Teorema de Baker

En la teoría de números trascendentales , una disciplina matemática, el teorema de Baker proporciona una cota inferior para el valor absoluto de combinaciones lineales de logaritmos de números algebraicos . Casi quince años antes, Alexander Gelfond había considerado que el problema con coeficientes enteros era de "extraordinaria importancia". ^{[ 1 ]} El resultado, demostrado por Alan Baker ( 1966 , 1967a , 1967b ) , englobó muchos resultados anteriores en la teoría de números trascendentales. Baker lo utilizó para demostrar la trascendencia de muchos números, para derivar cotas efectivas para las soluciones de algunas ecuaciones diofánticas y para resolver el problema del número de clases de encontrar todos los cuerpos cuadráticos imaginarios con número de clase 1.

Historia

Para simplificar la notación, sea $\mathbb {L}$ sea el conjunto de logaritmos en base e de números algebraicos distintos de cero , es decir $\mathbb {L} =\left\{\lambda \in \mathbb {C$ donde $\mathbb {C}$ denota el conjunto de números complejos y ${\overline {\mathbb {Q} }}$ denota los números algebraicos (el cierre algebraico de los números racionales) $\mathbb {Q}$ ). Usando esta notación, varios resultados en la teoría de números trascendentales se vuelven mucho más fáciles de enunciar. Por ejemplo, el teorema de Hermite-Lindemann se convierte en la afirmación de que cualquier elemento no nulo de $\mathbb {L}$ es trascendental.

En 1934, Alexander Gelfond y Theodor Schneider demostraron independientemente el teorema de Gelfond-Schneider . Este resultado se suele enunciar como: si $a$ es algebraico y distinto de 0 o 1, y si $b$ es algebraico e irracional, entonces $a^{b}$ es trascendental. La función exponencial es multivaluada para exponentes complejos, y esto se aplica a todos sus valores, que en la mayoría de los casos constituyen infinitos números. Sin embargo, de forma equivalente, dice que si $\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {L}$ Si son linealmente independientes sobre los números racionales, entonces son linealmente independientes sobre los números algebraicos. Entonces, si $\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {L}$ y $\lambda _{2}$ si no es cero, entonces el cociente $\lambda _{1}/\lambda _{2}$ es un número racional o trascendental. No puede ser un número irracional algebraico como ${\sqrt {2}}$ .

Aunque demostrar este resultado de " la independencia lineal racional implica la independencia lineal algebraica" para dos elementos de $\mathbb {L}$ Si bien era suficiente para su resultado y el de Schneider, Gelfond consideró crucial extender este resultado a un número arbitrario de elementos. $\mathbb {L} .$ En efecto, según Gel'fond (1960 , p. 177) :

...se puede suponer... que el problema más acuciante en la teoría de los números trascendentales es la investigación de las medidas de trascendencia de conjuntos finitos de logaritmos de números algebraicos.

Este problema fue resuelto catorce años después por Alan Baker y, desde entonces, ha tenido numerosas aplicaciones no solo en la teoría de la trascendencia, sino también en la teoría algebraica de números y el estudio de ecuaciones diofánticas . Baker recibió la Medalla Fields en 1970 tanto por este trabajo como por sus aplicaciones a las ecuaciones diofánticas.

Declaración

Con la notación anterior, el teorema de Baker es una generalización no homogénea del teorema de Gelfond-Schneider. Específicamente, establece:

Teorema de Baker — Si $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in \mathbb {L}$ son linealmente independientes sobre los números racionales, entonces para cualquier número algebraico $\beta _{0},\ldots ,\beta _{n},$ no todos son cero, tenemos $\left|\beta _{0}+\beta _{1}\lambda _{1}+\cdots +\beta _{n}\lambda _{n}\right|>H^{-C}$ donde H es la altura máxima de $\beta _{i}$ y C es un número efectivamente computable que depende de n , $\lambda _{i}$ y el máximo d de los grados de $\beta _{i}.$ (Si β ₀ es distinto de cero, entonces la suposición de que $\lambda _{i}$ son linealmente independientes pueden eliminarse.) En particular, este número es distinto de cero, por lo que 1 y $\lambda _{i}$ son linealmente independientes sobre los números algebraicos.

