Sistema lineal invariante en el tiempo

En el análisis de sistemas , entre otros campos de estudio, un sistema lineal invariante en el tiempo ( LTI ) es un sistema que produce una señal de salida a partir de cualquier señal de entrada sujeta a las restricciones de linealidad e invariancia temporal ; estos términos se definen brevemente en la descripción general a continuación. Estas propiedades se aplican (de forma exacta o aproximada) a muchos sistemas físicos importantes, en cuyo caso la respuesta $y$ $($ $t$ $)$ del sistema a una entrada arbitraria $x$ $($ $t$ $)$ se puede encontrar directamente usando convolución : $y$ $($ $t$ $) = ($ $x$ $*$ $h$ $)($ $t$ $)$ donde $h$ $($ $t$ $)$ se llama respuesta impulsional del sistema y * representa la convolución (que no debe confundirse con la multiplicación). Es más, existen métodos sistemáticos para resolver cualquier sistema de este tipo (determinando $h$ $($ $t$ $)$ ), mientras que los sistemas que no cumplen ambas propiedades son generalmente más difíciles (o imposibles) de resolver analíticamente. Un buen ejemplo de un sistema LTI es cualquier circuito eléctrico que consta de resistencias , condensadores , inductores y amplificadores lineales . ^[²^]

La teoría de sistemas lineales invariantes en el tiempo también se utiliza en el procesamiento de imágenes , donde los sistemas poseen dimensiones espaciales en lugar de, o además de, una dimensión temporal. Estos sistemas pueden denominarse lineales invariantes a la traslación para dar a la terminología el alcance más general. En el caso de sistemas genéricos de tiempo discreto (es decir, muestreados ), el término correspondiente es lineal invariante a la traslación . La teoría de sistemas LTI es un área de las matemáticas aplicadas que tiene aplicaciones directas en el análisis y diseño de circuitos eléctricos , el procesamiento de señales y el diseño de filtros , la teoría de control , la ingeniería mecánica , el procesamiento de imágenes , el diseño de diversos instrumentos de medición , la espectroscopia de RMN y muchas otras áreas técnicas donde se presentan sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias .

Descripción general

Las propiedades que definen cualquier sistema LTI son la linealidad y la invariancia temporal .

La linealidad significa que la relación entre la entrada $x(t)$ y la salida $y(t)$ , siendo consideradas ambas como funciones, es una aplicación lineal: Si $a$ es una constante entonces la salida del sistema a $ax(t)$ es $ay(t)$ ; si $x'(t)$ es una entrada adicional con salida del sistema $y'(t)$ luego la salida del sistema a $x(t)+x'(t)$ es $y(t)+y'(t)$ , esto se aplica a todas las opciones de $a$ , $x(t)$ , $x'(t)$ Esta última condición se conoce a menudo como el principio de superposición .
La invariancia temporal significa que, ya sea que apliquemos una entrada al sistema ahora o dentro de T segundos, la salida será idéntica excepto por un retardo de tiempo de T segundos. Es decir, si la salida debida a la entrada $x(t)$ es $y(t)$ , entonces la salida debida a la entrada $x(tT)$ es $y(tT)$ Por lo tanto, el sistema es invariante en el tiempo porque la salida no depende del momento particular en que se aplica la entrada. ^{[ 3 ]}

A través de estas propiedades, se razona que los sistemas LTI pueden caracterizarse completamente por una sola función llamada respuesta impulsional del sistema , ya que, por superposición, cualquier señal arbitraria puede expresarse como una superposición de impulsos desplazados en el tiempo . La salida del sistema $y(t)$ es simplemente la convolución de la entrada al sistema $x(t)$ con la respuesta impulsional del sistema $h(t)$ Esto se denomina sistema de tiempo continuo . De manera similar, un sistema lineal invariante en el tiempo de tiempo discreto (o, más generalmente, "invariante a desplazamientos") se define como aquel que opera en tiempo discreto : $y_{i}=x_{i}*h_{i}$ donde y , x y h son secuencias y la convolución, en tiempo discreto, utiliza una suma discreta en lugar de una integral. ^{[ 4 ]}

