Filtro lineal

Los filtros lineales procesan señales de entrada variables en el tiempo para producir señales de salida, sujetas a la restricción de linealidad . En la mayoría de los casos, estos filtros lineales también son invariantes en el tiempo (o invariantes a la traslación ), en cuyo caso pueden analizarse con precisión utilizando la teoría de sistemas LTI ("lineal invariante en el tiempo"), revelando sus funciones de transferencia en el dominio de la frecuencia y sus respuestas impulsionales en el dominio del tiempo. Las implementaciones en tiempo real de dichos filtros de procesamiento de señales lineales en el dominio del tiempo son inevitablemente causales , una restricción adicional en sus funciones de transferencia. Un circuito electrónico analógico compuesto únicamente por componentes lineales (resistencias, condensadores, inductores y amplificadores lineales) necesariamente entrará en esta categoría, al igual que los sistemas mecánicos comparables o los sistemas de procesamiento de señales digitales que contengan solo elementos lineales. Dado que los filtros lineales invariantes en el tiempo pueden caracterizarse completamente por su respuesta a sinusoides de diferentes frecuencias (su respuesta en frecuencia ), a veces se les conoce como filtros de frecuencia.

Las implementaciones no en tiempo real de filtros lineales invariantes en el tiempo no tienen por qué ser causales. También se utilizan filtros de más de una dimensión, como en el procesamiento de imágenes . El concepto general de filtrado lineal se extiende a otros campos y tecnologías, como la estadística , el análisis de datos y la ingeniería mecánica .

Un filtro lineal invariante en el tiempo (LTI) puede especificarse de forma única mediante su respuesta impulsional h , y la salida de cualquier filtro se expresa matemáticamente como la convolución de la entrada con dicha respuesta impulsional. La respuesta en frecuencia viene dada por la función de transferencia del filtro.${\displaystyle H(\omega )}$es una caracterización alternativa del filtro. Los objetivos típicos del diseño de filtros son lograr una respuesta en frecuencia particular, es decir, la magnitud de la función de transferencia.${\displaystyle |H(\omega )|}$La importancia de la fase de la función de transferencia varía según la aplicación, ya que la forma de onda puede distorsionarse en mayor o menor medida al intentar obtener la respuesta (de amplitud) deseada en el dominio de la frecuencia. La respuesta en frecuencia puede ajustarse, por ejemplo, para eliminar componentes de frecuencia no deseados de una señal de entrada o para limitar el amplificador a señales dentro de una banda de frecuencias específica.

La respuesta impulsional h de un filtro causal lineal invariante en el tiempo especifica la salida que produciría el filtro si recibiera una entrada consistente en un único impulso en el instante t=0. Un "impulso" en un filtro de tiempo continuo se refiere a una función delta de Dirac ; en un filtro de tiempo discreto, se aplicaría la función delta de Kronecker . La respuesta impulsional caracteriza completamente la respuesta de cualquier filtro de este tipo, ya que cualquier señal de entrada posible puede expresarse como una combinación (posiblemente infinita) de funciones delta ponderadas. Multiplicando la respuesta impulsional desplazada en el tiempo según la llegada de cada una de estas funciones delta por la amplitud de cada una de ellas, y sumando estas respuestas (según el principio de superposición , aplicable a todos los sistemas lineales) se obtiene la forma de onda de salida.

Matemáticamente, esto se describe como la convolución de una señal de entrada variable en el tiempo x(t) con la respuesta impulsional del filtro h , definida como:

${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{T}x(t-\tau )\,h(\tau )\,d\tau }$o

${\displaystyle y_{k}=\sum _{i=0}^{N}x_{ki}\,h_{i}}$.

La primera forma es la de tiempo continuo, que describe sistemas mecánicos y electrónicos analógicos, por ejemplo. La segunda ecuación es una versión de tiempo discreto utilizada, por ejemplo, por filtros digitales implementados en software, lo que se conoce como procesamiento digital de señales . La respuesta impulsional h caracteriza completamente cualquier filtro lineal invariante en el tiempo (o invariante en el caso de tiempo discreto). Se dice que la entrada x está " convolucionada " con la respuesta impulsional h, que tiene una duración (posiblemente infinita) de tiempo T (o de N periodos de muestreo ).

El diseño de filtros consiste en encontrar una función de transferencia viable que pueda implementarse dentro de ciertas limitaciones prácticas impuestas por la tecnología o la complejidad deseada del sistema, seguido de un diseño práctico que materialice dicha función de transferencia utilizando la tecnología elegida. La complejidad de un filtro puede especificarse según su orden .