Así como el teorema de Gelfond-Schneider es equivalente a la afirmación sobre la trascendencia de los números de la forma a ^b , también el teorema de Baker implica la trascendencia de los números de la forma

a_{1}^{b_{1}}\cdots a_{n}^{b_{n}},

donde los b _i son todos algebraicos, irracionales, y 1, b ₁ , ..., b _n son linealmente independientes sobre los racionales, y los a _i son todos algebraicos y no 0 o 1.

Baker (1977) también proporcionó varias versiones con constantes explícitas. Por ejemplo, si $\exp(\lambda _{j})=\alpha _{j}$ tiene altura como máximo $A_{j}\geq 4$ y todos los números $\beta _{j}$ tener altura como máximo $B\geq 4$ luego la forma lineal

\Lambda =\beta _{0}+\beta _{1}\lambda _{1}+\cdots +\beta _{n}\lambda _{n}

es 0 o satisface

\log |\Lambda |>(16nd)^{200n}\Omega \left(\log \Omega -\log \log A_{n}\right)(\log B+\log \Omega )

dónde

\Omega =\log A_{1}\log A_{2}\cdots \log A_{n}

y el campo generado por $\alpha _{i}$ y $\beta _{i}$ sobre los racionales tiene grado como máximo d . En el caso especial cuando β ₀ = 0 y todos los $\beta _{j}$ Si son números enteros racionales, el término más a la derecha log Ω puede eliminarse.

Un resultado explícito de Baker y Wüstholz para una forma lineal Λ con coeficientes enteros produce una cota inferior de la forma.

\log |\Lambda |>-Ch(\alpha _{1})h(\alpha _{2})\cdots h(\alpha _{n})\log \left(\max \left\{|\beta _{1}|,\ldots ,|\beta _{n}|\right\}\right),

dónde

C=18(n+1)!n^{n+1}(32d)^{n+2}\log(2nd),

y d es el grado del campo numérico generado por el $\alpha _{i}.$

Método del panadero

La demostración de Baker de su teorema es una extensión del argumento presentado por Gel'fond (1960 , capítulo III, sección 4) . Las ideas principales de la demostración se ilustran con la demostración de la siguiente versión cualitativa del teorema de Baker (1966) descrita por Serre (1971) :

Si los números

2\pi i,\log a_{1},\ldots ,\log a_{n}

son linealmente independientes sobre los números racionales, para números algebraicos distintos de cero

a_{1},\ldots ,a_{n},

entonces son linealmente independientes sobre los números algebraicos.

La versión cuantitativa precisa de la teoría de Baker se puede demostrar reemplazando las condiciones de que las cosas sean cero por condiciones de que las cosas sean suficientemente pequeñas a lo largo de toda la demostración.

La idea principal de la demostración de Baker es construir una función auxiliar. $\Phi (z_{1},\ldots ,z_{n-1})$ de varias variables que se desvanece en orden superior en muchos puntos de la forma $z_{1}=\cdots =z_{n-1}=l,$ Luego, se muestra repetidamente que se anula a un orden inferior en aún más puntos de esta forma. Finalmente, el hecho de que se anule (al orden 1) en suficientes puntos de esta forma implica, utilizando determinantes de Vandermonde , que existe una relación multiplicativa entre los números a _i .

Construcción de la función auxiliar

Supongamos que existe una relación

\beta _{1}\log \alpha _{1}+\cdots +\beta _{n-1}\log \alpha _{n-1}=\log \alpha _{n}

para números algebraicos α ₁ , ..., α _n , β ₁ , ..., β _{n −1} . La función Φ es de la forma

\Phi (z_{1},\ldots ,z_{n-1})=\sum _{\lambda _{1}=0}^{L}\cdots \sum _{\lambda _{n}=0}^{L}p(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\alpha _{1}^{(\lambda _{1}+\lambda _{n}\beta _{1})z_{1}}\cdots \alpha _{n-1}^{(\lambda _{n-1}+\lambda _{n}\beta _{n-1})z_{n-1}}