Relación entre el **dominio del tiempo** y el **dominio de la frecuencia.**

Los sistemas LTI también pueden caracterizarse en el dominio de la frecuencia mediante su función de transferencia , que, para un sistema de tiempo continuo o discreto, corresponde a la transformada de Laplace o la transformada Z de la respuesta impulsional del sistema, respectivamente. Debido a las propiedades de estas transformadas, la salida del sistema en el dominio de la frecuencia es el producto de la función de transferencia y la representación correspondiente de la entrada en dicho dominio. En otras palabras, la convolución en el dominio del tiempo equivale a la multiplicación en el dominio de la frecuencia.

Para todos los sistemas LTI, las funciones propias y las funciones base de las transformadas son exponenciales complejas . Como resultado, si la entrada a un sistema es la forma de onda compleja $A_{s}e^{st}$ para alguna amplitud compleja $A_{s}$ y frecuencia compleja $s$ , la salida será una constante compleja multiplicada por la entrada, digamos $B_{s}e^{st}$ para alguna nueva amplitud compleja $B_{s}$ . La proporción $B_{s}/A_{s}$ es la función de transferencia a frecuencia $s$ La señal de salida se desfasará y variará en amplitud , pero siempre con la misma frecuencia al alcanzar el estado estacionario. Los sistemas LTI no pueden generar componentes de frecuencia que no estén presentes en la entrada.

La teoría de sistemas LTI describe eficazmente muchos sistemas importantes. La mayoría de los sistemas LTI se consideran fáciles de analizar, al menos en comparación con los casos no lineales o con variación temporal . Cualquier sistema que pueda modelarse como una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes es un sistema LTI. Ejemplos de estos sistemas son los circuitos eléctricos compuestos por resistencias , inductores y condensadores ( circuitos RLC ). Los sistemas ideales masa-resorte-amortiguador también son sistemas LTI y son matemáticamente equivalentes a los circuitos RLC.

La mayoría de los conceptos de los sistemas LTI son similares tanto en el caso de tiempo continuo como en el de tiempo discreto. En el procesamiento de imágenes, la variable temporal se reemplaza por dos variables espaciales, y la noción de invariancia temporal se reemplaza por la invariancia de desplazamiento bidimensional. Al analizar bancos de filtros y sistemas MIMO , suele ser útil considerar vectores de señales. Un sistema lineal que no sea invariante en el tiempo puede resolverse mediante otros métodos, como el de la función de Green .

Sistemas de tiempo continuo

Respuesta impulsional y convolución

El comportamiento de un sistema lineal, de tiempo continuo e invariante en el tiempo con señal de entrada x ( t ) y señal de salida y ( t ) se describe mediante la integral de convolución: ^{[ 5 ]}

dónde ${\textstyle h(t)}$ es la respuesta del sistema a un impulso : ${\textstyle x(\tau )=\delta (\tau )}$ . ${\textstyle y(t)}$ es, por lo tanto, proporcional a un promedio ponderado de la función de entrada. ${\textstyle x(\tau )}$ La función de ponderación es ${\textstyle h(-\tau )}$ , simplemente desplazado por cantidad ${\textstyle t}$ . Como ${\textstyle t}$ cambios, la función de ponderación enfatiza diferentes partes de la función de entrada. Cuando ${\textstyle h(\tau )}$ es cero para todos los negativos ${\textstyle \tau }$ , ${\textstyle y(t)}$ depende únicamente de los valores de ${\textstyle x}$ antes del tiempo ${\textstyle t}$ y se dice que el sistema es causal .