Entre los filtros en el dominio del tiempo que aquí consideramos, existen dos clases generales de funciones de transferencia de filtro que pueden aproximar una respuesta en frecuencia deseada. Se aplican tratamientos matemáticos muy diferentes al diseño de filtros denominados filtros de respuesta de impulso infinita (IIR), característicos de los sistemas mecánicos y electrónicos analógicos, y filtros de respuesta de impulso finita (FIR), que pueden ser implementados por sistemas de tiempo discreto como las computadoras (entonces denominados procesamiento digital de señales ).

La respuesta en frecuencia o función de transferencia${\displaystyle |H(\omega )|}$La respuesta en frecuencia de un filtro se puede obtener si se conoce la respuesta impulsional, o directamente mediante análisis utilizando transformadas de Laplace , o en sistemas de tiempo discreto la transformada Z. La respuesta en frecuencia también incluye la fase como función de la frecuencia; sin embargo, en muchos casos la respuesta de fase es de poco o ningún interés. Los filtros FIR pueden diseñarse para tener fase cero, pero con los filtros IIR esto generalmente es imposible. Con la mayoría de las funciones de transferencia IIR existen funciones de transferencia relacionadas que tienen una respuesta en frecuencia con la misma magnitud pero una fase diferente; en la mayoría de los casos, se prefiere la denominada función de transferencia de fase mínima .

Los filtros en el dominio del tiempo suelen requerir una respuesta en frecuencia específica. Para ello, un procedimiento matemático determina una función de transferencia del filtro que se puede implementar (dentro de ciertas restricciones) y que aproxima la respuesta deseada con una precisión determinada. Las especificaciones comunes de respuesta de los filtros se describen a continuación:

• Un filtro de paso bajo deja pasar las frecuencias bajas mientras bloquea las frecuencias más altas.
• Un filtro de paso alto deja pasar las frecuencias altas.
• Un filtro de paso de banda deja pasar una banda (rango) de frecuencias.
• Un filtro de rechazo de banda permite el paso de frecuencias altas y bajas fuera de una banda específica.
• Un filtro de rechazo de banda tiene una respuesta nula en una frecuencia determinada. Esta función se puede combinar con alguna de las respuestas anteriores.
• Un filtro de paso total deja pasar todas las frecuencias por igual, pero altera el retardo de grupo y la relación de fase entre ellas.
• Un filtro de ecualización no está diseñado para dejar pasar o bloquear completamente ninguna frecuencia, sino para variar gradualmente la respuesta de amplitud en función de la frecuencia: los filtros utilizados como filtros de preénfasis , ecualizadores o controles de tono son buenos ejemplos.

funciones de transferencia IIR

Dado que los filtros analógicos clásicos son filtros IIR, existe una larga trayectoria de estudio del rango de funciones de transferencia posibles que implementan diversas respuestas de filtro deseadas en sistemas de tiempo continuo. Mediante transformadas , es posible convertir estas respuestas de frecuencia de tiempo continuo en respuestas de tiempo discreto, para su uso en filtros IIR digitales. La complejidad de cualquier filtro de este tipo viene dada por el orden N, que describe el orden de la función racional que describe la respuesta de frecuencia. El orden N es de particular importancia en los filtros analógicos, ya que un filtro electrónico ^de orden N requiere N elementos reactivos (condensadores y/o inductores) para su implementación. Si un filtro se implementa utilizando, por ejemplo, etapas biquad con amplificadores operacionales , se necesitan N/2 etapas. En una implementación digital, el número de cálculos realizados por muestra es proporcional a N. Por lo tanto, el problema matemático consiste en obtener la mejor aproximación (en cierto sentido) a la respuesta deseada utilizando un N menor, como ilustraremos a continuación.

A continuación se muestran las respuestas en frecuencia de varias funciones de filtro estándar que se aproximan a la respuesta deseada, optimizadas según algún criterio. Todos son filtros paso bajo de quinto orden, diseñados para una frecuencia de corte de 0,5 en unidades normalizadas. Se muestran las respuestas en frecuencia para los filtros Butterworth , Chebyshev , Chebyshev inverso y elíptico .

Como se aprecia en la imagen, el filtro elíptico ofrece una respuesta más nítida que los demás, pero a costa de ondulaciones tanto en la banda de paso como en la de rechazo. El filtro Butterworth presenta la transición más deficiente, pero ofrece una respuesta más uniforme, evitando ondulaciones en ambas bandas. Un filtro Bessel (no mostrado) tiene una transición aún peor en el dominio de la frecuencia, pero mantiene la mejor fidelidad de fase de la forma de onda. Las distintas aplicaciones exigen diferentes requisitos de diseño, lo que conlleva distintas opciones entre estas (y otras) optimizaciones, o bien requiere un filtro de orden superior.

Un circuito popular que implementa un filtro RC activo de segundo orden es el diseño Sallen-Key , cuyo diagrama esquemático se muestra aquí. Esta topología se puede adaptar para producir filtros de paso bajo, paso banda y paso alto.