Los coeficientes enteros p se eligen de modo que no todos sean cero y Φ y sus derivadas de orden como máximo alguna constante M se anulen en $z_{1}=\cdots =z_{n-1}=l,$ para números enteros $l$ con $0\leq l\leq h$ para alguna constante h . Esto es posible porque estas condiciones son ecuaciones lineales homogéneas en los coeficientes p , que tienen una solución no nula siempre que el número de variables desconocidas p sea mayor que el número de ecuaciones. La relación lineal entre los logaritmos de los α es necesaria para reducir el número de ecuaciones lineales que deben satisfacerse. Además, utilizando el lema de Siegel , los tamaños de los coeficientes p pueden elegirse de manera que no sean demasiado grandes. Las constantes L , h y M deben ajustarse cuidadosamente para que la siguiente parte de la demostración funcione, y están sujetas a algunas restricciones, que son aproximadamente:

L debe ser algo menor que M para que el argumento sobre los ceros adicionales que se presenta a continuación sea válido.
Una pequeña potencia de h debe ser mayor que L para que el paso final de la demostración funcione.
L ⁿ debe ser mayor que aproximadamente M ^{n −1}h para que sea posible resolver los coeficientes p .

Las restricciones se pueden satisfacer tomando h suficientemente grande, M una potencia fija de h y L una potencia ligeramente menor de h . Baker tomó M aproximadamente h² ^yL aproximadamente h²⁻¹ / ^{² n} .

La relación lineal entre los logaritmos de los α se utiliza para reducir L ligeramente; en términos generales, sin ella la condición L ⁿ debe ser mayor que aproximadamente M ^{n −1}h se convertiría en L ⁿ debe ser mayor que aproximadamente M ⁿ h , lo cual es incompatible con la condición de que L sea algo menor que M .

Ceros de la función auxiliar

El siguiente paso es demostrar que Φ se anula a un orden ligeramente menor en muchos más puntos de la forma. $z_{1}=\cdots =z_{n-1}=l$ para enteros l . Esta idea fue la innovación clave de Baker: los trabajos previos sobre este problema implicaban intentar aumentar el número de derivadas que se anulan manteniendo fijo el número de puntos, lo cual no parece funcionar en el caso multivariable. Esto se logra combinando dos ideas; la primera muestra que las derivadas en estos puntos son bastante pequeñas, utilizando el hecho de que muchas derivadas de Φ se anulan en muchos puntos cercanos. Luego, se muestra que las derivadas de Φ en este punto están dadas por enteros algebraicos multiplicados por constantes conocidas. Si un entero algebraico tiene todos sus conjugados acotados por una constante conocida, entonces no puede ser demasiado pequeño a menos que sea cero, porque el producto de todos los conjugados de un entero algebraico distinto de cero es al menos 1 en valor absoluto. La combinación de estas dos ideas implica que Φ se anula a un orden ligeramente menor en muchos más puntos. $z_{1}=\cdots =z_{n-1}=l.$ Esta parte del argumento requiere que Φ no aumente demasiado rápido; el crecimiento de Φ depende del tamaño de L , por lo que requiere una cota para el tamaño de L , que resulta ser aproximadamente que L debe ser algo menor que M. Más precisamente, Baker demostró que dado que Φ se anula al orden M en h enteros consecutivos, también se anula al orden M /2 en h ^{1+1/8 n} enteros consecutivos 1, 2, 3, .... Repitiendo este argumento J veces se muestra que Φ se anula al orden M / 2 ^J en h ^{1+ J /8 n} puntos, siempre que h sea suficientemente grande y L sea algo menor que M /2 ^J.

Entonces se toma J lo suficientemente grande como para que:

h^{1+{\frac {J}{8n}}}>(L+1)^{n}.

( J mayor que aproximadamente 16 n servirá si h ² > L ) de modo que:

\forall l\in \left\{1,2,\ldots ,(L+1)^{n}\right\}:\qquad \Phi (l,\ldots ,l)=0.

Finalización de la prueba

Por definición $\Phi (l,\ldots ,l)=0$ se puede escribir como:

\sum _{\lambda _{1}=0}^{L}\cdots \sum _{\lambda _{n}=0}^{L}p(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\alpha _{1}^{\lambda _{1}l}\cdots \alpha _{n}^{\lambda _{n}l}=0.