Para entender por qué la convolución produce la salida de un sistema LTI, sea la notación ${\textstyle \{x(u-\tau );\ u\}}$ representar la función ${\textstyle x(u-\tau )}$ con variable ${\textstyle u}$ y constante ${\textstyle \tau }$ . Y dejemos la notación más corta ${\textstyle \{x\}}$ representar ${\textstyle \{x(u);\ u\}}$ . Luego, un sistema de tiempo continuo transforma una función de entrada, ${\textstyle \{x\},}$ en una función de salida, ${\textstyle \{y\}}$ En general, cada valor de la salida puede depender de cada valor de la entrada. Este concepto se representa mediante: $y(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{x\},$ dónde ${\textstyle O_{t}}$ es el operador de transformación para el tiempo ${\textstyle t}$ . En un sistema típico, ${\textstyle y(t)}$ depende principalmente de los valores de ${\textstyle x}$ que ocurrió cerca del tiempo ${\textstyle t}$ . A menos que la transformación misma cambie con ${\textstyle t}$ La función de salida es simplemente constante y el sistema no tiene interés.

Para un sistema lineal, ${\textstyle O}$ debe satisfacer la ecuación 1 :

Y el requisito de invariancia temporal es:

En esta notación, podemos escribir la respuesta impulsional como ${\textstyle h(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{\delta (u);\ u\}.}$

Similarmente:

Sustituyendo este resultado en la integral de convolución: ${\begin{aligned}(x*h)(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}\,\mathrm {d} \tau ,\,\end{aligned}}$

que tiene la forma del lado derecho de la ecuación 2 para el caso ${\textstyle c_{\tau }=x(\tau )}$ y ${\textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau ).}$

La ecuación 2 permite entonces esta continuación: ${\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=O_{t}\left\{\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot \delta (u-\tau )\,\mathrm {d} \tau$

En resumen, la función de entrada, ${\textstyle \{x\}}$ , puede representarse mediante un continuo de funciones impulso desplazadas en el tiempo, combinadas "linealmente", como se muestra en la ecuación 1. La propiedad de linealidad del sistema permite que la respuesta del sistema se represente mediante el continuo correspondiente de respuestas impulso , combinadas de la misma manera. Y la propiedad de invariancia temporal permite que esa combinación se represente mediante la integral de convolución.

Las operaciones matemáticas anteriores tienen una simulación gráfica sencilla. ^{[ 6 ]}

Exponenciales como funciones propias

Una autofunción es una función para la cual la salida del operador es una versión escalada de la misma función. Es decir, ${\mathcal {H}}f=\lambda f,$ donde f es la autofunción y $\lambda$ es el valor propio , una constante.

Las funciones exponenciales $Ae^{st}$ , dónde $A,s\in \mathbb {C}$ , son autofunciones de un operador lineal e invariante en el tiempo . Una demostración sencilla ilustra este concepto. Supongamos que la entrada es $x(t)=Ae^{st}$ La salida del sistema con respuesta impulsional $h(t)$ es entonces $\int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\mathrm {d} \tau$ lo cual, por la propiedad conmutativa de la convolución , es equivalente a ${\begin{aligned}\overbrace {\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{s(t-\tau )}\,\mathrm {d} \tau } ^{{\mathcal {H}}f}&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\overbrace {\underbrace {Ae^{st}} _{\text{Input}}} ^{f}\,\overbrace {\underbrace {H(s)} _{\text{Scalar}}} ^{\lambda }\,,\\\end{aligned}}$

donde el escalar $H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t$ depende únicamente del parámetro s .

Por lo tanto, la respuesta del sistema es una versión escalada de la entrada. En particular, para cualquier $A,s\in \mathbb {C}$ La salida del sistema es el producto de la entrada. $Ae^{st}$ y la constante $H(s)$ . Por eso, $Ae^{st}$ es una autofunción de un sistema LTI, y el autovalor correspondiente es $H(s)$ .

Prueba directa

También es posible derivar directamente exponenciales complejas como funciones propias de sistemas LTI.

Vamos a establecer $v(t)=e^{i\omega t}$ alguna exponencial compleja y $v_{a}(t)=e^{i\omega (t+a)}$ una versión con desplazamiento temporal.

$H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)$ por linealidad con respecto a la constante $e^{i\omega a}$ .

$H[v_{a}](t)=H[v](t+a)$ por invariancia temporal de $H$ .

Entonces $H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)$ . Configuración $t=0$ y al renombrar obtenemos: $H[v](\tau )=e^{i\omega \tau }H[v](0)$ es decir, que una exponencial compleja $e^{i\omega \tau }$ como entrada dará como resultado una exponencial compleja de la misma frecuencia que la salida.