Un filtro FIR de orden N ^puede implementarse en un sistema de tiempo discreto mediante un programa informático o hardware especializado, donde la señal de entrada se ve afectada por N etapas de retardo. La salida del filtro se forma como la suma ponderada de dichas señales retardadas, tal como se muestra en el diagrama de flujo de señales adjunto. La respuesta del filtro depende de los coeficientes de ponderación b₀ _, b₁ _, ... _{, bN} . Por ejemplo , si todos los coeficientes fueran iguales a la unidad (una función rectangular) , se implementaría un filtro paso bajo con una ganancia de baja frecuencia de N+1 y una respuesta en frecuencia dada por la función sinc . Se pueden obtener formas superiores para la respuesta en frecuencia utilizando coeficientes derivados de un procedimiento de diseño más sofisticado.

La teoría de sistemas LTI describe filtros lineales invariantes en el tiempo (LTI) de todo tipo. Los filtros LTI se pueden describir completamente mediante su respuesta en frecuencia y su respuesta en fase , cuya especificación define de forma unívoca su respuesta impulsional , y viceversa . Desde un punto de vista matemático, los filtros LTI IIR de tiempo continuo se pueden describir mediante ecuaciones diferenciales lineales , y sus respuestas impulsionales se consideran funciones de Green de la ecuación. Los filtros LTI de tiempo continuo también se pueden describir mediante la transformada de Laplace de su respuesta impulsional, lo que permite analizar todas las características del filtro considerando el patrón de ceros y polos de su transformada de Laplace en el plano complejo . De manera similar, los filtros LTI de tiempo discreto se pueden analizar mediante la transformada Z de su respuesta impulsional.

Antes de la llegada de las herramientas de síntesis de filtros por computadora, las herramientas gráficas como los diagramas de Bode y Nyquist se utilizaban ampliamente como herramientas de diseño. Incluso hoy en día, son herramientas invaluables para comprender el comportamiento de los filtros. Los libros de referencia ^{[ 3 ]} contenían gráficos extensos de respuesta en frecuencia, respuesta de fase, retardo de grupo y respuesta impulsional para diversos tipos de filtros, de diferentes órdenes. También incluían tablas de valores que mostraban cómo implementar dichos filtros como escaleras RLC, muy útiles cuando los elementos amplificadores eran costosos en comparación con los componentes pasivos. Dicha escalera también puede diseñarse para tener una sensibilidad mínima a la variación de los componentes, una propiedad difícil de evaluar sin herramientas informáticas.

Se han desarrollado numerosos diseños de filtros analógicos, cada uno con el objetivo de optimizar alguna característica de la respuesta del sistema. Para filtros prácticos, a veces resulta conveniente un diseño personalizado que ofrezca el mejor equilibrio entre diferentes criterios de diseño, como el número de componentes, el coste y las características de respuesta del filtro.

Estas descripciones hacen referencia a las propiedades matemáticas del filtro (es decir, la respuesta en frecuencia y en fase). Pueden implementarse como circuitos analógicos (por ejemplo, utilizando una topología de filtro Sallen-Key , un tipo de filtro activo ) o como algoritmos en sistemas de procesamiento digital de señales .

Los filtros digitales son mucho más flexibles de sintetizar y usar que los analógicos, donde las limitaciones del diseño permiten su uso. Cabe destacar que no es necesario considerar las tolerancias de los componentes y se pueden obtener niveles Q muy altos.

Los filtros digitales FIR se pueden implementar mediante la convolución directa de la respuesta impulsional deseada con la señal de entrada. Se pueden diseñar fácilmente para obtener un filtro adaptado a cualquier forma de pulso.

Los filtros digitales IIR suelen ser más difíciles de diseñar debido a problemas como el rango dinámico, el ruido de cuantificación y la inestabilidad. Normalmente, los filtros digitales IIR se diseñan como una serie de filtros biquad digitales .

Todos los filtros de paso bajo de segundo orden en tiempo continuo tienen una función de transferencia dada por

${\displaystyle H(s)={\frac {K\omega _{0}^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega _{0}}{Q}}s+\omega _{0}^{2}}}.}$

Todos los filtros de paso de banda de segundo orden en tiempo continuo tienen una función de transferencia dada por

${\displaystyle H(s)={\frac {K{\frac {\omega _{0}}{Q}}s}{s^{2}+{\frac {\omega _{0}}{Q}}s+\omega _{0}^{2}}}.}$

dónde

• K es la ganancia (ganancia de CC de paso bajo o ganancia de banda media de paso de banda) ( K es 1 para filtros pasivos).
• Q es el factor Q
• ${\displaystyle \omega _{0}}$es la frecuencia central
• ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$es la frecuencia compleja

• Diseño de filtros
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