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Control lineal-cuadrático-gaussiano

En teoría de control , el problema de control lineal-cuadrático-gaussiano ( LQG ) es uno de los problemas de control óptimo más fundamentales y puede utilizarse repetidamente en...

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En teoría de control , el problema de control lineal-cuadrático-gaussiano ( LQG ) es uno de los problemas de control óptimo más fundamentales y puede utilizarse repetidamente en el control predictivo basado en modelos . Se refiere a sistemas lineales impulsados ​​por ruido gaussiano blanco aditivo . El problema consiste en determinar una ley de realimentación de salida que sea óptima en el sentido de minimizar el valor esperado de un criterio de coste cuadrático . Se supone que las mediciones de salida están afectadas por ruido gaussiano y que el estado inicial es, asimismo, un vector aleatorio gaussiano.

Bajo estas suposiciones, se puede derivar un esquema de control óptimo dentro de la clase de leyes de control lineal mediante un argumento de completación de cuadrados. [ 1 ] Esta ley de control, conocida como controlador LQG , es única y es simplemente una combinación de un filtro de Kalman (un estimador de estado lineal-cuadrático (LQE)) junto con un regulador lineal-cuadrático (LQR). El principio de separación establece que el estimador de estado y la retroalimentación de estado pueden diseñarse de forma independiente. El control LQG se aplica tanto a sistemas lineales invariantes en el tiempo como a sistemas lineales variables en el tiempo , y constituye una ley de control de retroalimentación dinámica lineal que se calcula e implementa fácilmente: el controlador LQG en sí mismo es un sistema dinámico como el sistema que controla. Ambos sistemas tienen la misma dimensión de estado.

Una formulación más profunda del principio de separación es que el controlador LQG sigue siendo óptimo en una clase más amplia de controladores posiblemente no lineales. Es decir, utilizar un esquema de control no lineal no mejorará el valor esperado de la función de coste. Esta versión del principio de separación es un caso especial del principio de separación del control estocástico, que establece que incluso cuando las fuentes de ruido del proceso y de la salida son posiblemente martingalas no gaussianas , siempre que la dinámica del sistema sea lineal, el control óptimo se separa en un estimador de estado óptimo (que puede que ya no sea un filtro de Kalman) y un regulador LQR. [ 2 ] [ 3 ]

En el contexto clásico de LQG, la implementación del controlador LQG puede ser problemática cuando la dimensión del estado del sistema es grande. El problema LQG de orden reducido (problema LQG de orden fijo) supera esto al fijar a priori el número de estados del controlador LQG. Este problema es más difícil de resolver porque ya no es separable. Además, la solución ya no es única. A pesar de estos hechos, existen algoritmos numéricos [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] para resolver las ecuaciones de proyección óptimas asociadas [ 8 ] [ 9 ] que constituyen condiciones necesarias y suficientes para un controlador LQG de orden reducido localmente óptimo. [ 4 ]

La optimalidad LQG no garantiza automáticamente buenas propiedades de robustez. [ 10 ] [ 11 ] La estabilidad robusta del sistema de lazo cerrado debe verificarse por separado después de que se haya diseñado el controlador LQG. Para promover la robustez, algunos de los parámetros del sistema pueden considerarse estocásticos en lugar de deterministas. El problema de control más complejo asociado conduce a un controlador óptimo similar, del cual solo difieren los parámetros del controlador. [ 5 ]

Es posible calcular el valor esperado de la función de costo para las ganancias óptimas, así como para cualquier otro conjunto de ganancias estables. [ 12 ]

El controlador LQG también se utiliza para controlar sistemas no lineales perturbados. [ 13 ]

Descripción matemática

Tiempo continuo

Consideremos la representación en el espacio de estados de un sistema dinámico lineal de tiempo continuo.incógnita˙(t)=A(t)incógnita(t)+B(t)tú(t)+v(t),y(t)=do(t)incógnita(t)+w(t),{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {x} }}(t)&=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)+\mathbf {v} (t),\\\mathbf {y} (t)&=C(t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {w} (t),\end{aligned}}} dóndeincógnita{\displaystyle \mathbf {x} }representa el vector de variables de estado del sistema,tú{\displaystyle \mathbf {u} }el vector de entradas de control yy{\displaystyle \mathbf {y} }El vector de salidas medidas disponibles para retroalimentación. Ambos ruidos gaussianos blancos aditivos del sistemav(t){\displaystyle \mathbf {v} (t)}y ruido de medición gaussiano blanco aditivow(t){\displaystyle \mathbf {w} (t)}afectar al sistema.