Transformadas de Fourier y Laplace

La propiedad de autofunción de las exponenciales es muy útil tanto para el análisis como para la comprensión de los sistemas LTI. La transformada de Laplace unilateral $H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}\{h(t)\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t$ es precisamente la forma de obtener los autovalores a partir de la respuesta impulsional. De particular interés son las sinusoides puras (es decir, funciones exponenciales de la forma $e^{j\omega t}$ dónde $\omega \in \mathbb {R}$ y $j\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\sqrt {-1}}$ ). La transformada de Fourier $H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}$ proporciona los valores propios para sinusoides complejos puros. Ambos de $H(s)$ y $H(j\omega )$ se denominan función del sistema , respuesta del sistema o función de transferencia .

La transformada de Laplace se utiliza habitualmente en el contexto de señales unilaterales, es decir, señales que son cero para todos los valores de t menores que algún valor. Normalmente, este "tiempo de inicio" se establece en cero, por conveniencia y sin pérdida de generalidad , y la integral de la transformada se toma desde cero hasta el infinito (la transformada mostrada arriba con un límite inferior de integración de menos infinito se conoce formalmente como la transformada de Laplace bilateral ).

La transformada de Fourier se utiliza para analizar sistemas que procesan señales de extensión infinita, como las sinusoides moduladas, aunque no puede aplicarse directamente a señales de entrada y salida que no sean de cuadrado integrable . La transformada de Laplace sí funciona directamente con estas señales si son cero antes de un tiempo de inicio, incluso si no son de cuadrado integrable, para sistemas estables. La transformada de Fourier se aplica frecuentemente a espectros de señales infinitas mediante el teorema de Wiener-Khinchin, incluso cuando no existen transformadas de Fourier de las señales.

Debido a la propiedad de convolución de ambas transformadas, la convolución que da la salida del sistema se puede transformar en una multiplicación en el dominio de la transformada, dadas las señales para las que existen dichas transformadas. $y(t)=(h*x)(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\mathrm {d} \tau \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}.$

Se puede utilizar la respuesta del sistema directamente para determinar cómo un sistema maneja cualquier componente de frecuencia particular con esa transformada de Laplace. Si evaluamos la respuesta del sistema (transformada de Laplace de la respuesta impulsional) en la frecuencia compleja s = jω , donde ω = 2πf , obtenemos | H ( s )|, que es la ganancia del sistema para la frecuencia f . El desfase relativo entre la salida y la entrada para ese componente de frecuencia viene dado igualmente por arg( H ( s )).

Ejemplos

Un ejemplo sencillo de operador LTI es la derivada .
- ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\right)=c_{1}x'_{1}(t)+c_{2}x'_{2}(t)$ (es decir, es lineal)
- ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )$ (es decir, es invariante en el tiempo)
Cuando se toma la transformada de Laplace de la derivada, se transforma en una simple multiplicación por la variable de Laplace s . ${\mathcal {L}}\left\{{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)\right\}=sX(s)$
El hecho de que la derivada tenga una transformada de Laplace tan simple explica en parte la utilidad de dicha transformada.
Otro operador LTI simple es un operador de promedio. ${\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{t-a}^{t+a}x(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .$ Por la linealidad de la integración, ${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\{c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\}&=\int _{t-a}^{t+a}(c_{1}x_{1}(\lambda )+c_{2}x_{2}(\lambda ))\,\mathrm {d} \lambda \\&=c_{1}\int _{t-a}^{t+a}x_{1}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda +c_{2}\int _{t-a}^{t+a}x_{2}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\&=c_{1}{\mathcal {A}}\{x_{1}(t)\}+c_{2}{\mathcal {A}}\{x_{2}(t)\},\end{aligned}}$ es lineal. Además, porque ${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x(t-\tau )\right\}&=\int _{t-a}^{t+a}x(\lambda -\tau )\,\mathrm {d} \lambda \\&=\int _{(t-\tau )-a}^{(t-\tau )+a}x(\xi )\,\mathrm {d} \xi \\&={\mathcal {A}}\{x\}(t-\tau ),\end{aligned}}$ es invariable en el tiempo. De hecho, ${\mathcal {A}}$ se puede escribir como una convolución con la función boxcar $\Pi (t)$ . Eso es, ${\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }\Pi \left({\frac {\lambda -t}{2a}}\right)x(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda ,$ donde funciona el vagón de carga $\Pi (t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\begin{cases}1&{\text{if }}|t|<{\frac {1}{2}},\\0&{\text{if }}|t|>{\frac {1}{2}}.\end{cases}}$

