstyle \mathbf {\Sigma } }$(entre los componentes del vector), y estos vectores aleatorios son independientes e idénticamente distribuidos. El teorema del límite central multidimensional establece que, al escalarse, las sumas convergen a una distribución normal multivariada . ^{[ 9 ]} La suma de estos vectores se realiza componente por componente.

Para${\displaystyle i=1,2,3,\ldots ,}$dejar

$${\displaystyle \mathbf {X} _{i}={\begin{bmatrix}X_{i}^{(1)}\\\vdots \\X_{i}^{(k)}\end{bmatrix}}}$$

sean vectores aleatorios independientes. La suma de los vectores aleatorios${\displaystyle \mathbf {X} _{1},\ldots ,\mathbf {X} _{n}}$es

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}={\begin{bmatrix}X_{1}^{(1)}\\\vdots \\X_{1}^{(k)}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}X_{2}^{(1)}\\\vdots \\X_{2}^{(k)}\end{bmatrix}}+\cdots +{\begin{bmatrix}X_{n}^{(1)}\\\vdots \\X_{n}^{(k)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{(1)}\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{(k)}\end{bmatrix}}}$$

y su promedio es

$${\displaystyle \mathbf {{\bar {X}}_{n}} ={\begin{bmatrix}{\bar {X}}_{i}^{(1)}\\\vdots \\{\bar {X}}_{i}^{(k)}\end{bmatrix}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}.}$$

Por lo tanto,

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{i=1}^{n}\left[\mathbf {X} _{i}-\operatorname {E} \left(\mathbf {X} _{i}\right)\right]={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {X} _{i}-{\boldsymbol {\mu }})={\sqrt {n}}\left({\overline {\mathbf {X} }}_{n}-{\boldsymbol {\mu }}\right).}$$

El teorema del límite central multivariable establece que

$${\displaystyle {\sqrt {n}}\left({\overline {\mathbf {X} }}_{n}-{\boldsymbol {\mu }}\right)\mathrel {\overset {d}{\longrightarrow }} {\mathcal {N}}_{k}(0,{\boldsymbol {\Sigma }}),}$$ donde la matriz de covarianza${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$es igual a $${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}={\begin{bmatrix}{\operatorname {Var} \left(X_{1}^{(1)}\right)}&\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(1)},X_{1}^{(2)}\right)&\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(1)},X_{1}^{(3)}\right)&\cdots &\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(1)},X_{1}^{(k)}\right)\\\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(2)},X_{1}^{(1)}\right)&\operatorname {Var} \left(X_{1}^{(2)}\right)&\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(2)},X_{1}^{(3)}\right)&\cdots &\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(2)},X_{1}^{(k)}\right)\\\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(3)},X_{1}^{(1)}\right)&\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(3)},X_{1}^{(2)}\right)&\operatorname {Var} \left(X_{1}^{(3)}\right)&\cdots &\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(3)},X_{1}^{(k)}\right)\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(k)},X_{1}^{(1)}\right)&\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(k)},X_{1}^{(2)}\right)&\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(k)},X_{1}^{(3)}\right)&\cdots &\operatorname {Var} \left(X_{1}^{(k)}\right)\\\end{bmatrix}}~.}$$

El teorema del límite central multivariable se puede demostrar utilizando el teorema de Cramér-Wold . ^{[ 9 ]}

La tasa de convergencia viene dada por el siguiente resultado de tipo Berry-Esseen :

Se desconoce si el factor${\textstyle d^{1/4}}$es necesario. ^{[ 11 ]}

Una generalización útil de una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas es un proceso aleatorio de mezcla en tiempo discreto; "mezcla" significa, aproximadamente, que las variables aleatorias temporalmente distantes entre sí son casi independientes. Varios tipos de mezcla se utilizan en la teoría ergódica y la teoría de la probabilidad. Véase especialmente la mezcla fuerte (también llamada α-mezcla) definida por${\textstyle \alpha (n)\to 0}$dónde${\textstyle \alpha (n)}$es el llamado coeficiente de mezcla fuerte .