Por lo tanto, a medida que l varía, tenemos un sistema de ( L + 1) ⁿ ecuaciones lineales homogéneas con ( L + 1) ⁿ incógnitas que, por hipótesis, tiene una solución no nula, lo que a su vez implica que el determinante de la matriz de coeficientes debe ser cero. Sin embargo, esta matriz es una matriz de Vandermonde y la fórmula para el determinante de dicha matriz impone una igualdad entre dos de los valores:

\alpha _{1}^{\lambda _{1}}\cdots \alpha _{n}^{\lambda _{n}}

entonces $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ son multiplicativamente dependientes. Tomar logaritmos muestra que $2\pi i,\log \alpha _{1},\ldots ,\log \alpha _{n}$ son linealmente dependientes sobre los números racionales.

Extensiones y generalizaciones

Baker (1966) de hecho proporcionó una versión cuantitativa del teorema, estableciendo cotas inferiores efectivas para la forma lineal en logaritmos. Esto se logra mediante un argumento similar, con la diferencia de que las afirmaciones sobre que algo es cero se reemplazan por afirmaciones que proporcionan una pequeña cota superior, y así sucesivamente.

Baker (1967a) mostró cómo eliminar la suposición sobre 2π i en el teorema. Esto requiere una modificación del paso final de la demostración. Se muestra que muchas derivadas de la función $\phi (z)=\Phi (z,\ldots ,z)$ se desvanecen en z = 0, por un argumento similar al anterior. Pero estas ecuaciones para las primeras ( L +1) ⁿ derivadas dan de nuevo un conjunto homogéneo de ecuaciones lineales para los coeficientes p , por lo que el determinante es cero, y es de nuevo un determinante de Vandermonde, esta vez para los números λ ₁ log α ₁ + ⋯ + λ _n log α _n . Así que dos de estas expresiones deben ser iguales, lo que muestra que log α ₁ ,...,log α _n son linealmente dependientes sobre los racionales.

Baker (1967b) dio una versión no homogénea del teorema, mostrando que

\beta _{0}+\beta _{1}\log \alpha _{1}+\cdots +\beta _{n}\log \alpha _{n}

es distinto de cero para números algebraicos distintos de cero β ₀ , ..., β _n , α ₁ , ..., α _n , y además proporciona una cota inferior efectiva para ello. La demostración es similar al caso homogéneo: se puede suponer que

\beta _{0}+\beta _{1}\log \alpha _{1}+\cdots +\beta _{n-1}\log \alpha _{n-1}=\log \alpha _{n}

y se inserta una variable adicional z ₀ en Φ de la siguiente manera:

\Phi (z_{0},\ldots ,z_{n-1})=\sum _{\lambda _{0}=0}^{L}\cdots \sum _{\lambda _{n}=0}^{L}p(\lambda _{0},\ldots ,\lambda _{n})z_{0}^{\lambda _{0}}e^{\lambda _{n}\beta _{0}z_{0}}\alpha _{1}^{(\lambda _{1}+\lambda _{n}\beta _{1})z_{1}}\cdots \alpha _{n-1}^{(\lambda _{n-1}+\lambda _{n}\beta _{n-1})z_{n-1}}

Corolarios

Como se mencionó anteriormente, el teorema incluye numerosos resultados de trascendencia previos sobre la función exponencial, como el teorema de Hermite-Lindemann y el teorema de Gelfond-Schneider. No es tan completo como la conjetura de Schanuel , aún sin demostrar, y no implica el teorema de las seis exponenciales ni, evidentemente, la conjetura de las cuatro exponenciales, que sigue abierta .

La razón principal por la que Gelfond deseaba una extensión de su resultado no era solo para obtener una gran cantidad de nuevos números trascendentales. En 1935 utilizó las herramientas que había desarrollado para demostrar el teorema de Gelfond-Schneider para derivar una cota inferior para la cantidad

|\beta _{1}\lambda _{1}+\beta _{2}\lambda _{2}|

donde β ₁ y β ₂ son algebraicos y λ ₁ y λ ₂ están en $\mathbb {L}$ . ^{[ 2 ]} La demostración de Baker proporcionó límites inferiores para cantidades como las anteriores pero con un número arbitrario de términos, y pudo utilizar estos límites para desarrollar medios eficaces para abordar ecuaciones diofánticas y para resolver el problema del número de clases de Gauss .