Propiedades importantes del sistema

Algunas de las propiedades más importantes de un sistema son la causalidad y la estabilidad. La causalidad es necesaria para un sistema físico cuya variable independiente es el tiempo; sin embargo, esta restricción no se aplica en otros casos, como el procesamiento de imágenes.

Causalidad

Un sistema es causal si la salida depende solo de entradas presentes y pasadas, pero no de entradas futuras. Una condición necesaria y suficiente para la causalidad es $h(t)=0\quad \forall t<0,$

dónde $h(t)$ es la respuesta impulsional. En general, no es posible determinar la causalidad a partir de la transformada de Laplace bilateral . Sin embargo, al trabajar en el dominio del tiempo, normalmente se utiliza la transformada de Laplace unilateral, que requiere causalidad.

Estabilidad

Un sistema es estable con entrada acotada y salida acotada (estable BIBO) si, para cada entrada acotada, la salida es finita. Matemáticamente, si cada entrada satisface $\ \|x(t)\|_{\infty }<\infty$

conduce a un resultado satisfactorio $\ \|y(t)\|_{\infty }<\infty$

(es decir, un valor absoluto máximo finito de $x(t)$ implica un valor absoluto máximo finito de $y(t)$ ), entonces el sistema es estable. Una condición necesaria y suficiente es que $h(t)$ , la respuesta impulsional, está en L ¹ (tiene una norma L ¹ finita ): $\|h(t)\|_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }|h(t)|\,\mathrm {d} t<\infty .$

En el dominio de la frecuencia, la región de convergencia debe contener el eje imaginario. $s=j\omega$ .

Como ejemplo, el filtro paso bajo ideal con respuesta impulsional igual a una función sinc no es estable BIBO, porque la función sinc no tiene una norma L ¹ finita . Por lo tanto, para alguna entrada acotada, la salida del filtro paso bajo ideal no está acotada. En particular, si la entrada es cero para $t<0$ y es igual a una sinusoide en la frecuencia de corte para $t>0$ , entonces la salida será ilimitada para todos los tiempos excepto los cruces por cero.

Sistemas de tiempo discreto

Casi todo en los sistemas de tiempo continuo tiene su contraparte en los sistemas de tiempo discreto.

Sistemas de tiempo discreto a partir de sistemas de tiempo continuo

En muchos contextos, un sistema de tiempo discreto (DT) forma parte de un sistema de tiempo continuo (CT) más amplio. Por ejemplo, un sistema de grabación digital toma un sonido analógico, lo digitaliza, posiblemente procesa las señales digitales y reproduce un sonido analógico para que las personas lo escuchen.

En los sistemas prácticos, las señales DT obtenidas suelen ser versiones muestreadas uniformemente de las señales CT. Si $x(t)$ Si se trata de una señal CT, el circuito de muestreo utilizado antes de un convertidor analógico-digital la transformará en una señal DT: $x_{n}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x(nT)\qquad \forall \,n\in \mathbb {Z} ,$ donde T es el período de muestreo . Antes del muestreo, la señal de entrada se procesa normalmente mediante un filtro de Nyquist que elimina las frecuencias superiores a la frecuencia de plegado 1/(2T); esto garantiza que no se pierda información en la señal filtrada. Sin filtrado, cualquier componente de frecuencia superior a la frecuencia de plegado (o frecuencia de Nyquist ) se convierte en una frecuencia diferente (distorsionando así la señal original), ya que una señal DT solo admite componentes de frecuencia inferiores a la frecuencia de plegado.