Una formulación simplificada del teorema del límite central bajo mezcla fuerte es: ^{[ 16 ]}

De hecho,

$${\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {E} \left(X_{1}^{2}\right)+2\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {E} \left(X_{1}X_{1+k}\right),}$$

donde la serie converge absolutamente.

La asunción${\textstyle \sigma \neq 0}$no se puede omitir, ya que la normalidad asintótica falla para${\textstyle X_{n}=Y_{n}-Y_{n-1}}$dónde${\textstyle Y_{n}}$son otra secuencia estacionaria .

Existe una versión más fuerte del teorema: ^{[ 17 ]} la suposición${\textstyle \operatorname {E} \left[X_{n}^{12}\right]<\infty }$es reemplazado por${\textstyle \operatorname {E} \left[{\left|X_{n}\right|}^{2+\delta }\right]<\infty }$y la suposición${\textstyle \alpha _{n}=O\left(n^{-5}\right)}$es reemplazado por

$${\displaystyle \sum _{n}\alpha _{n}^{\frac {\delta }{2(2+\delta )}}<\infty .}$$

Existencia de tal${\textstyle \delta >0}$asegura la conclusión. Para un tratamiento enciclopédico de los teoremas límite bajo condiciones de mezcla, véase ( Bradley 2007 ) .

El teorema del límite central tiene una demostración que utiliza funciones características . ^{[ 20 ]} Es similar a la demostración de la ley (débil) de los grandes números .

Asumir${\textstyle \{X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots \}}$son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, cada una con media${\textstyle \mu }$y varianza finita${\textstyle \sigma ^{2}}$. La suma${\textstyle X_{1}+\cdots +X_{n}}$tiene significa${\textstyle n\mu }$y varianza${\textstyle n\sigma ^{2}}$. Consideremos la variable aleatoria

$${\displaystyle Z_{n}={\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}-n\mu }{\sqrt {n\sigma ^{2}}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {X_{i}-\mu }{\sqrt {n\sigma ^{2}}}}=:\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sqrt {n}}}Y_{i},}$$

donde el último paso define las nuevas variables aleatorias${\textstyle Y_{i}:={\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}}$, cada uno con media cero y varianza unitaria (${\textstyle \operatorname {var} (Y)=1}$). La función característica de${\textstyle Z_{n}}$es dado por

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{Z_{n}}\!(t)=\varphi _{\sum _{i=1}^{n}{{\frac {1}{\sqrt {n}}}Y_{i}}}\!(t)\ &=\ \varphi _{Y_{1}}\!\!\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\varphi _{Y_{2}}\!\!\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\cdots \varphi _{Y_{n}}\!\!\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\\[1ex]&=\ \left[\varphi _{Y_{1}}\!\!\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\right]^{n},\end{aligned}}}$$

donde el último paso se basa en el hecho de que todos los${\textstyle Y_{i}}$están idénticamente distribuidas. La función característica de${\textstyle Y_{1}}$es, por el teorema de Taylor , $${\displaystyle \varphi _{Y_{1}}\!\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)=1-{\frac {t^{2}}{2n}}+o\!\left({\frac {t^{2}}{n}}\right),\quad \left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\to 0}$$

dónde${\textstyle o(t^{2}/n)}$es " nota o minúscula " para alguna función de${\textstyle t}$que se reduce a cero más rápidamente que${\textstyle t^{2}/n}$. Por el límite de la función exponencial (${\textstyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$), la función característica de${\displaystyle Z_{n}}$igual

$${\displaystyle \varphi _{Z_{n}}(t)=\left(1-{\frac {t^{2}}{2n}}+o\left({\frac {t^{2}}{n}}\right)\right)^{n}\rightarrow e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}},\quad n\to \infty .}$$

Todos los términos de orden superior se desvanecen en el límite.${\textstyle n\to \infty }$El lado derecho es igual a la función característica de una distribución normal estándar .${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$, lo que implica a través del teorema de continuidad de Lévy que la distribución de${\textstyle Z_{n}}$se acercará${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$como${\textstyle n\to \infty }$Por lo tanto , el promedio de la muestra

$${\displaystyle {\bar {X}}_{n}={\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{n}}}$$

es tal que

$${\displaystyle {\frac {\sqrt {n}}{\sigma }}\left({\bar {X}}_{n}-\mu \right)=Z_{n}}$$

converge a la distribución normal${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$, de donde se deduce el teorema del límite central.