Dado este sistema, el objetivo es encontrar el historial de entrada de control.tú(t){\displaystyle {\mathbf {u} }(t)}que en cada momentot{\displaystyle t}puede depender linealmente solo de las mediciones pasadasy(t′){\displaystyle {\mathbf {y} }(t')}, dónde0≤t′<t{\displaystyle 0\leq t'<t}, de manera que se minimice la siguiente función de coste: J=mi[incógnitaT(T)Fincógnita(T)+∫0TincógnitaT(t)Q(t)incógnita(t)+túT(t)R(t)tú(t)dt],{\displaystyle J=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }}(T)F{\mathbf {x} }(T)+\int _{0}^{T}{\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }}(t)Q(t){\mathbf {x} }(t)+{\mathbf {u} ^{\mathrm {T} }}(t)R(t){\mathbf {u} }(t)\,dt\right],}F≥0,Q(t)≥0,R(t)>0,{\displaystyle F\geq 0,\quad Q(t)\geq 0,\quad R(t)>0,} dóndemi{\displaystyle \mathbb {E} }denota el valor esperado . El tiempo final (horizonte)T{\displaystyle {\mathbf {} }T}puede ser finito o infinito. Si el horizonte tiende a infinito, el primer términoincógnitaT(T)Fincógnita(T){\displaystyle {\mathbf {x} }^{\mathrm {T} }(T)F{\mathbf {x} }(T)}de la función de costos se vuelve insignificante e irrelevante para el problema. Además, para mantener los costos finitos, la función de costos debe tomarse comoJ/T{\displaystyle J/T}.

