Estabilidad lineal

La ecuación diferencial $${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=xx^{2}}$$ tiene dos soluciones estacionarias (independientes del tiempo): x  =  0 y x  =  1. La linealización en x  =  0 tiene la forma ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x}$. El operador linealizado es A ₀  =  1. El único valor propio es${\displaystyle \lambda =1}$Las soluciones a esta ecuación crecen exponencialmente; el punto estacionario x  =  0 es linealmente inestable.

Para obtener la linealización en x = 1 , se escribe: ${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-rr^{2}}$donde r = x − 1. La ecuación linealizada es entonces${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=-r}$; el operador linealizado es A ₁ = −1 , el único valor propio es${\displaystyle \lambda =-1}$Por lo tanto, este punto estacionario es linealmente estable.

La ecuación de Schrödinger no lineal$${\displaystyle i{\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-|u|^{2k}u,}$$donde u ( x , t ) ∈ C y k > 0 , tiene soluciones de onda solitaria de la forma${\displaystyle \phi (x)e^{-i\omega t}}$. ^{[ 4 ]} Para derivar la linealización en una onda solitaria, se considera la solución en la forma ${\displaystyle u(x,t)=(\phi (x)+r(x,t))e^{-i\omega t}}$. La ecuación linealizada en${\displaystyle r(x,t)}$es dado por $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{bmatrix}{\text{Re}}\,r\\{\text{Im}}\,r\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}{\text{Re}}\,r\\{\text{Im}}\,r\end{bmatrix}},}$$ dónde$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&L_{0}\\-L_{1}&0\end{bmatrix}},}$$ con$${\displaystyle L_{0}=-{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}-k\phi ^{2}-\omega }$$ y$${\displaystyle L_{1}=-{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}-(2k+1)\phi ^{2}-\omega }$$ los operadores diferenciales . Según el criterio de estabilidad de Vakhitov-Kolokolov , ^{[ 5 ]} cuando k > 2 , el espectro de A tiene valores propios puntuales positivos, por lo que la ecuación linealizada es linealmente (exponencialmente) inestable; para 0 < k ≤ 2 , el espectro de A es puramente imaginario, por lo que las ondas solitarias correspondientes son linealmente estables.

Cabe mencionar que la estabilidad lineal no implica automáticamente estabilidad; en particular, cuando k = 2 , las ondas solitarias son inestables. Por otro lado, para 0 < k < 2 , las ondas solitarias no solo son linealmente estables, sino también orbitalmente estables . ^{[ 6 ]}