El teorema del límite central solo proporciona una distribución asintótica . Como aproximación para un número finito de observaciones, ofrece una aproximación razonable únicamente cuando se encuentra cerca del pico de la distribución normal; requiere un número muy grande de observaciones para abarcar los extremos.

La convergencia en el teorema del límite central es uniforme porque la función de distribución acumulativa límite es continua. Si el tercer momento central${\textstyle \operatorname {E} \left[(X_{1}-\mu )^{3}\right]}$Si existe y es finito, entonces la velocidad de convergencia es al menos del orden de${\textstyle 1/{\sqrt {n}}}$(véase el teorema de Berry-Esseen ). El método de Stein ^{[ 21 ]} puede utilizarse no solo para demostrar el teorema del límite central, sino también para proporcionar cotas en las tasas de convergencia para métricas seleccionadas. ^{[ 22 ]}

La convergencia a la distribución normal es monótona, en el sentido de que la entropía de${\textstyle Z_{n}}$aumenta monótonamente hasta alcanzar la distribución normal. ^{[ 23 ]}

El teorema del límite central se aplica en particular a sumas de variables aleatorias discretas independientes e idénticamente distribuidas . Una suma de variables aleatorias discretas sigue siendo una variable aleatoria discreta , de modo que nos encontramos ante una secuencia de variables aleatorias discretas cuya función de distribución de probabilidad acumulada converge hacia una función de distribución de probabilidad acumulada correspondiente a una variable continua (es decir, la de la distribución normal ). Esto significa que si construimos un histograma de las realizaciones de la suma de n variables discretas independientes e idénticamente distribuidas, la curva lineal a trozos que une los centros de las caras superiores de los rectángulos que forman el histograma converge hacia una curva gaussiana cuando n tiende a infinito; esta relación se conoce como teorema de De Moivre-Laplace . El artículo sobre la distribución binomial detalla dicha aplicación del teorema del límite central en el caso simple de una variable discreta que toma solo dos valores posibles.

Los estudios han demostrado que el teorema del límite central está sujeto a varias ideas erróneas comunes pero graves, algunas de las cuales aparecen en libros de texto ampliamente utilizados. ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]} Estas incluyen:

• La creencia errónea de que el teorema se aplica al muestreo aleatorio de cualquier variable, en lugar de a los valores medios (o sumas) de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.) extraídas de una población mediante muestreo repetido. Es decir, el teorema presupone que el muestreo aleatorio produce una distribución muestral formada por diferentes valores medios (o sumas) de dichas variables aleatorias.
• La creencia errónea de que el teorema garantiza que el muestreo aleatorio conduce a la aparición de una distribución normal para muestras suficientemente grandes de cualquier variable aleatoria, independientemente de la distribución de la población. En realidad, dicho muestreo reproduce asintóticamente las propiedades de la población, un resultado intuitivo respaldado por el teorema de Glivenko-Cantelli .
• La creencia errónea de que el teorema proporciona una buena aproximación de la distribución normal para tamaños de muestra mayores a 30, ^{[ 27 ]} permitiendo inferencias fiables independientemente de la naturaleza de la población. En realidad, esta regla empírica carece de justificación válida y puede conducir a inferencias gravemente erróneas. Véase la prueba Z para determinar dónde se cumple la aproximación.

La ley de los grandes números, así como el teorema del límite central, son soluciones parciales a un problema general: "¿Cuál es el comportamiento límite de S _n cuando n tiende a infinito?". En análisis matemático, las series asintóticas son una de las herramientas más utilizadas para abordar este tipo de cuestiones.