El controlador LQG que resuelve el problema de control LQG se especifica mediante las siguientes ecuaciones: incógnita^˙(t)=A(t)incógnita^(t)+B(t)tú(t)+L(t)(y(t)−do(t)incógnita^(t)),incógnita^(0)=mi[incógnita(0)],{\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)=A(t){\hat {\mathbf {x} }}(t)+B(t){\mathbf {u} }(t)+L(t)\left({\mathbf {y} }(t)-C(t){\hat {\mathbf {x} }}(t)\right),\quad {\hat {\mathbf {x} }}(0)=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }(0)\right],}tú(t)=−K(t)incógnita^(t).{\displaystyle \mathbf {u} (t)=-K(t){\hat {\mathbf {x} }}(t).} La matrizL(t){\displaystyle L(t)}se denomina ganancia de Kalman del filtro de Kalman asociado representado por la primera ecuación. En cada momentot{\displaystyle t}Este filtro genera estimacionesincógnita^(t){\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}(t)}del estadoincógnita(t){\displaystyle {\mathbf {x} }(t)}utilizando las mediciones y entradas anteriores. La ganancia de KalmanL(t){\displaystyle L(t)}se calcula a partir de las matricesA(t),do(t){\displaystyle A(t),C(t)}, las dos matrices de intensidadV(t),W(t){\displaystyle V(t),W(t)}asociados a los ruidos gaussianos blancosv(t){\displaystyle \mathbf {v} (t)}yw(t){\displaystyle \mathbf {w} (t)}y finalmentemi[incógnita(0)incógnitaT(0)]{\displaystyle \mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }^{\mathrm {T} }(0)\right]}Estas cinco matrices determinan la ganancia de Kalman mediante la siguiente ecuación diferencial de Riccati matricial asociada : PAG˙(t)=A(t)PAG(t)+PAG(t)AT(t)−PAG(t)doT(t)W−1(t)do(t)PAG(t)+V(t),{\displaystyle {\dot {P}}(t)=A(t)P(t)+P(t)A^{\mathrm {T} }(t)-P(t)C^{\mathrm {T} }(t){\mathbf {} }W^{-1}(t)C(t)P(t)+V(t),}PAG(0)=mi[incógnita(0)incógnitaT(0)].{\displaystyle P(0)=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }^{\mathrm {T} }(0)\right].} Dada la soluciónPAG(t),0≤t≤T{\displaystyle P(t),0\leq t\leq T}La ganancia de Kalman es igual a L(t)=PAG(t)doT(t)W−1(t).{\displaystyle L(t)=P(t)C^{\mathrm {T} }(t)W^{-1}(t).} La matrizK(t){\displaystyle {\mathbf {} }K(t)}se denomina matriz de ganancia de retroalimentación . Esta matriz está determinada por las matricesA(t),B(t),Q(t),R(t){\displaystyle {\mathbf {} }A(t),B(t),Q(t),R(t)}yF{\displaystyle {\mathbf {} }F}a través de la siguiente ecuación diferencial matricial de Riccati asociada: −S˙(t)=AT(t)S(t)+S(t)A(t)−S(t)B(t)R−1(t)BT(t)S(t)+Q(t),S(T)=F.{\displaystyle {\begin{aligned}-{\dot {S}}(t)&=A^{\mathrm {T} }(t)S(t)+S(t)A(t)-S(t)B(t)R^{-1}(t)B^{\mathrm {T} }(t)S(t)+Q(t),\\S(T)&=F.\end{aligned}}} Dada la soluciónS(t),0≤t≤T{\displaystyle S(t),0\leq t\leq T}La ganancia de retroalimentación es igual a K(t)=R−1(t)BT(t)S(t).{\displaystyle K(t)=R^{-1}(t)B^{\mathrm {T} }(t)S(t).} Observe la similitud de las dos ecuaciones diferenciales matriciales de Riccati, la primera avanzando en el tiempo y la segunda retrocediendo. Esta similitud se denomina dualidad . La primera ecuación diferencial matricial de Riccati resuelve el problema de estimación lineal-cuadrática (LQE). La segunda ecuación diferencial matricial de Riccati resuelve el problema de regulación lineal-cuadrática (LQR). Estos problemas son duales y, en conjunto, resuelven el problema de control lineal-cuadrático-gaussiano (LQG). Por lo tanto, el problema LQG se divide en los problemas LQE y LQR, que pueden resolverse de forma independiente. En consecuencia, el problema LQG se denomina separable .

CuandoA(t),B(t),do(t),Q(t),R(t){\displaystyle A(t),B(t),C(t),Q(t),R(t)}y las matrices de intensidad de ruidoV(t){\displaystyle V(t)},W(t){\displaystyle \mathbf {} W(t)}no depender det{\displaystyle t}y cuandoT{\displaystyle {\mathbf {} }T}Cuando tiende a infinito, el controlador LQG se convierte en un sistema dinámico invariante en el tiempo. En ese caso, la segunda ecuación diferencial matricial de Riccati puede ser reemplazada por la ecuación algebraica de Riccati asociada .

Tiempo discreto

Dado que el problema de control LQG en tiempo discreto es similar al de tiempo continuo, la descripción que sigue se centra en las ecuaciones matemáticas.

Las ecuaciones del sistema lineal de tiempo discreto son incógnitai+1=Aiincógnitai+Bitúi+vi,yi=doiincógnitai+wi.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} _{i+1}&=A_{i}\mathbf {x} _{i}+B_{i}\mathbf {u} _{i}+\mathbf {v} _{i},\\\mathbf {y} _{i}&=C_{i}\mathbf {x} _{i}+\mathbf {w} _{i}.\end{aligned}}} Aquíi{\displaystyle \mathbf {} i}representa el índice de tiempo discreto yvi,wi{\displaystyle \mathbf {v} _{i},\mathbf {w} _{i}}representan procesos de ruido blanco gaussiano de tiempo discreto con matrices de covarianzaVi,Wi{\displaystyle V_{i},W_{i}}, respectivamente, y son independientes entre sí.

