La condición de Lindeberg

En teoría de probabilidad , la condición de Lindeberg es una condición suficiente (y bajo ciertas condiciones también una condición necesaria) para que el teorema del límite central (TLC) se cumpla para una secuencia de variables aleatorias independientes . ^{[1] [2] [3]} A diferencia del TLC clásico, que requiere que las variables aleatorias en cuestión tengan varianza finita y sean independientes e idénticamente distribuidas , el TLC de Lindeberg solo requiere que tengan varianza finita, satisfagan la condición de Lindeberg y sean independientes . Recibe su nombre en honor al matemático finlandés Jarl Waldemar Lindeberg . ^[4]

Sea un espacio de probabilidad , y , variables aleatorias independientes definidas en ese espacio. Suponga que los valores esperados y las varianzas existen y son finitos. Sea también${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle X_{k}:\Omega \to \mathbb {R} ,\,\,k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {E} \,[X_{k}]=\mu _{k}}$${\displaystyle \mathrm {Var} \,[X_{k}]=\sigma _ {k}^{2}}$${\displaystyle s_{n}^{2}:=\suma _{k=1}^{n}\sigma _{k}^{2}.}$

Si esta secuencia de variables aleatorias independientes satisface la condición de Lindeberg : $Estilo de visualización X_ {k}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{s_{n}^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\mathbb {E} \left[(X_{k}-\mu _{k})^{2}\cdot \mathbf {1} _{\{|X_{k}-\mu _{k}|>\varepsilon s_{n}\}}\right]=0}$

para todos , donde 1 _{…} es la función indicadora , entonces se cumple el teorema del límite central , es decir, las variables aleatorias ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle Z_{n}:={\frac {\sum _{k=1}^{n}(X_{k}-\mu _{k})}{s_{n}}}}$

convergen en distribución a una variable aleatoria normal estándar como${\displaystyle n\to \infty .}$

La condición de Lindeberg es suficiente, pero no en general necesaria (es decir, la implicación inversa no se cumple en general). Sin embargo, si la secuencia de variables aleatorias independientes en cuestión satisface

${\displaystyle \max _{k=1,\ldots ,n}{\frac {\sigma _{k}^{2}}{s_{n}^{2}}}\to 0,\quad {\text{ como }}n\to \infty ,}$

Entonces la condición de Lindeberg es a la vez suficiente y necesaria, es decir, se cumple si y sólo si se cumple el resultado del teorema del límite central.

El teorema de Feller se puede utilizar como un método alternativo para demostrar que se cumple la condición de Lindeberg. ^[5] Si se deja y para simplificar , el teorema establece ${\displaystyle S_{n}:=\suma _{k=1}^{n}X_{k}}$${\displaystyle \mathbb {E} \,[X_{k}]=0}$

si , y converge débilmente a una distribución normal estándar como entonces satisface la condición de Lindeberg.${\displaystyle \paratodos \varepsilon >0}$${\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\max_{1\leq k\leq n}P(|X_{k}|>\varepsilon s_{n})=0}$${\displaystyle {\frac {S_{n}}{s_{n}}}}$${\displaystyle n\rightarrow \infty}$$Estilo de visualización X_ {k}}$

Este teorema se puede utilizar para refutar que el teorema del límite central se cumple para mediante la prueba por contradicción . Este procedimiento implica demostrar que la condición de Lindeberg falla para . $Estilo de visualización X_ {k}}$$Estilo de visualización X_ {k}}$

Debido a que la condición de Lindeberg implica que , garantiza que la contribución de cualquier variable aleatoria individual ( ) a la varianza es arbitrariamente pequeña, para valores suficientemente grandes de . ${\displaystyle \max _{k=1,\ldots ,n}{\frac {\sigma _{k}^{2}}{s_{n}^{2}}}\to 0}$${\displaystyle n\to \infty}$$Estilo de visualización X_ {k}}$${\displaystyle 1\leq k\leq n}$$Estilo de visualización s_{n}^{2}}$${\estilo de visualización n}$

Consideremos el siguiente ejemplo informativo que satisface la condición de Lindeberg. Sea una secuencia de media cero, varianza 1, variables aleatorias iid y una secuencia no aleatoria que satisface: ${\displaystyle \xi_{i}}$$Estilo de visualización ai$

$${\displaystyle \max _{i}^{n}{\frac {|a_{i}|}{\|a_{i}\|_{2}}}\rightarrow 0}$$

Ahora, defina los elementos normalizados de la combinación lineal:

$${\displaystyle X_{n,i}={\frac {a_{i}\xi _{i}}{\|a\|_{2}}}}$$

que satisface la condición de Lindeberg:

$${\displaystyle \sum _{i}^{n}\mathbb {E} \left[\left|X_{i}\right|^{2}1(|X_{i}|>\varepsilon )\right]\leq \sum _{i}^{n}\mathbb {E} \left[\left|X_{i}\right|^{2}1\left(|\xi _{i}|>\varepsilon {\frac {\|a\|_{2}}{\max _{i}^{n}|a_{i}|}}\right)\right]=\mathbb {E} \left[\left|\xi _{i}\right|^{2}1\left(|\xi _{i}|>\varepsilon {\frac {\|a\|_{2}}{\max _{i}^{n}|a_{i}|}}\right)\right]}$$

pero es finito, por lo que por DCT y la condición en el tenemos que esto tiende a 0 para cada . ${\displaystyle \xi_{i}^{2}}$$Estilo de visualización ai$${\estilo de visualización \varepsilon}$

• Estado de Lyapunov
• Teorema del límite central