Supongamos que tenemos una expansión asintótica de${\textstyle f(n)}$:

$${\displaystyle f(n)=a_{1}\varphi _{1}(n)+a_{2}\varphi _{2}(n)+O{\big (}\varphi _{3}(n){\big )}\qquad (n\to \infty ).}$$

Dividiendo ambas partes por φ ₁ ( n ) y tomando el límite se obtendrá a ₁ , el coeficiente del término de orden más alto en la expansión, que representa la tasa a la que f ( n ) cambia en su término principal.

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{\varphi _{1}(n)}}=a_{1}.}$$

De manera informal, se puede decir: " f ( n ) crece aproximadamente como a ₁ φ ₁ ( n ) ". Tomando la diferencia entre f ( n ) y su aproximación y luego dividiendo por el siguiente término en la expansión, llegamos a una afirmación más precisa sobre f ( n ) :

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)-a_{1}\varphi _{1}(n)}{\varphi _{2}(n)}}=a_{2}.}$$

Aquí se puede decir que la diferencia entre la función y su aproximación crece aproximadamente como a ₂ φ ₂ ( n ) . La idea es que dividir la función por funciones de normalización apropiadas y observar el comportamiento límite del resultado puede revelar mucho sobre el comportamiento límite de la función original.

De manera informal, algo parecido sucede cuando se estudia la suma, S _n , de variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas, X ₁ , ..., X _n , en la teoría clásica de la probabilidad. Si cada X _i tiene una media finita μ , entonces por la ley de los grandes números, ⁠ S _n / n ⁠ → μ . ^{[ 28 ]} Si además cada X _i tiene una varianza finita σ ² , entonces por el teorema del límite central,

$${\displaystyle {\frac {S_{n}-n\mu }{\sqrt {n}}}\to \xi ,}$$

donde ξ se distribuye como N (0, σ ² ) . Esto proporciona los valores de las dos primeras constantes en la expansión informal.

$${\displaystyle S_{n}\approx \mu n+\xi {\sqrt {n}}.}$$

En el caso de que las X _i no tengan media o varianza finita, la convergencia de la suma desplazada y reescalada también puede ocurrir con diferentes factores de centrado y escalado:

$${\displaystyle {\frac {S_{n}-a_{n}}{b_{n}}}\rightarrow \Xi ,}$$

o informalmente

$${\displaystyle S_{n}\approx a_{n}+\Xi b_{n}.}$$

Las distribuciones Ξ que pueden surgir de esta manera se denominan estables . ^{[ 29 ]} Claramente, la distribución normal es estable, pero también existen otras distribuciones estables, como la distribución de Cauchy , para las cuales no se definen la media ni la varianza. El factor de escala b _n puede ser proporcional a n ^c , para cualquier c ≥ 1 / 2 ; también puede multiplicarse por una función de n que varía lentamente . ^{[ 30 ] [ 31 ]}

La ley del logaritmo iterado especifica lo que ocurre "entre" la ley de los grandes números y el teorema del límite central. En concreto, establece que la función normalizadora √ n log log n , de tamaño intermedio entre n de la ley de los grandes números y √ n del teorema del límite central, proporciona un comportamiento límite no trivial.

Sea S _n la suma de n variables aleatorias. Muchos teoremas del límite central proporcionan condiciones tales que S _n / √ Var( S _n ) converge en distribución a N (0,1) (la distribución normal con media 0, varianza 1) cuando n → ∞ . En algunos casos, es posible encontrar una constante σ ² y una función f(n) tales que S _n /(σ √ n⋅f ( n ) ) converge en distribución a N (0,1) cuando n → ∞ .

El logaritmo de un producto es simplemente la suma de los logaritmos de sus factores. Por lo tanto, cuando el logaritmo de un producto de variables aleatorias que solo toman valores positivos se aproxima a una distribución normal, el producto en sí se aproxima a una distribución log-normal . Muchas magnitudes físicas (especialmente la masa o la longitud, que son una cuestión de escala y no pueden ser negativas) son productos de diferentes factores aleatorios , por lo que siguen una distribución log-normal. Esta versión multiplicativa del teorema del límite central se conoce a veces como la ley de Gibrat .