La función de costo cuadrática que se debe minimizar es J=mi[incógnitanorteTFincógnitanorte+∑i=0norte−1(incógnitaiTQiincógnitai+túiTRitúi)],{\displaystyle J=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }_{N}^{\mathrm {T} }F{\mathbf {x} }_{N}+\sum _{i=0}^{N-1}(\mathbf {x} _{i}^{\mathrm {T} }Q_{i}\mathbf {x} _{i}+\mathbf {u} _{i}^{\mathrm {T} }R_{i}\mathbf {u} _{i})\right],}F≥0,Qi≥0,Ri>0.{\displaystyle F\geq 0,Q_{i}\geq 0,R_{i}>0.\,} El controlador LQG de tiempo discreto es incógnita^i+1=Aiincógnita^i+Bitúi+Li+1(yi+1−doi+1{Aiincógnita^i+Bitúi}),incógnita^0=mi[incógnita0]{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{i+1}=A_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}+B_{i}{\mathbf {u} }_{i}+L_{i+1}\left({\mathbf {y} }_{i+1}-C_{i+1}\left\{A_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}+B_{i}\mathbf {u} _{i}\right\}\right),\qquad {\hat {\mathbf {x} }}_{0}=\mathbb {E} [{\mathbf {x} }_{0}]}túi=−Kiincógnita^i.{\displaystyle \mathbf {u} _{i}=-K_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}.\,} yincógnita^i{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{i}}corresponde a la estimación predictivaincógnita^i=mi[incógnitai|yi,túi−1]{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{i}=\mathbb {E} [\mathbf {x} _{i}|\mathbf {y} ^{i},\mathbf {u} ^{i-1}]}.