Extensiones

El teorema de Baker nos concede la independencia lineal sobre los números algebraicos de los logaritmos de números algebraicos. Esto es más débil que demostrar su independencia algebraica . Hasta ahora no _se ha avanzado en absoluto en este problema. Se ha conjeturado ^{[ 3 ]} que si λ1 _, ..., λn son elementos de $\mathbb {L}$ Si los números racionales son linealmente independientes, entonces también son algebraicamente independientes. Este es un caso especial de la conjetura de Schanuel, pero hasta ahora queda por demostrar que existen dos números algebraicos cuyos logaritmos sean algebraicamente independientes. De hecho, el teorema de Baker descarta las relaciones lineales entre logaritmos de números algebraicos a menos que existan razones triviales para ello; el siguiente caso más simple, el de descartar relaciones cuadráticas homogéneas , es la conjetura aún abierta de las cuatro exponenciales .

De manera similar, extender el resultado a la independencia algebraica, pero en el contexto p-ádico y utilizando la función logaritmo p -ádico , sigue siendo un problema abierto . Se sabe que demostrar la independencia algebraica de logaritmos p -ádicos linealmente independientes de números p -ádicos algebraicos demostraría la conjetura de Leopoldt sobre los rangos p -ádicos de las unidades de un cuerpo numérico.

Véase también

Teorema del subgrupo analítico

Notas

↑ Véase el párrafo final de Gel'fond (1960) .
↑ Véanse Gel'fond (1960) y Sprindžuk (1993) para más detalles.
↑ Waldschmidt (2000) , conjetura 1.15.

Referencias

Baker, Alan (1966), "Formas lineales en los logaritmos de números algebraicos. I", Mathematika , 13 (2): 204–216 , doi : 10.1112/S0025579300003971 , ISSN 0025-5793 , MR 0220680
Baker, Alan (1967a), "Formas lineales en los logaritmos de números algebraicos. II", Mathematika , 14 : 102–107 , doi : 10.1112/S0025579300008068 , ISSN 0025-5793 , MR 0220680
Baker, Alan (1967b), "Formas lineales en los logaritmos de números algebraicos. III", Mathematika , 14 (2): 220–228 , doi : 10.1112/S0025579300003843 , ISSN 0025-5793 , MR 0220680
Baker, Alan (1990), Teoría de números trascendental , Cambridge Mathematical Library (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39791-9, MR 0422171
Baker, Alan (1977), "La teoría de las formas lineales en logaritmos", Teoría de la trascendencia: avances y aplicaciones (Actas de la Conferencia, Univ. Cambridge, Cambridge, 1976) , Boston, MA: Academic Press , pp. 1–27 , ISBN 978-0-12-074350-6, MR 0498417
panadero, A.; Wüstholz, G. (1993), "Formas logarítmicas y variedades de grupos", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1993 (442): 19– 62, doi : 10.1515/crll.1993.442.19 , MR 1234835 , S2CID 118335888 .
Baker, Alan; Wüstholz, G. (2007), Formas logarítmicas y geometría diofántica , New Mathematical Monographs, vol. 9, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88268-2, MR 2382891
Gel'fond, AO (1960) [1952], Números trascendentales y algebraicos , ediciones Dover Phoenix, Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-49526-2, MR 0057921 {{citation}}: CS1 maint: errores de ISBN ignorados ( enlace )
Serre, Jean-Pierre (1971) [1969], "Travaux de Baker (Exposé 368)", Séminaire Bourbaki. vol. 1969/70: Exposés 364--381 , Apuntes de conferencias de matemáticas, vol. 180, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs . 73-86
Sprindžuk, Vladimir G. (1993), Ecuaciones diofánticas clásicas , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1559, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0073786 , ISBN 978-3-540-57359-3, MR 1288309
Waldschmidt, Michel (2000), Aproximación diofántica de grupos algebraicos lineales , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 326, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-11569-5 , ISBN 978-3-540-66785-8, MR 1756786

[1] Véase el párrafo final de Gel'fond (1960) .

[2] Véanse Gel'fond (1960) y Sprindžuk (1993) para más detalles.

[FOOTNOTEWaldschmidt2000conjecture_1.15-3] Waldschmidt (2000) , conjetura 1.15.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]