Intersección línea-esfera

En geometría analítica , una línea y una esfera pueden intersecarse de tres maneras:

1. ninguna intersección en absoluto,
2. intersección en un solo punto, y
3. intersección en dos puntos.

Los métodos para distinguir estos casos y determinar las coordenadas de los puntos en los casos posteriores son útiles en diversas circunstancias. Por ejemplo, es un cálculo común que se realiza durante el trazado de rayos . ^{[ 1 ]}

En notación vectorial , las ecuaciones son las siguientes:

Ecuación para una esfera

${\displaystyle \left\Vert \mathbf {x} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}=r^{2}}$

• ${\displaystyle \mathbf {x} }$ : puntos en la esfera
• ${\displaystyle \mathbf {c} }$ : punto central
• ${\displaystyle r}$ : radio de la esfera

Ecuación para una línea que comienza en${\displaystyle \mathbf {o} }$

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {o} +d\mathbf {u} }$

• ${\displaystyle \mathbf {x} }$ : puntos en la línea
• ${\displaystyle \mathbf {o} }$ : origen de la línea
• ${\displaystyle d}$ : distancia desde el origen de la línea
• ${\displaystyle \mathbf {u} }$ : dirección de la línea (un vector distinto de cero)

Buscar puntos que estén en la línea y en la esfera significa combinar las ecuaciones y resolver para${\displaystyle d}$, que involucra el producto escalar de vectores:

Ecuaciones combinadas

${\displaystyle \left\Vert \mathbf {o} +d\mathbf {u} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}=r^{2}\Leftrightarrow (\mathbf {o} +d\mathbf {u} -\mathbf {c} )\cdot (\mathbf {o} +d\mathbf {u} -\mathbf {c} )=r^{2}}$

Ampliado y reorganizado:

${\displaystyle d^{2}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )+2d[\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]+(\mathbf {o} -\mathbf {c} )\cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )-r^{2}=0}$

Ahora se puede observar la forma de una fórmula cuadrática . (Esta ecuación cuadrática es un ejemplo de la ecuación de Joachimsthal. ^{[ 2 ]} )

${\displaystyle ad^{2}+bd+c=0}$

dónde

• ${\displaystyle a=\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} =\left\Vert \mathbf {u} \right\Vert ^{2}}$
• ${\displaystyle b=2[\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]}$
• ${\displaystyle c=(\mathbf {o} -\mathbf {c} )\cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )-r^{2}=\left\Vert \mathbf {o} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}-r^{2}}$

Simplificado

${\displaystyle d={\frac {-2[\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]\pm {\sqrt {(2[\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )])^{2}-4\left\Vert \mathbf {u} \right\Vert ^{2}(\left\Vert \mathbf {o} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}-r^{2})}}}{2\left\Vert \mathbf {u} \right\Vert ^{2}}}}$

Tenga en cuenta que en el caso específico donde${\displaystyle \mathbf {u} }$es un vector unitario y, por lo tanto,${\displaystyle \left\Vert \mathbf {u} \right\Vert ^{2}=1}$, podemos simplificar esto aún más a (escribiendo${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}}$en lugar de${\displaystyle \mathbf {u} }$para indicar un vector unitario):

${\displaystyle \nabla =[{\hat {\mathbf {u} }}\cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]^{2}-(\left\Vert \mathbf {o} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}-r^{2})}$

${\displaystyle d=-[{\hat {\mathbf {u} }}\cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]\pm {\sqrt {\nabla }}}$

• Si${\displaystyle \nabla <0}$, entonces queda claro que no existen soluciones, es decir, la línea no interseca la esfera (caso 1).
• Si${\displaystyle \nabla =0}$, entonces existe exactamente una solución, es decir, la línea toca la esfera en un solo punto (caso 2).
• Si${\displaystyle \nabla >0}$Existen dos soluciones y, por lo tanto, la línea toca la esfera en dos puntos (caso 3).

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