La ganancia de Kalman es igual a Li=PAGidoiT(doiPAGidoiT+Wi)−1,{\displaystyle L_{i}=P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }(C_{i}P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }+W_{i})^{-1},} dóndePAGi{\displaystyle {\mathbf {} }P_{i}}se determina mediante la siguiente ecuación de diferencias de Riccati matricial que avanza en el tiempo: PAGi+1=Ai(PAGi−PAGidoiT(doiPAGidoiT+Wi)−1doiPAGi)AiT+Vi,PAG0=mi[(incógnita0−incógnita^0)(incógnita0−incógnita^0)T].{\displaystyle P_{i+1}=A_{i}\left(P_{i}-P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }\left(C_{i}P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }+W_{i}\right)^{-1}C_{i}P_{i}\right)A_{i}^{\mathrm {T} }+V_{i},\qquad P_{0}=\mathbb {E} [\left({\mathbf {x} }_{0}-{\hat {\mathbf {x} }}_{0}\right)\left({\mathbf {x} }_{0}-{\hat {\mathbf {x} }}_{0}\right)^{\mathrm {T} }].} La matriz de ganancia de retroalimentación es igual a Ki=(BiTSi+1Bi+Ri)−1BiTSi+1Ai{\displaystyle K_{i}=(B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}B_{i}+R_{i})^{-1}B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}A_{i}} dóndeSi{\displaystyle S_{i}}se determina mediante la siguiente ecuación de diferencias de Riccati matricial que se ejecuta hacia atrás en el tiempo: Si=AiT(Si+1−Si+1Bi(BiTSi+1Bi+Ri)−1BiTSi+1)Ai+Qi,Snorte=F.{\displaystyle S_{i}=A_{i}^{\mathrm {T} }\left(S_{i+1}-S_{i+1}B_{i}\left(B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}B_{i}+R_{i}\right)^{-1}B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}\right)A_{i}+Q_{i},\quad S_{N}=F.} Si todas las matrices en la formulación del problema son invariantes en el tiempo y si el horizontenorte{\displaystyle N}cuando tiende a infinito el controlador LQG de tiempo discreto se vuelve invariante en el tiempo. En ese caso, las ecuaciones de diferencias de Riccati matriciales pueden ser reemplazadas por sus ecuaciones de Riccati algebraicas de tiempo discreto asociadas . Estas determinan el estimador lineal-cuadrático invariante en el tiempo y el regulador lineal-cuadrático invariante en el tiempo en tiempo discreto. Para mantener los costos finitos en lugar deJ{\displaystyle J}uno tiene que considerarJ/norte{\displaystyle J/N}en este caso.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Karl Johan Astrom (1970). Introducción a la teoría del control estocástico . Vol.  58. Academic Press. ISBN 0-486-44531-3.
  2. ↑ Anders Lindquist (1973). "Sobre el control por retroalimentación de sistemas estocásticos lineales". SIAM Journal on Control . 11 (2): 323– 343. doi : 10.1137/0311025 ..
  3. ↑ Tryphon T. Georgiou y Anders Lindquist (2013). "El principio de separación en el control estocástico, revisado". IEEE Transactions on Automatic Control . 58 (10): 2481– 2494. arXiv : 1103.3005 . doi : 10.1109/TAC.2013.2259207 . S2CID 12623187 . 
  4. 1 2 Van Willigenburg LG; De Koning WL (2000). "Algoritmos numéricos y cuestiones relativas a las ecuaciones de proyección óptimas en tiempo discreto" . European Journal of Control . 6 (1): 93– 100. doi : 10.1016/s0947-3580(00)70917-4 .Descarga de software asociada desde Matlab Central Archivado el 09/01/2022 en Wayback Machine .
  5. 1 2 Van Willigenburg LG; De Koning WL (1999). "Compensadores óptimos de orden reducido para sistemas discretos variables en el tiempo con parámetros deterministas y blancos". Automatica . 35 : 129– 138. doi : 10.1016/S0005-1098(98)00138-1 .Descarga de software asociada desde Matlab Central Archivado el 18/10/2019 en Wayback Machine .
  6. ↑ Zigic D.; Watson LT; Collins EG; Haddad WM; Ying S. (1996). "Métodos de homotopía para resolver las ecuaciones de proyección óptimas para el problema del modelo de orden reducido H2". International Journal of Control . 56 (1): 173– 191. doi : 10.1080/00207179208934308 .
  7. ↑ Collins Jr. EG; Haddad WM; Ying S. (1996). "Un algoritmo de homotopía para compensación dinámica de orden reducido utilizando las ecuaciones de proyección óptima de Hyland-Bernstein". Journal of Guidance, Control, and Dynamics . 19 (2): 407– 417. doi : 10.2514/3.21633 .
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  10. ↑ Doyle, John C. (1978). "Márgenes garantizados para reguladores LQG" (PDF) . IEEE Transactions on Automatic Control . 23 (4): 756– 757. doi : 10.1109/TAC.1978.1101812 . ISSN 0018-9286 . 
  11. ↑ Green, Michael; Limebeer, David JN (1995). Control robusto lineal . Englewood Cliffs: Prentice Hall. pág. 27. ISBN  0-13-102278-4.
  12. ↑ Matsakis, Demetrios (8 de marzo de 2019). "Los efectos de las estrategias de dirección proporcional en el comportamiento de los relojes controlados" . Metrologia . 56 (2): 025007. Bibcode : 2019Metro..56b5007M . doi : 10.1088/1681-7575/ab0614 .
  13. ↑ Athans M. (1971). "El papel y el uso del problema estocástico lineal-cuadrático-gaussiano en el diseño de sistemas de control". IEEE Transactions on Automatic Control . AC-16 (6): 529– 552. doi : 10.1109/TAC.1971.1099818 .

Lecturas adicionales

  • Stengel, Robert F. (1994). Control óptimo y estimación . Nueva York: Dover. ISBN 0-486-68200-5.