Respuesta impulsional y convolución

Dejar $\{x[m-k];\ m\}$ representar la secuencia $\{x[m-k];{\text{ for all integer values of }}m\}.$

Y dejemos la notación más corta $\{x\}$ representar $\{x[m];\ m\}.$

Un sistema discreto transforma una secuencia de entrada, $\{x\}$ en una secuencia de salida, $\{y\}.$ En general, cada elemento de la salida puede depender de cada elemento de la entrada. Representando el operador de transformación por $O$ , podemos escribir: $y[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{x\}.$

Nótese que, a menos que la transformación misma cambie con n , la secuencia de salida es constante y el sistema no tiene interés. (De ahí el subíndice n ). En un sistema típico, y [ n ] depende principalmente de los elementos de x cuyos índices están cerca de n .

Para el caso especial de la función delta de Kronecker , $x[m]=\delta [m],$ La secuencia de salida es la respuesta impulsional : $h[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{\delta [m];\ m\}.$

Para un sistema lineal, $O$ debe satisfacer:

Y el requisito de invariancia temporal es:

En un sistema de este tipo, la respuesta impulsional, $\{h\}$ , caracteriza completamente el sistema. Es decir, para cualquier secuencia de entrada, la secuencia de salida se puede calcular en términos de la entrada y la respuesta impulsional. Para ver cómo se hace esto, consideremos la identidad: $x[m]\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k],$

que expresa $\{x\}$ en términos de una suma de funciones delta ponderadas.

Por lo tanto: ${\begin{aligned}y[n]=O_{n}\{x\}&=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k];\ m\right\}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{\delta [m-k];\ m\},\,\end{aligned}}$

donde hemos invocado la ecuación 4 para el caso $c_{k}=x[k]$ y $x_{k}[m]=\delta [m-k]$ .

Y debido a la ecuación 5 , podemos escribir: ${\begin{aligned}O_{n}\{\delta [m-k];\ m\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} O_{n-k}\{\delta [m];\ m\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} h[n-k].\end{aligned}}$

Por lo tanto:

que es la conocida fórmula de convolución discreta. El operador $O_{n}$ Por lo tanto, puede interpretarse como proporcional a un promedio ponderado de la función x [ k ]. La función de ponderación es h [−k ] , simplemente desplazada en una cantidad n . A medida que n cambia, la función de ponderación enfatiza diferentes partes de la función de entrada. De manera equivalente, la respuesta del sistema a un impulso en n = 0 es una copia "invertida en el tiempo" de la función de ponderación sin desplazar. Cuando h [ k ] es cero para todo k negativo , se dice que el sistema es causal .

Exponenciales como funciones propias

Una autofunción es una función para la cual la salida del operador es la misma función, escalada por alguna constante. En símbolos, ${\mathcal {H}}f=\lambda f,$

donde f es la autofunción y $\lambda$ es el valor propio , una constante.

Las funciones exponenciales $z^{n}=e^{sTn}$ , dónde $n\in \mathbb {Z}$ , son funciones propias de un operador lineal e invariante en el tiempo . $T\in \mathbb {R}$ es el intervalo de muestreo y $z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C}$ Una sencilla demostración ilustra este concepto.

Supongamos que la entrada es $x[n]=z^{n}$ La salida del sistema con respuesta impulsional $h[n]$ es entonces $\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}$

lo cual es equivalente a lo siguiente por la propiedad conmutativa de la convolución $\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)$ dónde $H(z)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}$ depende únicamente del parámetro z .

Entonces $z^{n}$ es una autofunción de un sistema LTI porque la respuesta del sistema es la misma que la entrada multiplicada por la constante $H(z)$ .

Transformadas Z y de Fourier de tiempo discreto

La propiedad de autofunción de las exponenciales es muy útil tanto para el análisis como para la comprensión de los sistemas LTI. La transformada Z $H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}$

es precisamente la forma de obtener los autovalores a partir de la respuesta impulsional. De particular interés son las sinusoides puras; es decir, exponenciales de la forma $e^{j\omega n}$ , dónde $\omega \in \mathbb {R}$ Estos también se pueden escribir como $z^{n}$ con $z=e^{j\omega }$ La transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) $H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}$ proporciona los valores propios de sinusoides puros . Ambos de $H(z)$ y $H(e^{j\omega })$ se denominan función del sistema , respuesta del sistema o función de transferencia .