Mientras que el teorema del límite central para sumas de variables aleatorias requiere la condición de varianza finita, el teorema correspondiente para productos requiere la condición correspondiente de que la función de densidad sea de cuadrado integrable. ^{[ 34 ]}

Estas dos distribuciones ε _n -cercanas tienen densidades (de hecho, densidades logarítmicamente cóncavas); por lo tanto, la distancia de varianza total entre ellas es la integral del valor absoluto de la diferencia entre las densidades. La convergencia en la variación total es más fuerte que la convergencia débil.

Un ejemplo importante de densidad logarítmicamente cóncava es una función constante dentro de un cuerpo convexo dado y que se anula fuera de él; corresponde a la distribución uniforme en el cuerpo convexo, lo que explica el término "teorema del límite central para cuerpos convexos".

Otro ejemplo: f ( x ₁ , ..., x _n ) = const · exp(−( | x ₁ | ^α + ⋯ + | x _n | ^α ) ^β ) donde α > 1 y αβ > 1 . Si β = 1 entonces f ( x ₁ , ..., x _n ) se factoriza en const · exp (− | x ₁ | ^α ) ... exp(− | x _n | ^α ), lo que significa que X ₁ , ..., X _n son independientes. En general, sin embargo, son dependientes.

La condición f ( x ₁ , ..., x _n ) = f ( | x ₁ | , ..., | x _n | ) garantiza que X ₁ , ..., X _n tengan media cero y no estén correlacionados ; sin embargo, no es necesario que sean independientes, ni siquiera independientes por pares . Por cierto, la independencia por pares no puede reemplazar la independencia en el teorema clásico del límite central. ^{[ 36 ]}

Aquí tenemos un resultado del tipo Berry-Esseen .

La distribución de ⁠ X ₁ + ⋯ + X _n / √ n ⁠ no tiene por qué ser aproximadamente normal (de hecho, puede ser uniforme). ^{[ 38 ]} Sin embargo, la distribución de c ₁ X ₁ + ⋯ + c _n X _n es cercana a${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$(en la distancia de variación total) para la mayoría de los vectores ( c ₁ , ..., c _n ) de acuerdo con la distribución uniforme en la esfera c ² ₁ + ⋯ + c ² _n = 1 .

Lo mismo se aplica a todas las dimensiones mayores que 2.

El politopo K _n se denomina politopo aleatorio gaussiano .

Un resultado similar se cumple para el número de vértices (del politopo gaussiano), el número de aristas y, de hecho, las caras de todas las dimensiones. ^{[ 42 ]}

Una función lineal de una matriz M es una combinación lineal de sus elementos (con coeficientes dados), M ↦ tr( AM ) donde A es la matriz de los coeficientes; véase Traza (álgebra lineal)#Producto interno .

Se dice que una matriz ortogonal aleatoria está distribuida uniformemente si su distribución es la medida de Haar normalizada en el grupo ortogonal O( n , R ) ; véase Matriz de rotación#Matrices de rotación aleatorias uniformes .

El teorema del límite central puede establecerse para el paseo aleatorio simple en una red cristalina (un grafo de recubrimiento abeliano de pliegue infinito sobre un grafo finito) y se utiliza para el diseño de estructuras cristalinas. ^{[ 45 ] [ 46 ]}

El análisis de regresión , y en particular el de mínimos cuadrados ordinarios , especifica que una variable dependiente depende, según una función determinada, de una o más variables independientes , con un término de error aditivo . Diversos tipos de inferencia estadística sobre la regresión asumen que el término de error sigue una distribución normal. Esta suposición se justifica al considerar que el término de error es, en realidad, la suma de muchos términos de error independientes; incluso si los términos de error individuales no siguen una distribución normal, según el teorema del límite central, su suma puede aproximarse bien mediante una distribución normal.

Dada su importancia para la estadística, existen numerosos artículos y paquetes informáticos que demuestran la convergencia implicada en el teorema del límite central. ^{[ 47 ]}