Al igual que la transformada de Laplace unilateral, la transformada Z se suele utilizar en el contexto de señales unilaterales, es decir, señales que son cero para t<0. La serie de Fourier de transformada de Fourier de tiempo discreto se puede utilizar para analizar señales periódicas.

Debido a la propiedad de convolución de ambas transformaciones, la convolución que da la salida del sistema se puede transformar en una multiplicación en el dominio de la transformada. Es decir, $y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(z)X(z)\}.$

Al igual que ocurre con la función de transferencia de la transformada de Laplace en el análisis de sistemas de tiempo continuo, la transformada Z facilita el análisis de sistemas y la comprensión de su comportamiento.

Ejemplos

Un ejemplo sencillo de operador LTI es el operador de retardo. $D\{x[n]\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x[n-1]$ $D\{x[n]\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x[n-1]$ .
- $D\left(c_{1}\cdot x_{1}[n]+c_{2}\cdot x_{2}[n]\right)=c_{1}\cdot x_{1}[n-1]+c_{2}\cdot x_{2}[n-1]=c_{1}\cdot Dx_{1}[n]+c_{2}\cdot Dx_{2}[n]$ (es decir, es lineal)
- $D\{x[n-m]\}=x[n-m-1]=x[(n-1)-m]=D\{x\}[n-m]$ (es decir, es invariante en el tiempo)
La transformada Z del operador de retardo es una simple multiplicación por z ⁻¹ . Es decir,
${\mathcal {Z}}\left\{Dx[n]\right\}=z^{-1}X(z).$ ${\mathcal {Z}}\left\{Dx[n]\right\}=z^{-1}X(z).$
Otro operador LTI simple es el operador de promedio. ${\mathcal {A}}\left\{x[n]\right\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{k=n-a}^{n+a}x[k].$ Debido a la linealidad de las sumas, ${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right\}&=\sum _{k=n-a}^{n+a}\left(c_{1}x_{1}[k]+c_{2}x_{2}[k]\right)\\&=c_{1}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{1}[k]+c_{2}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{2}[k]\\&=c_{1}{\mathcal {A}}\left\{x_{1}[n]\right\}+c_{2}{\mathcal {A}}\left\{x_{2}[n]\right\},\end{aligned}}$ y por lo tanto es lineal. Porque, ${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x[n-m]\right\}&=\sum _{k=n-a}^{n+a}x[k-m]\\&=\sum _{k'=(n-m)-a}^{(n-m)+a}x[k']\\&={\mathcal {A}}\left\{x\right\}[n-m],\end{aligned}}$ También es invariable en el tiempo.

Propiedades importantes del sistema

Las características de entrada-salida de un sistema LTI de tiempo discreto se describen completamente mediante su respuesta impulsional. $h[n]$ Dos de las propiedades más importantes de un sistema son la causalidad y la estabilidad. Los sistemas no causales (en el tiempo) pueden definirse y analizarse como se indicó anteriormente, pero no pueden implementarse en tiempo real. Los sistemas inestables también pueden analizarse y construirse, pero solo son útiles como parte de un sistema mayor cuya función de transferencia global sea estable.

Causalidad

Un sistema LTI de tiempo discreto es causal si el valor actual de la salida depende únicamente del valor actual y de los valores pasados de la entrada. ^{[ 7 ]} Una condición necesaria y suficiente para la causalidad es $h[n]=0\ \forall n<0,$ dónde $h[n]$ es la respuesta impulsional. En general, no es posible determinar la causalidad a partir de la transformada Z, ya que la transformada inversa no es única . Cuando se especifica una región de convergencia , entonces se puede determinar la causalidad.

Estabilidad

Un sistema es estable con entrada acotada y salida acotada (estable BIBO) si, para cada entrada acotada, la salida es finita. Matemáticamente, si $\|x[n]\|_{\infty }<\infty$

implica que $\|y[n]\|_{\infty }<\infty$

(es decir, si la entrada limitada implica la salida limitada, en el sentido de que los valores absolutos máximos de $x[n]$ y $y[n]$ son finitos), entonces el sistema es estable. Una condición necesaria y suficiente es que $h[n]$ , la respuesta impulsional, satisface $\|h[n]\|_{1}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<\infty .$

En el dominio de la frecuencia, la región de convergencia debe contener el círculo unitario (es decir, el lugar geométrico que satisface $|z|=1$ para el complejo z ).

Notas

↑ Bessai, Horst J. (2005). Señales y sistemas MIMO . Springer. págs. 27–28 . ISBN 0-387-23488-8.
↑ Hespanha 2009, pág. 78.
↑ Phillips, Charles L.; Parr, John M.; Riskin, Eve A. (2003). Señales, sistemas y transformadas (3.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. pág. 89. ISBN 978-0-13-041207-2.
↑ Phillips, Charles L.; Parr, John M.; Riskin, Eve A. (2003). Señales, sistemas y transformadas (3.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Pearson Education. pág. 92. ISBN 978-0-13-041207-2.
↑ Crutchfield, pág. 1. ¡Bienvenidos!
↑ Crutchfield, pág. 1. Ejercicios
↑ Phillips 2007, pág. 508.

Véase también

Referencias

Phillips, CL, Parr, JM y Riskin, EA (2007). Señales, sistemas y transformadas . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-041207-2.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
Hespanha, JP (2009). Teoría de sistemas lineales . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14021-6.
Crutchfield, Steve (12 de octubre de 2010), "The Joy of Convolution" , Universidad Johns Hopkins , consultado el 21 de noviembre de 2010.
Vaidyanathan, PP; Chen, T. (mayo de 1995). "El papel de las inversas anticausales en los bancos de filtros multivelocidad — Parte I: fundamentos de la teoría de sistemas" (PDF) . IEEE Trans. Signal Process . 43 (6): 1090. Bibcode : 1995ITSP...43.1090V . doi : 10.1109/78.382395 .

Lecturas adicionales

Porat, Boaz (1997). Un curso de procesamiento digital de señales . Nueva York: John Wiley. ISBN 978-0-471-14961-3.
Vaidyanathan, PP; Chen, T. (mayo de 1995). "El papel de las inversas anticausales en los bancos de filtros multivelocidad — Parte I: fundamentos de la teoría de sistemas" (PDF) . IEEE Trans. Signal Process . 43 (5): 1090. Bibcode : 1995ITSP...43.1090V . doi : 10.1109/78.382395 .

Enlaces externos

ECE 209: Revisión de circuitos como sistemas LTI Archivado el 19/03/2009 en Wayback Machine : breve introducción al análisis matemático de sistemas LTI (eléctricos).
ECE 209: Fuentes de desfase Archivado el 16/07/2011 en Wayback Machine : ofrece una explicación intuitiva de la fuente de desfase en dos sistemas eléctricos LTI comunes.
Apuntes del curso JHU 520.214 Señales y Sistemas . Un curso conciso sobre la teoría de sistemas LTI. Adecuado para el autoaprendizaje.
Ejemplo de sistema LTI: filtro paso bajo RC . Respuesta de amplitud y fase.

[Bessai_2005-1] Bessai, Horst J. (2005). Señales y sistemas MIMO . Springer. págs. 27–28 . ISBN 0-387-23488-8.

[2] Hespanha 2009, pág. 78.

[3] Phillips, Charles L.; Parr, John M.; Riskin, Eve A. (2003). Señales, sistemas y transformadas (3.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. pág. 89. ISBN 978-0-13-041207-2.

[4] Phillips, Charles L.; Parr, John M.; Riskin, Eve A. (2003). Señales, sistemas y transformadas (3.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Pearson Education. pág. 92. ISBN 978-0-13-041207-2.

[5] Crutchfield, pág. 1. ¡Bienvenidos!

[6] Crutchfield, pág. 1. Ejercicios

[7] Phillips 2007, pág. 508.

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